Контрольная работа по "Математическому моделированию организационных и экономических систем"

Чаще всего условие  дискретности разделено   по отдельным переменным следующим образом:  , где   конечное или счетное множество.

Если вводим ограничения  — целые числа, то приходим к задачам целочисленного программирования, которые являются частным случаем дискретного программирования. В задачах дискретного программирования область допустимых решений является невыпуклой и несвязной, поэтому отыскание решения в таких задачах сопряжено со значительными трудностями. В частности невозможно применение стандартных приемов, используемых при замене дискретной задачи ее непрерывным аналогом, состоящих в дальнейшем округлении найденного решения до ближайшего целочисленного.

Динамическое  программирование

Динамическое программирование — это вычислительный метод для  решения задач определенной структуры. Возникло и сформировалось в 1950-1953 гг. благодаря работам Р. Беллмана над  динамическими задачами управления запасами. В упрощенной формулировке динамическое программирование представляет собой направленный последовательный перебор вариантов, который обязательно приводит к глобальному максимуму.

Основные необходимые  свойства задач, к которым возможно применить этот принцип:

1. Задача должна допускать интерпретацию как n-шаговый процесс принятия решений.
2. Задача должна быть определена для любого числа шагов и иметь структуру, не зависящую от их числа.
3. При рассмотрении k-шаговой задачи должно быть задано некоторое множество параметров, описывающих состояние системы, от которых зависят оптимальные значения переменных. Причем это множество не должно изменяться при увеличении числа шагов.
4. Выбор решения (управления) на k-м шаге не должен оказывать влияния на предыдущие решения, кроме необходимого пересчета переменных.

Задача о выборе траектории, задача последовательного принятия решения, задача об использовании рабочей  силы, задача управления запасами —  классические задачи динамического  программирования.

 

Задача 1. Хлебопекарный  цех выпекает два вида хлеба: А  и В. На производство 1 т. хлеба А  требуется 700 кг муки; хлеба В – 820 кг. Расход рабочего времени основного  оборудования цеха на 1  т. хлеба А  и В  соответствуют 1.2 и 2.2 ч. Цех  располагает запасом муки в кол-ве 14340 кг. Резерв рабочего времени оборудования – 36.1 ч. Прибыль от реализации одной  тонны хлеба А – 22 д. е., хлеба  В – 30 д. е. Спланировать работу цеха так, чтобы прибыль была максимальной, если выпуск хлеба В должен быть не менее 12 т.

 

хлеб	затраты		Доход от продажи
	мука	Рабочее время
А	700	1,2	22
В	820	2,2	30
Общие запасы	14340	36,1	Максимальный выпуск 12 т

Составляем модель задачи:

X1 – количество хлеба  А 

X2 – количество хлеба  В 

Целевая функция имеет  вид: 

F(x)=22х1+30х2®max

Введем ограничения:

700х1+820х2<=14340

1,2x1+2,2x2<=36,1

x1+x2<=12

x1,х2>=0

решаем данную систему  при помощи функции программы  Excel:

Результаты расчета в  Excel

Microsoft Excel 11.0 Отчет  по результатам
Рабочий лист: [Книга1]Лист1
Отчет создан: 15.10.2012 18:08:37
Целевая ячейка (Максимум)
	Ячейка	Имя	Исходное  значение	Результат
	$A$6	x1	0	360
Изменяемые ячейки
	Ячейка	Имя	Исходное  значение	Результат
	$A$2	x1	0	0
	$B$2	x2	0	12
Ограничения
	Ячейка	Имя	Значение	Формула	Статус	Разница
	$A$3	x1	9840	$A$3<=14340	не связан.	4500
	$A$4	x1	26,4	$A$4<=36.1	не связан.	9,7
	$A$5	x1	12	$A$5<=12	связанное	0
	$A$2	x1	0	$A$2>=0	связанное	0
	$B$2	x2	12	$B$2>=0	не связан.	12

Результатом решения задачи является: количество выпускаемой продукции  – хлеб вида В в количестве 12 тонн дает максимальную прибыль 30*12=36 т.р. Все  ограничения и условия оптимальности  выполнены.

 

Задача 2. Решить графически задачу линейного программирования.

L = 6x1 + 5x2→max 

x1 + 3x2  ≤  4  

2x1 + x2  ≥  3  

x1  ≥  0  

x2  ≥  0

 

Строим кривые:

1. Х1=0, х2=1,3; х2=0, х1=4
2. Х1=0, х2=3; х2=0, х1=1,5

 

Находим область допустимых значений: проверяем точку (0,0) и проверяем  условия оптимальности

0+ 3*0  ≤  4  

2*0 + 0  ≥  3    - условие  не выполняется

x1  ≥  0  

x2  ≥  0

проверяем точку (2;0)

2 + 3*0  ≤  4  

2*2 +0  ≥  3  

2 ≥  0  

0 ≥  0

Условия оптимальности выполнены. Поэтому ОДЗ является АВС.

Точкой максимума является точка В, координаты (1;1,1), L = 6*1 + 5*1,1=11,5.

 

Задача 3. Банк имеет  один пункт,  где клиенты могут  воспользоваться банкоматом, не выходя из автомобиля. Автомобили прибывают  с интенсивностью λ =  12автомобилей  в  час.  Время,  необходимое  для  обслуживания клиента банкоматом, t обсл.=  6 мин. Максимальная вместимость полосы обслуживания банкоматом составляет 10 автомобилей. При заполненной полосе прибывающие клиенты должны обратиться к другому банку. Дайте классификацию этой системы массового обслуживания. Найти все возможные ее функциональные характеристики. Сделайте выводы.

 

В зависимости от условий  ожидания начала обслуживания это СМО  с ограниченной длиной очереди. По числу  каналов – однаканальная. По месту  нахождения источника требований –  разомкнутая. По количеству этапов обслуживания – однофазная.

Характеристики:

Вероятность того, что канал  свободен р0=m/(l+m)=10/(10+12)=0,45или 45%

Вероятность того, что поступившая  заявка будет принята к обслуживанию роб=р0=45%

Вероятность занятости канала (вероятность отказа заявке) р1=1-р0=1-0,45=0,55 или 55%

Относительная пропускная способность  Q=р0=45%

Абсолютная пропускная способность  А=lQ=10*0,45=4,5 автомобилей

Интенсивность выходящего потока обслуженных требований v=А=4,5 автомобилей

Среднее время обслуживания заявок Тоб=6 мин

Среднее время простоя  канала Тпр=1/l=1/10=0,1 часа

Среднее время пребывания заявки в системе Тсис=1/(l+m)=1/(10+12)=0,045 часа

 

 

 

 

 

 

Список использованной литературы

 

1. Математическое  моделирование  организационных  и  экономических систем: рабочая программа, метод. указания и контр. задания для студентов спец. 080502 «Экономика  и  управление  на  предприятии (по  отраслям)» ИДО / Сост. О. В. Марухина. – Томск: Изд. ТПУ, 2008. – 31 с.
2. М.Г.Сидоренко Математические модели в экономике. Учебное пособие. – Томск: ТМЦДО, 2000.