Контрольная работа по "Экономико-математическим методам"

Вопрос 1. Дайте понятие производственной функции и изокванты. Что означает взаимозаменяемость ресурсов?

Производственная функция, также функция производства — экономико-математическая количественная зависимость между величинами выпуска (количество продукции) и факторами производства, (затраты ресурсов, уровень технологий и др.) может выражаться как множество изоквант.^[1]

Изокванта — изолиния одинакового объема производства продукта в зависимости от факторов производства;

Взаимозаменяемость ресурсов [input substitution] — возможность альтернативного использования разных ресурсов:

 а) для сохранения или достижения  заданного уровня производства;

 б) для достижения оптимума. Именно этим обусловлена проблема выбора: там, где нет заменяемости, нет и выбора, и тогда фундаментальное понятие оптимальности теряет смысл.

Задача 1.

Решение:

Пускай число ố=570,тогда уравнение  изокванты:

10√х₁*√х₂=√570;

√100+√570=√570

Возведя обе части в квадрат  и разделив их на 100,получим:х₁*х₂=5,70. Находим координаты точки С₁.

Так как ↦_х1= 570-300/100=4,7, то из уравнения изокванты находим ↦_х2=5,70/4,70=1,21.

Аналогично находим координаты сочки С₂.

 

 

 

 

Так как х_2’’=570-300/100=2,70,то х₁’’=5,70/2,70=2,11.

               С₂

 С₁

 

 

            Итак 121 работник райпо используя  4,7 тыс.м² производственной площади обеспечивают товарооборот √570≈23,87 млн.руб. и такой же товарооборот могут обеспечивать 211 работников райпо, используя площадь 2,70 тыс.м².

 

Вопрос 2. Дайте понятие производственной функции и изокванты. Что означает взаимозаменяемость ресурсов? 

Если ценовая эластичность больше единицы, то такой товар принято  называть высокоэластичным; если меньше единицы — низкоэластичным; если равен единице — товар с  единичной эластичностью.

Если небольшие изменения  в цене на товар приводят к значительным изменениям в количестве покупаемой продукции, то такой спрос называют относительно высокоэластичным. Если существенное изменение в цене ведет  к небольшому изменению в количестве покупок, то такой спрос - малоэластичный. Когда процентное изменение цены и последующее изменение количества спрашиваемой продукции равны по величине, то такой случай называют среднеэластичностью.

Взаимозаменяемые товары —это группа товаров, которые могут быть сравнимы по их функциональному назначению, применению, качественным и техническим характеристикам, цене и другим параметрам таким образом, что покупатель действительно заменяет или готов заменить их друг другом в процессе потребления (в том числе производственного).

При повышении цены на один из таких товаров растет спрос  на другой, заменяющий его товар.

Задача 2.

Товар	1-й	2-й	3-й
1-й	-0,4	-0,195	0,005
2-й	-0,1625	-0,7	-0,495
3-й	0,0042	-0,55	-1,1

Так как |έ11|=-0,4<1,то 1-й товар малоэластичный.

Так как |έ22|=-0,7≈1,то 2-й товар среднеэластичный.

Так как |έ33|=-1,1>1, то 3-й товар высокоэластичный.

Поскольку έ12=-0,195<0 и έ21=-0,1625,то 1-й и 3-й товары взаимодополняемые.

Поскольку έ13=0,005>0 и έ31=0,0042>0,то 1-й и 3-й товары взаимозаменяемые.

Поскольку έ23=-0,495 и έ32=-0,55, то 2-й и 3-й товары взаимодополняемые.

Вопрос 3. Дайте определение коэффициентов прямых затрат. Где они могут быть использованы?

aij = xij / Xj,

где aij — коэффициент прямых затрат продукта i на производство единицы продукта j, xij — общий объём затрат продукта i на производство продукта j, Xj — весь объём производства продукта j. К. п. з. изменяются под влиянием технического прогресса, улучшения организации производства и т. п. и тем самым отражают рост эффективности общественного производства.

Коэффициенты  прямых затрат aij - это отношение объема продукта i-ой отрасли, используемого за отчетный период j-ой отраслью, к валовому выпуску продукции j-ой отрасли.

Коэффициенты прямых затрат могут использоваться для определения  планового производства валовой  продукции отраслей.

Задача 3.

 

Х₁₁=800-570=230                    Х₁₂=700-570=130

Х₂₁=750-570=180                    Х₂₂=850-570=280

Х₁=230+130+300=660

Х₂=180+280+220=680

а)Коэффициент прямых затрат;

а₁₁=х₁₁/х₁=230/660=0,35

а₂₁=х₂₁/х₁=180/660=0,272

а₁₂=х₁₂/х₂=130/680=0,191

а₂₂=х₂₂/х₂=280/680=0,412

б)Плановый объем валовой  продукции отраслей;

      (1-0,35)х₁-0,191х₂=350

     -0,272х₁+(1-0,412)х₂=250

0,65х₁-0,191х₂=350

-0,272х₁+0,588х₂=250

Выразим из первого уравнения  х₁:

0,65х₁=350+0,191х₂

Х₁=350/0,65+0,191х₂/0,65

Х₁=538,461+0,294х₂ и подставим во второе уравнение:

-0,272(538,461+0,294х₂)+0,588х₂=250

-146,461-0,080х₂+0,588х₂=250

0,508х₂=396,461

Х₂=396,461/0,508

Х₂=780,435

Х₁=538,461+0,294*780,435=538,461+229,448=767,909

Таким образом, х₁”=767,909- плановый объем валовой продукции первой отрасли. х₂=780,435- плановый объем валовой продукции второй отрасли.

Вопрос 4. Объясните смысл элементов платежной таблицы и способы выбора стратегий с позиций крайнего пессимизма, крайнего оптимизма и оптимизма-пессимизма.

 Рассмотрим проблему  уценки неходового товара с  целью получения возможно большей  выручки от реализации. Предположим,  что эластичность спроса в  зависимости от цены неизвестна, т.е. неясно, как отреагирует рынок  на то или иное снижение  цены. Иными словами, нужно принять  решение в условиях неопределенности. В таком случае можно использовать  методы теории игр. Обозначим  А1, А2, …, Аm – стратегии снижения  цены на товар на α1%, α2%,…,  αm% соответственно. Возьмем достаточно  подробный перечень возможных  значений эластичности ε1, ε2 ,…,  εn. Если выбрать определенную  стратегию Аi и знать эластичность  товара εj, то, используя еще некоторые,  обычно известные величины, можно  подсчитать выручку от реализации  товара аij. Проделав это для  всех Аi и для всех εj, получим  платежную таблицу. В таблице  представлен подробный перечень  различных ситуаций. Для принятия  решения можно использовать следующие  способы.

Подход  с позиции крайнего пессимизма:

Он заключается в том, чтобы  считать, что при выборе любой  стратегии Аi эластичность товара будет  самая неблагоприятная и выручка  αi будет минимально возможной, т.е,

αi = min (αi1, αi2,…,αim).

Вычислив все величины αi (α1, α2,…,αm), нужно взять наибольшую из них α: α = max (αi).

Та стратегия, которая  соответствует числу α, и есть стратегия крайнего пессимизма. Иначе  говоря, такая стратегия есть наилучший  выбор из плохих ситуаций, и эта  стратегия гарантирует, что, как  бы ни сложилась действительная ситуация, выручка будет не меньше, чем α.

Подход  с позиции крайнего оптимизма:

Он заключается в том, чтобы считать, что при выборе любой стратегии Аi эластичность будет наиболее благоприятной и  выручка βi наибольшая, т.е,

 

βi= max (αi1, αi2,…,αim).

Вычислив все βi, нужно  взять наибольшую из них: β = max (βi).

Та стратегия, которая соответствует  величине β, и есть искомая.

Подход  с позиции пессимизма-оптимизма:

Рассмотрим величину H = max [(1- ) +  ], где

λ – числовой параметр, 0 1

Предлагается выбирать стратегию, соответствующую величине H.

При λ = 0 Н = max αi= α, и этот подход превращается в подход с позиции  крайнего пессимизма. При λ = 1 Н = max βi=β , и этот подход превращается в подход с позиции крайнего оптимизма. Вообще, величина Н при изменении λ  от 0 до 1 непрерывно изменяется от α  до β, и выбор некоторого промежуточного λ соответствует сочетанию пессимизма и оптимизма при выборе стратегии. Возьмем, например, λ=0,5 и вычислим

,

а затем выберем наибольшее из них

Стратегию, на которой достигается  величина γ, будем называть соответствующей  подходу с позиции пессимизма-оптимизма.

Задача 4.

А έ	έ1	έ2	έ3
А1	80	90	50
А2	40	50	60
А3	30	20	70

 

 

Аέ	έ1	έ2	έ3	άi	βi	γi
А1	80	90	50	80	50	65
А2	40	50	60	40	60	50
А3	30	20	70	30	70	50

ά=_max(ά₁,ά₂, ά₃)=(80;40;30)=80

β=_max(β₁,β₂,β₃)=(50;60;70)=70

γ=_max(γ₁,γ₂,γ₃)=(65;50;50)=65

Так как ά=80, и это число  находится в строке, соответствует  А₁,то А₁- стратегия крайнего пессимизма, ожидаемый выигрыш равен 80 единицам.

Так как β=70, и это число  находится в строке, соответствует  А₃, то А₃- стратегия крайнего оптимизма, ожидаемый выигрыш равен 70 единицам.

Так как γ=65, и это число  находится в строке А₁,то А₁- стратегия оптимизма-пессимизма, ожидаемый выигрыш равен 65 единицам.

Вопрос 5. Дайте описание входящего потока требований и каналов обслуживания. Какие экономические показатели характеризуют работу СМО?

Системы массового  обслуживания - это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания. С позиции моделирования процесса массового обслуживания ситуации, когда образуются очереди заявок (требований) на обслуживание, возникают следующим образом. Поступив в обслуживающую систему, требование присоединяется к очереди других (ранее поступивших) требований. Канал обслуживания выбирает требование из находящихся в очереди, с тем, чтобы приступить к его обслуживанию. После завершения процедуры обслуживания очередного требования канал обслуживания приступает к обслуживанию следующего требования, если такое имеется в блоке ожидания. Цикл функционирования системы массового обслуживания подобного рода повторяется многократно в течение всего периода работы обслуживающей системы. При этом предполагается, что переход системы на обслуживание очередного требования после завершения обслуживания предыдущего требования происходит мгновенно, в случайные моменты времени.

Обслуживание требований в СМО производится обслуживающими приборами. Классическая СМО содержит от одного до бесконечного числа приборов. Основными элементами СМО являются: входящий поток требований, очередь  требований, обслуживающие устройства, (каналы) и выходящий поток требований Входящий поток требований - совокупность требований, поступающих в СМО. В  общем случае под требованием  обычно понимают запрос на удовлетворение некоторой потребности. Входящий поток  требований изучается с целью  установления закономерностей этого  потока и дальнейшего улучшения  качества обслуживания. В большинстве  случаев входящий поток неуправляем  и зависит от ряда случайных факторов. Число требований, поступающих в  единицу времени, случайная величина. Случайной величиной является также  интервал времени между соседними  поступающими требованиями. Однако среднее  количество требований, поступивших  в единицу времени, и средний  интервал времени между соседними  поступающими требованиями предполагаются заданными. Среднее число требований, поступающих в систему обслуживания за единицу времени, называется интенсивностью поступления требований, и она  показывает, сколько в среднем  требований поступает в единицу  времени.

Средства, обслуживающие  требования, называются обслуживающими устройствами или каналами обслуживания. Одной из важнейших характеристик  обслуживающих устройств, которая  определяет пропускную способность  всей системы, является время обслуживания. Время обслуживания одного требования - случайная величина, которая может  изменяться в большом диапазоне. Она зависит от стабильности работы самих обслуживающих устройств, так и от различных параметров, поступающих в систему, требований. Интенсивность обслуживания показывает, сколько в среднем требований обслуживается одним каналом  в единицу времени.

Экономические показатели, характеризующие работу СМО:

P_k - доля времени работы k каналов, k=0,1,+,n;

L - средняя длина очереди;

P₀ - вероятность того, что система свободна;

П - вероятность образования очереди;

P_отк - вероятность отказа в обслуживании;

g - относительная пропускная способность;

А - абсолютная пропускная способность;

n_зан - среднее количество занятых каналов;

t_ож - среднее время нахождения в очереди.

Задача 5.

Пусть ố=570, тогда µ=8,43 треб/мин, а первоначальное значение ƛ равно 9,43 треб/мин.

ά=9.43/8,43=1,118

р₀=2-1,118/2+1,118=0,283 (р_о=28,3%)

L₁=(1,118)³/4-(1,118)²=1,397/2,75=0,508 треб

Если интенсивность ƛ станет равной (700-570)/10=13 треб/мин, то в силу  неравенства 13<2*8,43 условие стационарности СМО выполнено. И можно вычислить  среднюю длину очереди: