Контрольная работа по экономике

 

4. Оценка надежности уравнения  регрессии.

Оценку надежности уравнения регрессии осуществим, рассчитав F-критерия Фишера, значение которого представлено в таблице 18. Он равен 176,679. Табличное значение F-критерия при доверительной вероятности 0,95 при V1=k=2 и V2=n-k-1=16-2-1=13 составляет 3,81.

Так как Fрас>Fтабл, то гипотезу об адекватности уравнения регрессии принимаем с доверительной вероятностью 0,95.

 

5. Оценка статистической значимости коэффициентов уравнения множественной регрессии.

Значимость коэффициентов уравнения регрессии осуществим с помощью вычисления t-критерия Стьюдента, рассчитав его по формуле:

taj = aj / Saj,

где Saj – стандартное отклонение коэффициента уравнения регрессии aj.

В таблице 19 приведены значения t-критерия Стьюдента для коэффициентов равнения регрессии а1, а2:

ta1= 9,890, ta2= 3,551.

Табличное значение t-критерия при 5% уровне значимости и степени свободы (16-2-1=13) составляет 2,16. Так как |tрас а|>|tтабл|, то делаем вывод  о том, что коэффициенты а1, а2 существенны.

6. Проверка выполнения условий  для получения «хороших» оценок  методом наименьших квадратов по данным та.

 

Таблица 24 – Оценка остатков модели

Наблюдение	Остатки Ei	Ei2	[Ei - Ei-1]2
1	0,262	0,069
2	-0,018	0,000	0,079
3	0,205	0,042	0,050
4	0,031	0,001	0,031
5	0,178	0,032	0,022
6	-0,076	0,006	0,065
7	-0,223	0,050	0,022
8	-0,202	0,041	0,000
9	0,035	0,001	0,056
10	-0,009	0,000	0,002
11	0,189	0,036	0,039
12	-0,039	0,002	0,052
13	-0,064	0,004	0,001
14	-0,243	0,059	0,032
15	-0,050	0,002	0,037
16	0,023	0,001	0,005
Итого	0,000	0,345	0,493

 

Для классической модели линейной регрессии основными условиями для получения «хороших» оценок являются следующие:

1. .
2. .
3. .

Здесь Ei - остатки регрессии, которые приведены в таблице 24.

1. Нарушение первого условия, то есть проверяется на анализе суммы остатков. Если вероятность для всех значений Е равно 1, то должно выполняться следующее условие:

Гипотеза о том, что отвергается, и таким образом первое условие соблюдается.

2. Нарушение второго условия, то есть . Проверка этого условия основывается на том, что величина F подчиняется F-распределению со степенями свободы .

Величина F вычисляется по следующей формуле:

В нашем случае F-статистика равна 2,299.

Если проверяется гипотеза о росте дисперсии, то Fрасч должно быть меньше Fтабл.

Если проверяется гипотеза об уменьшении дисперсии, то Fрасч должно быть больше Fтабл.

Fтабл = F7,70,95 в нашем случае принимает значение 3,79 со степенями свободы 7 и 7.

Fтабл > Fрасч, то гипотеза о росте дисперсии подтверждается и таким образом второе условие  не соблюдается с вероятностью p = 0,95.

3. Нарушение третьего условия проверяется на основе критерия Дарбина-Уотсона, которая определяется по формуле:

Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина-Уотсона следующий. Выдвигается гипотеза Н0 об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы Н1 и Н1* состоят, соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках. Далее определяются критические значения критерия Дарбина-Уотсона dL и dU для заданного числа наблюдений n, числа независимых переменных модели k и уровня значимости α (в нашем случае dL = 0,98 и dU = 1,54 для заданного числа наблюдений n = 16, числа независимых переменных модели k = 2 и уровня значимости α = 0,05). Критерий Дарбина-Уотсона лежит в числовом промежутке [0;4], который разбивается критическими значениями на пять отрезков. Принятие или отклонение каждой из гипотез с вероятностью p = 1- α = 0,95 рассматривается на рисунке 7.

 

Есть положительная автокорреляция  остатков. Н0 отклоняется. С вероятностью р = 0,95 принимается гипотеза Н1.	Зона неопределенности	Нет оснований отклонять Н0. Автокорреляция остатков отсутствует.	Зона неопределенности	Есть отрицательная автокорреляция остатков. Н0 отклоняется. С вероятностью р = 0,95 принимается  гипотеза Н1*.
0                          dL                               dU                           4 – dU                        4 – dL                   4

 

Рисунок 7 - Механизм проверки гипотезы о наличии автокорреляции остатков

 

Если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона попадает в зону неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу Н0.

Фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона 1.428 попадает в промежуток от dL до dU. То есть автокорреляция остатков присутствует и условие 3 не соблюдается с вероятностью р=0,95.

 

7. Построение точечного и интервального  прогноза результирующего показателя.

Прогнозные значения факторных переменных определим с помощью EXCEL, построив линию тренда для данных в таблице 16.

Для фактора «сумма сберегательных сертификатов со сроком погашения от 31 дня до 90 дней» выбрана модель

y = 6,3535e-0,2839x,

по которой получим прогноз на следующие два периода.

График модели временного ряда «сумма сберегательных сертификатов со сроком погашения от 31 дня до 90 дней» представлен на рисунке 8.

 

Рисунок 8 - Прогноз фактора «сумма сберегательных сертификатов со сроком погашения от 31 дня до 90 дней»

Период 17              Период 18

Прогноз: 0,051       Прогноз: 0,038

 

Рисунок 9 - Прогноз фактора «сумма сберегательных сертификатов со сроком погашения от 181 дня до года»

Период 17              Период 18

Прогноз: 4,277     Прогноз: 3,898

 

Для фактора «сумма сберегательных сертификатов со сроком погашения от 181 дня до года» выбрана модель

y = -0,0176x2 + 0,2373x + 5,329,

по которой получим прогноз на следующие два периода.

График модели временного ряда «сумма сберегательных сертификатов со сроком погашения от 181 дня до года» представлен на рисунке 9.

Для получения прогнозных оценок зависимой переменной подставим найденные прогнозные значения факторов Х1 и Х2 в уравнение регрессии

Y = 11,380 + 0,644X1 + 1,471X2.

Получим: Yt=17= 13,43, Yt=18= 13,24.

Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие границы:

Верхняя граница прогноза: Yпр(N+1) + U(1)

Нижняя граница прогноза: Yпр(N+1) - U(1).

Se = 0,163 (значение берем из таблицы 17).

tкр = 2,16 (табличное значение t-критерия при 5% уровне значимости и степенях свободы (16-2-1=13)).

Для первого шага прогноза:

ХпрТ = (1,000; 0,051; 4,277).

	18,609	1,177	-3,497
(ХТX)-1=	1,177	0,160	-0,240
	-3,497	-0,240	0,663

(расчет см. выше).

U(1) = 0,32.

Для второго шага прогноза:

ХпрТ = (1,000; 0,038; 3,898).

U(2) = 0,42.

Результаты прогнозных оценок модели регрессии представим в таблице 25.

Интервальные прогнозы по модели отображены на рисунок 10.

 

Таблица 25 – Прогнозы по модели

Упреждение	Прогноз	Нижняя граница	Верхняя граница
1	13,43	13,10	13,75
2	13,24	12,82	13,66

 

Рисунок 10 - Интервальные прогнозы по модели

 

8. Выводы по построенной модели.

Результатом вычислений стало построение регрессионной модели зависимости между суммой сберегательных сертификатов со сроком погашения от 31 дня до 90 дней (X1), суммой сберегательных сертификатов со сроком погашения от 181 дня до года (Х2) и суммой сберегательных сертификатов, выпущенных коммерческими банками всего (Y). Регрессионная зависимость имеет вид

Y = 11,380 + 0,644X1 + 1,471X2.

Расчет характеристик регрессионного уравнения позволяет сделать следующие выводы:

Значение индекса корреляции 0,982 свидетельствует о наличие сильной связи между результирующим и факторными признаками. Коэффициент детерминации R2=0,965 свидетельствует о том, что 96,5% вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием включенных факторов.

Расчетное значение F-критерия Фишера F= 176,679 позволяет принять гипотезу об адекватности уравнения регрессии с доверительной вероятностью 0,95.

Расчетные значение t-критерия Стьюдента для коэффициентов уравнения регрессии а1, а2 позволяют сделать вывод о значимости коэффициентов а1 и а2 уравнения.

Фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона 1.428 попадает в промежуток от dL до dU. То есть автокорреляция остатков присутствует и условие 3 не соблюдается с вероятностью р=0,95.

Прогнозные значения показателя суммы сберегательных сертификатов, выпущенных коммерческими банками всего на следующие два периода, рассчитанные по полученной модели, составляют 13,43 и 13,24 млрд. руб. соответственно.

 

 

 

Список использованной литературы

 

1. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. - 311с.
2. Минюк С.А. Математические методы и модели в экономике: Учеб. пособие / Минюк С.А., Ровба Е.А., Кузьмич К.К. — Мн.: ТетраСистемс, 2002. - 432с.
3. Мхитарян В.С., Архипова М.Ю., Сиротин В.П. Эконометрика: Учебно-методический комплекс. – М.: Изд. центр ЕАОИ. 2008. – 144с.
4. Орлова И.В. Экономико-математические методы и модели. Выполнение расчетов в среде EXCEL / Практикум: Учебное пособие для вузов. - М.: ЗАО «Финстатинформ», 2000. - 136с.

 

1 http://stat.hse.ru/hse/indexn.html [дата обращения: 11.11.2011].