Контрольная работа по экономике

 

Определим t-статистику Стьюдента: tрасч = b / σb,

где σb - стандартная ошибка коэффициента b, которая определяется по формуле:

Тогда t-статистика равна: t = -4,11.

По данным специальной таблицы для степеней свободы 8 и вероятности 0,95 табличное значение t-критерия Стьюдента равно tтабл = 2,306. |tрасч|>|tтабл|, это свидетельствует о том, что х влияет на у существенно с вероятностью р=0,95.

Проанализируем условия «хороших оценок» относительно случайной компоненты ε.

1) Изучим нарушение условия о том, что M(εi)≠0. Вероятность для всех значений εi равно 1, поэтому должно выполняться следующее условие:

Таким образом, гипотеза о том, что M(εi)≠0 отвергается, и условие соблюдается.

2) Изучим нарушение условия о том, что D(εi) ≠ const. Для проверки нарушения условия определим F-статистику по формуле:

.

F-статистика равна: 5,07.

Если проверяется гипотеза о росте дисперсии, то Fрасч должно быть меньше Fтабл.

Если проверяется гипотеза об уменьшении дисперсии, то Fрасч должно быть больше Fтабл.

Табличное значение составит Fтабл = F4,40,95 составит 6,39 для степеней свободы 4 и 4.

Так как Fтабл > Fрасч, то есть гипотеза о росте дисперсии подтверждается и таким образом второе условие не соблюдается с вероятностью p = 0,95.

3) Изучим нарушение условия о наличии автокорреляции случайных компонент для наблюдений. Для этого рассчитаем значение статистики Дарбина-Уотсона по формуле:

Найденное значение критерия Дарбина-Уотсона 2,41 принадлежит интервалу (dU = 1,32; 4-dU = 1,68). Таким образом, с вероятностью р=0,95 отсутствует автокорреляции остатков.

Определим среднюю относительную ошибку Еотн, значение которой представлено в таблице 12:

Найденный нами показатель свидетельствует о том, что в среднем расчетные значения для гиперболической модели отличаются от фактических на 4,16%.

График гиперболической модели отображен на рисунке 5.

 

Рисунок 5 - Гиперболическая модель

 

5. Расчет прогнозного значения  результативного признака. Для выбора лучшей модели построим сводную таблицу результатов.

Лучшие значения характеристик имеет степенная модель (наименьшие остаточную дисперсию и среднюю относительную ошибку). Именно поэтому прогноз строится на ее основе. Прогнозное значение результативного признака (среднедушевые денежные доходы населения) определим по уравнению степенной модели, подставив в него планируемую величину средней номинальной заработной платы:

 тыс. руб.

 = 21,08 тыс. руб.

Определим границы доверительного интервала.

Верхняя граница прогноза:

;

Нижняя граница прогноза:

;

 

Таблица 13-Сводная таблица результатов

Показатели		Модели								Примечание
		Линейная		Степенная		Показательная		Гиперболическая
a		-11,92		0,08		2,94		47,11
b		1,45		1,78		1,09		-599,23
А		-11,92		0,08		2,94		47,11
В		1,45		1,78		1,09		-599,23
Остаточная дисперсия (σ2)		1,032		0,001		0,001		0,974		Чем меньше остаточная дисперсия, тем лучше регрессионное уравнение
Индекс корреляции (rxy)	значение	0,81		0,81		0,80		-0,82		rxy > 0 - прямя связь rxy < 0 - обратная связь çrxyç>0,7 - сильная связь
	вывод	связь прямая сильная		связь прямая сильная		связь прямая сильная		связь обратная сильная
Коэффициент детерминации (R2)	значение	0,66		0,65		0,64		0,68		чем ближе R2 к 1, тем лучше качество подгонки
	вывод	среднее качество подгонки		среднее качество подгонки		среднее качество подгонки		среднее качество подгонки
Коэффициент эластичности (Э)		1,67		1,87		0,62		-1,64		Показывает, на сколько процентов изменяется результативный признак при изменении факторного признака на 1%
Бета-коэффициент (β)		0,81		0,81		0,80		-0,82		Показывает, на какую часть величины среднеквадратического отклонения меняется среднее значение переменной у с изменением независимой переменной х на одно среднеквадратическое отклонение
Среднеквадратическая ошибка выборки по х		0,92		0,02		0,92		0,00
Среднеквадратическая ошибка выборки по у		1,64		0,04		0,04		1,64
F-критерий Фишера (F)	значение	15,52	14,94		14,28		16,91		Если Fтабл < Fрасч, то гипотезу об отсутствии линейной связи отвергаем с заданной вероятностью. Fтабл = 11,26 для степ. свободы 1 и 8
	вывод	Линейная связь есть	Линейная связь есть		Линейная связь есть		Линейная связь есть

 

 

Продолжение таблицы 13

T-критерий Стьюдента (t)	значение	3,94	3,86	3,78	-4,11	Если tтабл < tрасч, то X влияет на Y существенно, то есть b не равно 0 с заданной вероятностью. tтабл = 2,26 для степ. свободы 9
	вывод	X влияет на Y существенно	X влияет на Y существенно	X влияет на Y существенно	X влияет на Y существенно
Проверка условия M(εi) = 0	значение	M(εi) = 0	M(εi) = 0	M(εi) = 0	M(εi) = 0
	вывод	Условие соблюдается	Условие соблюдается	Условие соблюдается	Условие соблюдается
Проверка условия D(εi) ≠ const на основе критерия Фишера	значение	2,25	5,84	5,57	5,07	Если проверяется гипотеза о росте дисперсии, то Fрасч должно быть меньше Fтабл. Если проверяется гипотеза об уменьшении дисперсии, то Fрасч должно быть больше Fтабл. Fтабл = 6,39
	вывод	Условие соблюдается	Условие соблюдается	Условие соблюдается	Условие соблюдается
Проверка условия отсутствия автокорреляции на основе критерия Дарбина-Уотсона (D-W)	значение	2,29	2,30	2,25	2,41	На основе сравнения расчетного показателя с критериями d1 и d2
	вывод	Автокорреляция отсутствует. Условие соблюдается	Автокорреляция отсутствует. Условие соблюдается	Автокорреляция отсутствует. Условие соблюдается	Автокорреляция отсутствует. Условие соблюдается
Средняя относительная ошибка (Еотн)	значение	4,23	1,53	1,54	4,16	Если меньше 15%, то модель построена с приемлемой точностью
	вывод	модель построена с приемлемой точностью	модель построена с приемлемой точностью	модель построена с приемлемой точностью	модель построена с приемлемой точностью
Итоговый вывод		Модель адекватна по приведенным показателям	Модель адекватна по приведенным показателям и обладает лучшими характеристи-ками	Модель адекватна по приведенным показателям	Модель адекватна по приведенным показателям

 

 

Здесь tтабл - табличное значение критерия Стьюдента, равное 2,306; σ - стандартная ошибка по модели.

Фактические, расчетные и прогнозные значения по лучшей модели отобразим на графике (рисунок 6).

 

Рисунок 6 - Прогноз по лучшей модели

 

 

6. Выводы по построенной модели. Результатом вычислений стало построение степенной модели зависимости между среднедушевыми денежными доходами населения (y) и средней номинальной заработной платы (x). Зависимость имеет вид:

.

Расчет характеристик модели позволяет сделать следующие выводы:

Значение индекса корреляции 0,81 свидетельствует о наличие прямой, сильной связи между результирующим и факторным признаками. Коэффициент детерминации R2=0,65 свидетельствует о том, что 65% вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием включенных факторов.

Расчетное значение F-критерия Фишера F= 14,94 позволяет принять гипотезу об адекватности уравнения регрессии с доверительной вероятностью 0,95.

Расчетное значение t-критерия Стьюдента для коэффициента b позволяют сделать вывод о значимости данного коэффициента.

На основе коэффициента эластичности определяем, что зависимая переменная изменяется на 1,87% при изменении переменной-фактора на один процент.

На основе бета-коэффициента определяем, что среднее значение зависимой переменной меняется на 0,81 величины среднего квадратического отклонения с изменением независимой переменной на одно среднеквадратическое отклонение.

Найденное значение критерия Дарбина-Уотсона 2,30 принадлежит интервалу (dU = 1,32; 4-dU = 1,68). Таким образом, с вероятностью р=0,95 отсутствует автокорреляции остатков.

Прогнозное значение среднедушевых денежных доходов населения при увеличении прогнозного значения фактора на 110% относительно среднего уровня, рассчитанное по полученной модели, составляет 21,08 тыс. руб.

 

Задача 2

 

Имеются данные за период с января 2010г. по апрель 2011г., характеризующие зависимость суммы сберегательных сертификатов, выпущенных коммерческими банками всего (Y, млрд. руб.) от суммы сберегательных сертификатов со сроком погашения от 31 дня до 90 дней (Х1, млрд. руб.), суммы сберегательных сертификатов со сроком погашения от 91 дня до 180 дней (Х2, млрд. руб.), суммы сберегательных сертификатов со сроком погашения от 181 дня до года (Х3, млрд. руб.) (источник сайт Центрального Банка Российской Федерации).

 

Таблица 14 – Исходные данные задачи

Y	X1	X2	X3
15,49	1,80	2,50	5,71
15,14	1,68	2,43	5,72
15,34	1,70	2,43	5,65
15,43	1,87	2,29	5,97
15,76	2,04	2,11	6,13
15,62	2,22	2,05	6,12
15,56	2,41	2,04	6,04
15,71	2,50	1,99	6,21
15,16	1,37	2,67	6,09
14,70	0,63	2,96	6,20
14,30	0,12	3,10	5,63
14,02	0,07	2,85	5,58
13,98	0,23	2,59	5,34
13,75	0,20	2,21	5,28
13,69	0,04	2,41	4,96
13,59	0,04	2,41	4,60

 

Требуется:

1. С помощью корреляционного анализа осуществить выбор факторных признаков для построения двухфакторной регрессионной модели.
2. Рассчитать параметры модели.
3. Для характеристики модели определить: линейный коэффициент множественной корреляции, коэффициент детерминации, средние коэффициенты эластичности, бета -, дельта-коэффициенты.

Дать их интерпретацию.

4. Осуществить оценку надежности уравнения регрессии (F-критерий Фишера).
5. Оценить с помощью t-критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициентов уравнения множественной регрессии.
6. Произвести проверку выполнения условий для получения «хороших» оценок методом наименьших квадратов.
7. Рассчитать и построить точечный и интервальный прогнозы результирующего показателя на два шага вперед.
8. Отразить результаты в аналитической записке, приложить компьютерные распечатки расчетов и графики.

 

Решение

 

1. Выбор факторных признаков  для построения двухфакторной  регрессионной модели. На основе таблицы 14 осуществим корреляционный анализ с помощью EXCEL, его результаты представлены в таблице 15. Корреляционный анализ осуществляется по формуле выборочного коэффициента парной корреляции:

 

Таблица 15 - Результат корреляционного анализа

	Y	X1	X2	X3
Y	1,000
X1	0,910	1,000
X2	0,818	0,600	1,000
X3	0,866	0,646	0,757	1,000

 

По данным таблицы 15 проведем проверку критериев мультиколлинеарности данных наблюдения. В качестве таких критериев обычно принимают соблюдение следующих неравенств:

│ryxi │> │rxixk│,  │ ryxk │>│ rxixk│,  │rxixk│<0,8.

Если приведенные неравенства (хотя бы одно из них) не выполняются, то в модель включают тот фактор, который наиболее тесно связан с Y.

Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции свидетельствует о не нарушении перечисленных условий. Из модели исключается фактор Х2, который наименее тесно связан с Y. После такого исключения начальные параметры модели таковы: число наблюдений n=16, количество факторных переменных k=2.