Контрольная работа по "Экономическо-математическому моделированию"

Вычисления  провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.

Наличие аномальных точек определим по методу Ирвина, для чего определим значения Q(t): Q(t) = Z(t) / S

Сравним полученные значения Q(t) в каждой точке с критическим значением Qкрит = 1,52

если Q(t) > Qкрит, то точка аномальна

если Q(t) < Qкрит, то точка не аномальна

 

t	Y(t)	Z(t)=	h(t)=	h(t)2	Q(t)=Z(t)/S		Вывод
		Y(t)-Y(t-1)	Y(t)-Yср
1	3		-11,67	136,11
2	7	4	-7,67	58,78	0,53	= 4 / 7,52	< 1,52, т.е.  точка не аномальна
3	10	3	-4,67	21,78	0,40	= 3/7,52	< 1,52, т.е. точка не аномальна
4	11	1	-3,67	13,44	0,13	= 1 / 7,52	< 1,52, т.е.  точка не аномальна
5	15	4	0,33	0,11	0,53	= 4/7,52	< 1,52, т.е.  точка не аномальна
6	17	2	2,33	5,44	0,27	= 2 / 7,52	< 1,52, т.е.  точка не аномальна
7	21	4	6,33	40,11	0,53	= 4 / 7,52	< 1,52, т.е. точка не аномальна
8	25	4	10,33	106,78	0,53	= 4/7,52	< 1,52,т.е. точка не аномальна
9	23	-2	8,33	69,44	-0,27	= -2 / 7,52	< 1,52, т.е.  точка не аномальна
	132			452,00

Рис.2. Наличие  аномальных точек по методу Ирвина.

 

 

 

2. Построить линейную модель (t) = a₀ +a₁t, параметры которой оценить МНК ( (t)) — расчетные, смоделированные значения временного ряда).

 

t	Y(t)	t-tср	(t-tср)2	Y-Yср	(t-tср)* (Y-Yср)	Yл(t)	E(t)= Y(t)-Yл(t)	E(t)2	P	R(t)= E(t)-E(t-1)	R(t)2	E(t)* E(t-1)	[E(t)/ Y(t)]*100
1	3	-4	16	-11,67	46,7	3,9	-0,9	0,75					28,889
2	7	-3	9	-7,67	23,0	6,6	0,4	0,19	0	1,30	1,69	-0,38	6,190
3	10	-2	4	-4,67	9,3	9,3	0,7	0,54	1	0,30	0,09	0,32	7,333
4	11	-1	1	-3,67	3,7	12,0	-1,0	0,93	1	-1,70	2,89	-0,71	8,788
5	15	0	0	0,33	0,0	14,7	0,3	0,11	1	1,30	1,69	-0,32	2,222
6	17	1	1	2,33	2,3	17,4	-0,4	0,13	1	-0,70	0,49	-0,12	2,157
7	21	2	4	6,33	12,7	20,1	0,9	0,87	0	1,30	1,69	-0,34	4,444
8	25	3	9	10,33	31,0	22,8	2,2	4,99	1	1,30	1,69	2,08	8,933
9	23	4	16	8,33	33,3	25,5	-2,5	6,08		-4,70	22,09	-5,51	10,725
10						28,2
11						30,9
45	132	0	60		162	132,0		14,60	5	-1,60	32,32		79,6821

          Рис.3. Анализ временного ряда.

 

 

Рассчитаем  по методу наименьших квадратов параметры "а" и "b" линейной модели Y* = a+b*X

 

Итак, Y^*=1,167+2,700*t

 

3. Построить адаптивную модель Брауна (t)=a₀+a₁k с 
   параметром сглаживания α = 0,4 и α = 0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания.

Формулы для  расчета модели Брауна:

a0(t) = Yp(t) + E(t)*(1-b²)

a1(t)=a1(t-1)+E(t)*(1-b)²

Yp(t)=a0(t-1)+a1(t-1)

E(t)=Y(t)-Yp(t)

Из модели Y*(t)=1,17+2,70*t         а0(0)=1,17; а1(0)=2,70

      

Y(1)=a0(0)+a1(0)*k=1,17+1*2,70=3,87

E(1)=Y(1)-Yp(1)=3-3,87=-0,87

a0(1)=Yp(1)+E(1)*0,91=3,87-0,87*0,91=3,08

a1(1)=a1(0)+E(1)*0,49=2,70-0,87*0,49=2,28

и т.д. циклично.

t		Y(t)		1-b2		(1-b)2	a0(t)	a1(t)	Yp(t)	E(t)	E(t)2
0				0,91		0,49	1,17	2,7
1		3		0,91		0,49	3,08	2,28	3,87	-0,87	0,75
2		7		0,91		0.49	6,85	3,08	5,35	1,65	2,71
3		10		0,91		0,49	9,99	3,11	9,93	0,07	0,00
4		11		0,91		0,49	11,19	2,08	13,11	-2,11	4,45
5		15		0,91		0,49	14,84	2,93	13,27	1,73	2,99
6		17		0,91		0,49	17,07	2,55	17,77	-0,77	0,60
7		21		0,91		0,49	20,88	3,23	19,62	1,38	1,91
8		25		0,91		0,49	24,92	3,67	24,10	0,90	0,81
9		23		0,91		0,49	23,50	0,93	28,59	-5,59	31,20
9+1									24,43
9+2									25,36
Итого:			45,41

Рис.4. Модель Брауна для а=0,7.

Y(1)=a0(0)+a1(0)*k=1,17+1*2,70=3,87

E(1)=Y(1)-Yp(1)=3,00-3,87=-0,87

a0(1)=Yp(1)+E(1)*0,64=3,87-0,87*0,64=3,31

а1(1)=а1(0)+Е(1)*0,16=2,70-0,87*0,16=2,56

Y(2)=a0(1)+a1(1)*k=3,31+1*2,56=5,87

Е(2)=Y(2)-Yp(2)=7-5,87=1,13

а0(2)=Yp(2)+E(2)*0,64=5,87+1,13*0,64=6,59

а1(2)=а1(1)+Е(2)*0,16=2,56+1,13*0,16=2,74

и т.д. циклично.

 

 

 

t	Y(t)	1-b2	(1-b)2	a0(t)	a1(t)	Yp(t)	E(t)= Y(t)-Yp(t)	E(t)2	P	R(t)= E(t)-E(t-1)	R(t)2	E(t)* E(t-1)	[E/Y]* 100
0		0,64	0,16	1,167	2,7
1	3	0,64	0,16	3,31	2,56	3.87	-0,87	0,75					28,89
2	7	0,64	0,16	6,59	2,74	5.87	1,13	1,27	1	2,0	3,97	-0,98	16,10
3	10	0,64	0,16	9,76	2,85	9,34	0,66	0,44	0	-0,5	0,21	0,75	6,64
4	11	0,64	0,16	11,58	2,59	12,61	-1,61	2,59	1	-2,3	5,17	-1,07	14,63
5	15	0,64	0,16	14,70	2,72	14,17	0,83	0,69	1	2,4	5,95	-1,34	5,54
6	17	0,64	0,16	17,15	2,66	17,42	-0,42	0,18	1	-1,3	1,57	-0,35	2,50
7	21	0,64	0,16	20,57	2,85	19,81	1,19	1,42	0	1,6	2,61	-0,51	5,68
8	25	0,64	0,16	24,43	3,10	23,42	1,58	2,51	1	0,4	0,15	1,89	6,33
9	23	0,64	0,16	24,63	2,37	27,53	-4,53	20,52		-6,1	37,36	-7,17	19,69
9+1						27,01
9+2						29,38
						Итого:		30,36	5		57,00	-8,77	105,98

Рис.5. Модель Брауна для а=0,4.

Сравним модели по величине E(t)². Т.к. эта величина в модели для а = 0,4 меньше, то выберем эту модель. Повторим процедуры 4,5 для линейной модели, а результаты занесем в таблицу:

	расчет	оценка
p=	p=5	Т.к. p>2, то свойство случайности выполняется
d=	57,00/30,36=1,88	Т.к. d>d(2), то свойство независимости выполняется
RS=	6,11/1,95=3,14	Т к. RS=3,14 в интервале (2,7;3,7), то гипотеза о НЗР подтверждает
Eотн=	105,98/9=11,78	Т.к. 11,78% < 15%, то модель признается допустимой по точности
при k=1:        Y(9+1)=a0(9)+a1(9)*1=27,01                      U(1)=2,70
при k=2:         Y(9+2)=a0(9)+a1(9)*2=29,38                      U(2)=2,86

Построим  графики:

Рис.6. Фактические  данные, модель Брауна с прогнозом.

4. Оценить адекватность построенных моделей, используя 
   свойства независимости остаточной компоненты, случайности и 
   соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).

а) случайность  уровней ряда E(t) проверим по критерию поворотных точек Р:                                        

У нас, p=5, т.к. Р > 2, то свойство случайности выполняется.

б) независимость (отсутствие автокорреляции) уровней ряда E(t) проверим по критерию Дарбина-Уотсона:

                           d(l)=l,08; d(l) = 1,36

т.к. d > 2, то используем d*=4-d = 4- 2,21 = 1,79; т.к. d*>d(2), то свойство независимости выполняется.

в) соответствие нормальному закону распределения (НЗР) проверим по RS-критерию:

т.к.RS = 3,48 принадлежит интервалу [RSmin; RSmax] (RSmin=2,7; RSmax=3,7 из таблицы), то гипотеза о НЗР уровней ряда E(t) подтверждается, что позволяет сделать прогноз.

5. Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

т.к. Еотн=8,85<15%, то модель признается допустимой по точности.