Контрольная работа по "Эконометрике"

 

    Пусть зависимость среднедневной заработной платы от среднедушевого прожиточного минимума в день одного трудоспособного описывается простой линейной моделью.

    у = ₀+ ₁*х

     ₀ и ₁ – это параметры модели.

    Оценить, параметры модели ₀ и ₁ можно используя метод МНК.

     _{1= = = =}

    = =0,95 

     = - =141,58-0,95*85,83=60,28 

    у = ₀+ ₁*х =60,28 + 0,95 *х

    Определим коэффициент эластичности.

    Е_у/х = в₁* = 0,95* =0,58

    Значит, при увеличении среднедушевого прожиточного минимума в день одного трудоспособного на 1% среднедневная заработная плата вырастет на 0,58 грн.

    Определим значимость параметров модели, используя критерии Стьюдента.

    t ₁= ;     t =

= ; =

=

= = 7,53

 = = = 0,2

= = =1462,53

t ₁= = =4,75

t = = =0,04

    Находим  по  таблицам распределения Стьюдента  значение t_кр (t критическое) и сравниваем его с полученными значениями.

    Табличное значение -критерия Стьюдента при и число степеней свободы = n - 2 = 12 - 2 = 10 есть t_табл = 2,23. Так как, и , то признаем статистическую значимость параметров регрессии и показателя тесноты связи.

    Если  t и t t_табл то критерий значимый.

    Таким образом, значимым является только параметр ₁, так как t ₁ = 4,75 t_табл, а параметр признаем незначимым - t = 0,04 так как его значение меньше критического. Следовательно, для прогноза может быть использован лишь параметр _1.

    Определяем  коэффициент детерминации.

    Коэффициент детерминации – это квадрат множественного коэффициента корреляции. Он показывает, какая доля результативного признака объясняется влиянием независимых переменных.

    D = 1-   = 1 - = 1- 0,3 = 0,7

    Шкала Чеддока

 

    Это значит, что на среднедневную заработную плату величина среднедушевого прожиточного минимума в день одного трудоспособного оказывает заметное влияние. Влияние других факторов составляет 30%.

    Определим коэффициент корреляции.

    Коэффициент корреляции – показатель, характеризующий взаимосвязь между двумя параметрами.

    К = 

= = 0,84

    Значение  коэффициента корреляции достаточно близко к 1, что свидетельствует о наличии тесной связи между среднедневной заработной платой и среднедушевого прожиточного минимума в день одного трудоспособного.

    Проверим  модель на адекватность с помощью  модели Фишера.

    F_факт =

;

    n и k - это количество наблюдений и количество  параметров наблюдений;

    п = 12,   k = 2.

    R² = 0,84²

    F_факт = = = = 23,97

    Задаем  уровень значимости = 0,05 – это значит, что в расчетах мы можем ошибиться только на 5%, а в 95% случаев наши расчеты будут верными.

     Табличное значение - критерия при пятипроцентном уровне значимости ( = 0,05, к₂ = 2, к₂ = 12-2-1=9 ): _табл = 4,26. Так как _факт = 23,97≥ _табл=4,26, то уравнение признается статистически значимым. 

    Вывод:

    В связи с тем, что критерий признан незначительным уравнение регрессии будет иметь следующий вид.

    у =

1 * х = 0,95 * х

    Так как коэффициент детерминации и  корреляции показал наличие тесной связи между среднедневной заработной платой и среднедушевого прожиточного минимума в день одного трудоспособного и по критерию Фишера модель признана адекватной, ее рекомендуется использовать для прогноза.

    Значимость полученных параметров стоит принимать во внимание без учета других факторов.

 

2.2 Задача 2. 

     По 20 предприятиям региона изучается  зависимость выработки продукции  на одного работника  (тыс. грн.) от ввода в действие новых основных фондов (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих (%).

 

Требуется:

1. Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизованное уравнение множественной регрессии. На основе стандартизованных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.
2. Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их.
3. Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.
4. С помощью - критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации .
5. С помощью частных -критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после .
6. Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь один значащий фактор.

Решение:

    Определяем  значение параметров модели ₀, ₁, ₂ с помощью метода МНК.

    β= =β^-1 *

       =β*у                 

В =

*   =   

 

 

 

= х*у =

* =  

    Найдем  обратную матрицу ( ^-1) 

              

11 12 13

    

=    _{21 22 23}

                                                                _{31 32 33} 

                                                                                                                         В₁₁ В₁₂ В₁₃

    

 ^-1 =        *    В₂₁ В₂₂ В₂₃

                                                                                                                  В₃₁ В₃₂ В₃₃ 

det B = 116769,64 
 

      ^-1 =   

    И, тогда:

    β= =β^-1 * = * =  

                  ₀ = 0,718

                  ₁  =  1,181

                  ₂   = 0,076

=0,718 + 1,181*х₁+0,076*х₂ 

    Определим коэффициент эластичности.

     /Ех₁/у/ =В₁ * = 1,181* =0,75

     /Ех₂/у/ =В₂* = 0,076* =0,17

    Определим множественный коэффициент детерминации.

    

= 1 - = 0,98

    Из  этого множественный коэффициент  корреляции равен:

    

= = 0,99

    Вывод:

     В ходе проведенных расчетов с помощью  метода МНК были найдены параметры  множественной модели и определены коэффициенты эластичности, из их значений можно сделать вывод о том, что при увеличении ввода новых основных фондов на 1 %  выработка увеличиться на 0,75, а при увеличении удельного веса рабочих с высокой квалификацией на 1% выработка увеличиться на 0,17 единицы. Значение коэффициентов множественной корреляции и детерминации свидетельствует о наличии тесной связи между выработкой продукции на одного работника (тыс. грн.) и вводом в действие новых основных фондов (% от стоимости фондов на конец года), а также удельным весом рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих (%).