Контрольная работа по дисциплине"Экономико-математические методы и модели"

Министерство образования и науки Российской Федерации

федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Северный  (Арктический) федеральный университет имени М.В. Ломоносова»

Кафедра прикладной математики

(наименование кафедры)

Тулупова Маруся Климовна

(фамилия, имя, отчество студента)

Институт

ЗФЭИ

курс

1

группа

45

080100.62 Экономика бакалавры, 2 высшее образование

(код и наименование  направления подготовки/специальности)

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине

Экономико-математические методы и модели

На тему

Двойственные оценки как мера …

(наименование темы)

дефицитности ресурсов продукции

Отметка о зачёте

(дата)

Руководитель

Старший преподаватель

А. Н. Олениус

(должность)

(подпись)

(инициалы, фамилия)

(дата)

Архангельск 2014

 

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

ЗАДАЧА 1. ДВОЙСТВЕННЫЕ ОЦЕНКИ КАК МЕРА ДИФИЦИТНОСТИ РЕСУРСОВ ПРОДУКЦИИ……………………………………………………………...3

ЗАДАЧА 2. РЕШИТЬ ГРАФИЧЕСКИМ МЕТОЛОМ ТИПОВУЮ ЗАДАЧУ ОПТИМИЗАЦИИ………………………………………………………………………..9

ЗАДАЧА 3.  РАССЧИТАТЬ ПАРАМЕТРЫ ЭКОНОМИЧЕСКИ ВЫГОДНЫХ РАЗМЕРОВ ЗАКАЗЫВАЕМЫХ ПАРТИЙ…………………………………………..14

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ…………………………………..16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАДАЧА 1. ДВОЙСТВЕННЫЕ ОЦЕНКИ КАК МЕРА ДИФИЦИТНОСТИ РЕСУРСОВ ПРОДУКЦИИ

 

Каждой задаче линейного программирование можно поставить в соответствие другую задачу линейного программирования, которую называют двойственной к данной. исходная и двойственная к ней задача образуют пару двойственных задач.

В зависимости от вида исходной задачи линейного программирования различают симметричные, несимметричные и смешанные пары двойственных задач.

Рассмотрим симметричную пару двойственных задач.

Исходная задача:

Найти max при ограничениях:

В симметричной паре между прямой и двойственной задачами можно установить следующую взаимосвязь:

  1. Если прямая задача на максимум, то двойственная к ней - на минимум, и наоборот.

2. Коэффициенты целевой  функции прямой задачи являются  свободными членами ограничений двойственной задачи.

3. Свободные члены ограничений  прямой задачи являются коэффициентами целевой функции двойственной.

4. Матрицы ограничений прямой и двойственной задач являются транспонированными друг к другу.

5. Если прямая задача  на максимум, то ее система  ограничений представляется в  виде неравенств типа  . Двойственная задача решается на минимум, и ее система ограничений имеет вид неравенств типа .

6. Число ограничений прямой  задачи равно числу переменных  двойственной, а число ограничений двойственной - числу переменных прямой.

7. Все переменные в  обеих задачах неотрицательны.

Отсюда получаем двойственную задачу:

Найти min при ограничениях:

Переменные называют двойственными оценками.

Двойственные оценки - одно из основных понятий линейного программирования, введенное Л. В. Канторовичем. Это оценки продуктов, ресурсов, работ, выступающих в качестве ограничений в условиях решаемой оптимизационной задачи. Их называют также объективно обусловленными оценками, разрешающими множителями, множителями Лагранжа, теневыми ценами и целым рядом других терминов.

Свойства двойственных оценок:

1. Оценка как мера дефицитности  ресурсов и продукции.

2. Оценки как мера влияния  ограничений на функционал.

3. Оценки как инструмент  балансирования суммарных затрат и результатов

Так как двойственные оценки показывают, насколько возрастает (или уменьшается) функция цели (критерий оптимальности) экономико-математической задачи линейного программирования при увеличении (или уменьшении) запаса соответствующего вида ресурса на единицу и при использовании ее наилучшим образом, то они могут показать, к каким экономическим последствиям приведет производство дополнительной единицы ресурса.

Если производство единицы ресурса, оцененного таким образом, увеличит функционал меньше, чем на эту величину, то такой ресурс не надо производить, т. е. не надо включать в план. В противном случае этот ресурс целесообразно включать в план, поскольку общий результат увеличится. Двойственные оценки являются также показателями взаимозаменяемости ресурсов относительно заданного критерия, т. е. характеризуют эффективность замены малого количества (единицы) одного ресурса другим в рамках решения экономико-математической задачи. Таким образом, система двойственных оценок может характеризовать экономическую структуру плана, роль отдельных факторов в формировании оптимума.

Свойство оценок, как меры дефицитности ресурсов вытекает из второй теоремы двойственности.

Вторая теорема двойственности.

Пусть = (х1, х2, …, хn) допустимое решение прямой задачи. Вектор = (у1, у2, … ym) – допустимое решение двойственной задачи. Тогда, что бы эти решения были оптимальными необходимо и достаточно выполнение условий:

Эти условия применимы для нахождения оптимального решения одной задачи, если известно оптимальное решение другой задачи.

Свойство двойственных оценок, как меры дефицитности ресурсов состоит в том, что если ресурс расходуется не полностью в оптимальном плане производства (не является дефицитным), то он получает нулевую оценку (у = 0).

А если ресурс расходуется полностью (является дефицитным), то он получает положительную оценку (y > 0). И чем она выше, тем более дефицитный ресурс.

Пример:

Предприятие выпускает 2 вида продукции, при этом используется 3 вида сырья. Цена на продукцию, затраты сырья на изготовление каждого вида продукции, запасы сырья представлены в таблице:

Сырье	продукция		Запасы
	а	б
1	3	8	240
2	4	5	200
3	9	4	360
Цена	2	3

Составляем ЭММ исходной задачи.

Переменные х1, х2 – количество произведенной продукции

Функция цели:

Ограничения: 

Решая задачу линейного программирования получаем: при х1 = 23,53 и х2 = 21,18

Экономический смысл полученного решения: максимальная выручка от продажи товаров а и б составит 110,6 ден. ед., если производить 23,53 единицы товара а и 21,18 товара б.

Проанализируем использование сырья в оптимальном плане исходной задачи:

Сырье 1

Затраты на получение оптимального плана составят: 3*23,53 + 8*21,18 = 240

Запасы сырья 1 = 240

Т.е. сырье 1 используется в оптимальном полностью и является дефицитным.

Сырье 2

Затраты на получение оптимального плана составят: 4*23,53 + 5*21,18 = 220

Запасы сырья 2 = 200

Т.е. сырье 2 используется в оптимальном полностью и является дефицитным.

Сырье 3

Затраты на получение оптимального плана составят: 9*23,53+4*21,18=296,47

Запасы сырья 3 = 360

Т.е. сырье 3 используется в оптимальном не полностью и находится в избытке.

Составим двойственную к ней задачу:

Переменные у1, у2, у3 – двойственные оценки сырья.

Функция цели:

Ограничения:

Решая задачу линейного программирования получаем: при у1 = 2/17, у2 = 7/17, у3 = 0.

Экономический смысл: минимальные затраты на сырье составят 110,6 ден. ед., если цена сырья 1 будет равна 2/17 ден. ед./единицу ресурса, а сырья 2 – 7/17 ден. ед./единицу ресурса.

у1, у2 > 0 – сырье 1 и 2 являются дефицитными.

у3  = 0 – сырье 3 находится в избытке и не является дефицитным.

у2 > у1 – сырье 2 более дефицитно. Ограниченные запасы этого сырье сдерживают рост выручки и есть смысл увеличить запасы этого вида ресурса.

При увеличении запасов сырья 1 на 1 единицу выручка увеличится 2/17 ден. ед., при увеличении запасов сырья 2 на 1 единицу выручка вырастет на 7/17 ден. ед.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАДАЧА 2. РЕШИТЬ ГРАФИЧЕСКИМ МЕТОДОМ ТИПОВУЮ ЗАДАЧУ ОПТИМИЗАЦИИ

 

При производстве двух видов продукции используется четыре типа ресурсов. Норма расхода ресурсов на производство единицу продукции, общий объем каждого ресурса приведены ниже.

Ресурсы	Норма затрат ресурсов на товары		Общее количество ресурсов
	1-го вида	2-го вида
1 2 3 4	2 1 4 0	2 2 0 4	12 8 16 12

4

Прибыль от реализации одной единицы продукции первого вида составляет 2 ден. Ед., второго вида- 3 ден. Ед.

Задача состоит в формировании производственной программы выпуска продукции, обеспечивающей максимальную прибыль от её реализации.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?

 

РЕШЕНИЕ:

1. СФОРМУЛИРУЕМ ЭММ ЗАДАЧИ НА МАКСИМИЗАЦИЮ ПРИБЫЛИ

Введем переменные:

Х1 –реализация первого вида продукции;

Х2 –реализация второго вида продукции.

 

Составим целевую функцию:

Ограничения задачи имеют вид:

- норма расхода ресурса 1 на производство продукции;

- норма расхода ресурса 2на производство продукции;

- норма расхода ресурса 3 на производство  продукции;

-норма расхода ресурса 4 на производство  продукции.

• Прямые ограничения:

Поскольку количество продукции не может быть отрицательным числом, то:

Таким образом, имеем задачу линейного программирования:

Найти максимум f(x) = 2x1 + 3x2 при ограничениях:

 

2. ПОСТРОИМ ОБЛАСТЬ ДОПУСТИМЫХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ

Решением каждого ограничения системы является полуплоскость с граничащей ей прямой.

Построим прямую .Она проходит  через точки (6;0) и (0;6). Для того чтобы определить, какая плоскость удовлетворяет неравенству, необходимо выбрать любую точку не принадлежащую прямой. Выберем точку начала координат (0;0), подставим в неравенство 2 и получим 0 < 12. Данное утверждение является верным, следовательно, неравенству соответствует  нижняя полуплоскость, включающая точку (0;0)

Построим прямую . Она проходит  через точки (8;0) и (0;4). Для того чтобы определить, какая плоскость удовлетворяет неравенству, необходимо выбрать любую точку не принадлежащую прямой. Выберем точку начала координат (0;0), подставим в неравенство и получим 0 < 8. Данное утверждение является верным, следовательно неравенству соответствует  нижняя полуплоскость, включающая точку (0;0)