Экономико-математическое моделирование

Содержание

 

 

 

 

Задача 1

1. Пусть x₁ - количество выпускаемого продукта А, x₂- количество выпускаемого продукта В. Искомая производственная программа Х = (x₁;x₂) выпуска изделий А и В должна удовлетворять всем ресурсным ограничениям. Запишем их в математической форме:

3	x1	+	1	x2	≤	189
1	x1	+	5	x2	≤	315
7	x1	+	1	x2	≤	615

Пусть z - выручка от продажи продуктов  А и В.

Задача состоит в таком выпуске  продукции Х=(x₁; х₂), который обеспечивает максимальную выручку, т. е. Z=196x₁+364x₂ → max.

 

2. Построим область допустимых  решений (ОДР). Запишем по две  точки на граничных прямых:

1-я прямая	A	B
x1	0	63
x2	189	0
2-я прямая	C	D
x1	0	315
x2	63	0
3-я прямая	E	F
x1	0	87,9
x2	615	0

 

При подстановке точки (0; 0) в левую часть неравенств они будут выполняться. Следовательно, искомые полуплоскости будут располагаться слева и ниже граничных прямых.

Запишем точки через которые  проходит линия уровня Z=0:

 

Линия уровня Z=0
x1	0	50
x2	0	-26,9

Точки пересечения прямых (1), (2), (3) Получим решая последовательно  системы из двух уравнений:

 

точки пересечения граничных прямых		x1	x2
1 и 2	P=	45	54
2 и 3	V=	81,2	46,8
3 и 1	T=	106,5	-130,5

 

Находим градиент целевой функции Z он же вектор нормали:

grad Z= =(196;364)

Передвигая линию уровня 196x₁+364x₂=h вдоль вектора нормали, находим точку касания линии уровня и ОДР. Это и есть точка максимума функции Z. В нашей задаче точкой максимума является точка P.

Оптимальная производственная программа  Х* состоит в выпуске 45 изделий А и 54 изделий В. Ожидаемая выручка от их продажи: Z*=196х45+364х54=28476

3. Исходная задача    Двойственная задача

u1->	3x1+1x2≤189		x1->	3u1+1u2+7u3≥196
u2->	1x1+5x2≤315		x2->	1u1+5u2+1u3≥364
u3->	7x1+1x2≤615		u1,u2,u3≥0
x1,x2≥0
Z=196x1+364x2->max			W=189u1+315u2+615u3->min

Для того чтобы допустимое решение  Х=(x₁;x₂) исходной задачи и допустимое решение U=(u1;u2;u3) двойственной задачи были оптимальными, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия “дополняющей нежесткости”:

1). x₁v₁=0; x₂v₂=0

2). u₁y₁=0; u₂y₂=0; u₃y₃=0;

где

 

v1=	3	u1	+	1	u2	+	7	u3	-	196
v2=	1	u1	+	5	u2	+	1	u3	-	364
y1=	189	-	3	x1	-	1	x2
y2=	36	-	1	x1	-	5	x2
y3=	106	-	7	x1	-	1	x2

Причем W*=189u₁+315u₂+615u₃=Z*

Подставим найденную оптимальную  точку P=(45;54) в условия 1) и 2) получаем:

x1v1=0Þ	v1=0	3	u1	+	1	u2	+	7	u3	-	196
x2v2=0Þ	v2=0	1	u1	+	5	u2	+	1	u3	-	364
u1y1=0	y1=	189	-	3х	x1	-	1х	x2	Þ	u1	не =0
u2y2=0	y2=	36	-	1х	X1	-	5х	x2	Þ	u2	не =0
u3y3=0	y3=	106	-	7х	x1	-	1х	x2	Þ	u3	=0

Получаем систему уравнений:

3	u1	+	1	u2	+	7	u3	=	196
1	u1	+	5	u2	+	1	u3	=	364
u1	не =0
u2	не =0
u3	=0

Решение системы:

u1=44

u2=64

u3=0

Оптимальное решение двойственной задачи U*=(44;64;0)

Проверим  значение целевой функции двойственной задачи на этом решении:

W*=189u₁+315u₂+615u₃=28476=Z* (значит найдено правильно).

Получены  следующие результаты расчета модели:

X*=(45;54)

U*=(44;64;0)

Z*=W*=28476 руб.

Дадим экономическую интерпретацию решения.

Переменная u_i характеризует абсолютный прирост оптимизируемого показателя Z (выручки) в случае увеличения объема i-ro ресурса на одну единицу.

Переменная  у_i показывает, сколько остается i-ro ресурса после выполнения производственной программы X.

Переменная v_j интерпретируется как возможный убыток по полезности при выпуске j-ого продукта.

Оценка u₁=44 руб./кг показывает, что если объем сырья увеличить на 1 кг., то при прочих равных условиях максимальная выручка увеличится на 44 руб., а если уменьшить на 1 кг. -то снизится на 44 руб.

Оценка u₂=64 руб./ст.час показывает, что если объем фонда времени на оборудовании увеличить на 1 ст.час, то при прочих равных условиях максимальная выручка увеличится на 64 руб., а если уменьшить на 1 ст.час -то снизится на 64 руб.

Оценка u₃ =0 руб./чел.час показывает, что если объем трудоресурсов увеличить на 1 чел.час, то при прочих равных условиях максимальная выручка увеличится на 0 руб., а если уменьшить на 1 чел.час - то снизится на 0 руб. т.е. этот ресурс в избытке.

 

Задача 2

Оценим предельную полезность сырья  для данного предприятия.

Лимитирующий ресурс - сырье. Пусть  сырья S≥0, тогда точкой максимума  при увеличении S будет точка А’ на отрезке ОС, на этом отрезке x₁=0;x₂= S/1. В точке С=(0; 63) S(С)=1* 63=63

Заметим, что  если точка максимума не лежит  на i-й граничной прямой тогда  для этой точки y_i≠0 и из условий доп. нежесткости следует соответствующая оценка u₁ или u₂ или u₃ =0 (т.к. u₁y₁=0 и u₂y₂=0 и u₃y₃=0)

Следовательно из уравнений дополняющей. нежесткости получаем для 0≤S<63:

X₁≠0 x₂=0

1

u1

+

5

u2

+

1

u3

=

364

U₂=u₃=0 т.к. отрезок не лежит на прямых (2) и (3) u₁=364

Z(S)= 364S

При S1≥63 точкой максимума будет точка A’ на отрезке СV. В точке V=(81,2;46,8) S(V)=3*81,2+1*46,8=290,4

X₁≠0; x₂≠0

3	u1	+	1	u2	+	7	u3	=	196
1	u1	+	5	u2	+	1	u3	=	364

U₁=44

U₂=64

U₃=0

Z=44S+20160

При S1≥290,4 точкой максимума будет точка V.

X₁≠0; x₂≠0

3	u1	+	1	u2	+	7	u3	=	196
1	u1	+	5	u2	+	1	u3	=	364

U₁=0 т.к. V не лежит на (1)

U₂=69,18

U₃=18,12

Z=32935,5

Итого:

SЄ	[0;63)	[63;290,4)	[290,4;∞)
u1(S)	364	44	0
u2(S)	0	64	69,18
u3(S)	0	0	18,12
Z(S)	364S	44S+20160	32935,5

 

 

 

 

Задача 3

 

3.1.Дадим содержательную постановку транспортной задачи линейного программирования (ТЗЛП):

Имеются три поставщики некоторой продукции А_i с объёмом поставок:

A1=	65
A2=	8
A3=	91

 

И пять потребителя этой продукции Вi с объёмом спроса:

B1=	26
B2=	47
B3=	47
B4=	14
B5=	56

Сумма поставок  164

Сумма потребностей  190

Т.к. потребности не равны затратам введем фиктивного поставщика в объеме 190-164=26 ед.

Затраты на перевозку 1 ед. груза от i поставщика j потребителю. Приведены в матрице С (в руб.):

 

	10	11	9	6	8
сij=	8	9	6	4	7
	7	5	4	4	5
	0	0	0	0	0