Экономико-математические модели задач о смесях на примере СПК «Родина»

Цены, которые установлены на продукты питания, обозначим cj за единицу j-го продукта. Количество j-го продукта, входящего в пищевой рацион, обозначим через xj.

В этих обозначениях выбор самого дешевого рациона, удовлетворяющего сформулированным выше требованиям, сводится к решению следующей математической задачи:

Найти вектор X = ( x1, x2, …, xn), удовлетворяющий системе ограничений:

и доставляющий целевой функции минимальное значение.

Ограничение для каждого i означает, что в выбираемом рационе i-го питательного вещества должно содержать не менее, чем bi единиц. Второе ограничение формализует тот факт, что j-ый продукт может либо входить в рацион, и тогда xi>0, либо не входить, и тогда xi =0.

4.2 Методы решения задач о смесях

экономическая математическая задача интегрированная

От того, как будут распределяться ограниченные ресурсы, зависит конечный результат деятельности бизнеса, т. е., успешность решения подавляющего большинства экономических задач зависит от наилучшего способа использования ресурсов.

В результате чего и разработали методы решения данных задач, называемых оптимизационными методами задач распределения, основные из них: симплекс-метод, двойственный симплекс-метод, метод искусственного базиса, графический метод и решение задач средствами Excel через «Поиск решений». Так как я во втором разделе буду использовать при решении задачи распределения симплекс-метод, то рассмотрю его подробнее.

Симплекс-метод

Классическим методом решения рада линейного программирования стал симплекс-метод, получившим также в литературе название метода последовательного улучшения плана. Этот метод был разработан в 1947 г. американским математиком Джорджем Данцигом. Этот метод может быть использован для решения большого комплекса задач внутризаводского планирования: формирование специфицированной годовой производственной программы выпуска предприятия, плана загрузки различных групп оборудования, календарное распределение производственной программы выпуска и т.д.

Сточки зрения рациональности и наглядности вычислительного процесса выполнение алгоритма симплекс-метода удобно оформлять в виде последовательности таблиц. В различных источниках приводятся разные модификации симплекс таблиц, отличающихся друг от друга расположением отдельных элементов. Однако все они базируются на одних и тех же принципах. Основная идея симплекс-метода состоит в следующем:

1) принимается за базу одна из возможных программ - отправная (опорный план);

2) осуществляется ее пошаговое улучшение, пока не будет получен оптимум по заданной критериальной функции.

Т.о. проблема сводится к определению отправного варианта программы и нахождению способа улучшения последнего. При этом при формировании начального варианта программы создается как бы запас, возможность реализации в виде резервов тех ресурсов, которые регламентируются в сложившейся производственной ситуации. В процессе преобразований одни переменные вводятся в план, другие исключаются из него. С каждым шагом план приближается к оптимальному и в конечном счете приходит к нему, если в условиях задачи нет противоречия. За счет пошагового распределения ресурсов между планируемыми на выпуск изделиями (деталями) находится такое сочетание номенклатуры и количества этих изделий, которое является наилучшим с точки зрения достижения заданного критерия оптимальности и использования имеющихся ресурсов.

Решение задач симплекс-методом предусматривает выполнение следующих процедур:

1) формирование целевой функции;

2) определение ограничительных условий – функциональных ограничений, которые могут иметь вид неравенств;

3) преобразование ограничений из неравенств в систему равенств путем ввода вспомогательных, свободных переменных (последние имеют экономическое содержание и характеризуют резерв, неиспользованный остаток тех ресурсов, по которым введено ограничение);

4) построение исходной симплексной таблицы, в которой в формируемый план входят только свободные переменные;

5) ввод в исходный вариант плана реальных переменных и прежде всего тех, которые в наибольшей степени реализуют целевую функцию;

6) определение числового значения вводимой переменной – величины программы.

При этом каждый из показателей, характеризующих ограничительное условие, делится на соответствующий коэффициент при вводимом переменном – удельный расход данного ресурса. Тогда наименьшее частное определит максимально возможное в условиях принятых ограничений использование ресурсов при заданном критерии оптимальности. Полученный результат вводится в соответствующую строку формируемого плана симплексной таблицы. На этой строке матрицы весь ресурс исчерпан, она является «узким местом» и подлежит выводу. На ее место вводится другая строка, предварительно пересчитанная. Формируется новый вариант симплексной таблицы.

После каждой симплексной таблицы анализируется оптимальность полученного решения. Если все элементы последней строки (Z-строки) положительны и задача на максимум, то решение оптимально. Если все элементы Z-строки отрицательны и задача на минимум, то решение оптимально. Если план неоптимальный, производится его дальнейшее улучшение.

Алгоритм решения задачи симплекс-методом. Формирование целевой функции и системы ограниченных условий.

1.  Перевод неравенств в систему равенств.

2.  Построение исходной симплекс-таблицы

Таблица 2.2.1Базис             

3.  1-й столбец содержит базисные переменные (xn+m). 2-й столбец содержит коэффициенты целевой функции при базисных переменных (Ci+n). xi - переменные задачи i=1,2,…n. C1, …,Cn – коэффициенты при x1 ,…, xn целевой функции соответственно. Остальные столбцы и строки (кроме последней) содержат коэффициенты переменных в ограничениях. В последнем столбце находятся свободные члены. Последняя строка определяется по формуле:

4.  Если решение не оптимально, то выбираем максимальный по абсолютной величине из отрицательных (если целевая функция стремится к максимуму) или из положительных (в противном случае) элемент Z-строки. В результате получаем «ключевой» столбец. Затем находим минимальное отношение элемента B-столбца на соответствующий положительный элемент «ключевого» столбца, получаем «ключевую» строку. На пересечении «ключевого» столбца с «ключевой» строкой находится «ключевой» элемент.

5.  Вводим соответствующую переменную полученного «ключевого» элемента в состав базисных и строим новую таблицу по следующим правилам:

·  В «новой» таблице на месте «ключевого» элемента ставится 1. Все остальные строки данного столбца равны 0.

·  Если в «ключевой» строке (столбце) «старой» таблицы есть элемент равный 0, то соответствующий столбец (строка) переписывается в «новой» таблице без изменений.

·  Переменные «ключевой» строки в «новой» таблице равны соответствующим элементам «старой» таблицы, деленным на «старый» «ключевой» элемент.

·  Элемент «новой» таблицы равен соответствующему элементу «старой» таблицы минус произведение соответствующего элемента «старого» «ключевого» столбца на соответствующий элемент «новой» «ключевой» строки.

·  Такие таблицы строятся до тех пор, пока решение не будет оптимальным.

Глава 5 Постановка и решение экономико-математических смесей на примере СПК «Родина»

5.1 Организационно-экономическая характеристика ПСК «Родина»

В архивных документах упоминается, что в конце 1929 года в деревне Бобры Мозырского района создано коллективное хозяйство. В протоколе правления Мозырского Окрколхозсоюза от 22 марта 1930 года встречается упоминание о колхозе «Бобры». Есть отчет Белколхозцентра, в котором говорится, что в сентябре 1930 года в деревне Бобры Мозырского района создан колхоз им. Ворошилова.

Летом и осенью 1930 года были организованы колхоз «Пролетерский» в деревне Лучежевичи , им. Калинина – в Майском, им.Ленина в Телепунах, им. Фрунзе – в Дроздах, «Чырвоная зорка» - в Козенках, «Чырвоны араты» - в Норавчизне, «1 Мая» - в Боровиках. Все они в начале 50-х годов объединились с колхозом им. Ворошилова, хозяйство стало называться «Дружба», а позже – «Родина».

Трудны были первые шаги жизни коллективизированной социалистической деревни. Часть крестьян сознательно боролась за коллективную жизнь, другая просто примирилась, третья – затаилась в ожидании лучших времен.

Сегодня хозяйства – это производственный сельскохозяйственный кооператив «Родина», который находится на юго-восточной части области. Его хозяйственный центр – деревня Козенки – расположен в 2 км от города Мозыря. Общая земельная площадь составляет 3487 га, в том числе с/х угодья 2370 га, из них пашня – 1691га, сенокосы – 202 га, пастбища – 420 га, сад – 57 га. Удельный вес пашни в структуре сельскохозяйственных угодий составляет 68,9%, что характеризует высокую распаханность угодий. Средний бал с/х угодий составляет – 27,1, пашни – 28,1.

Таблица 3.1 ЗемлепользованиеНаличие земельных угодий на 01.01.2006год             

В хозяйстве имеется 2040 голов КРС, в том числе коров – 686 голов. Плотность скота на 100 га с/х угодий составляет 94 головы, в том числе коров –31 голова. Поголовье свиней составляет 372 головы.

Средний удой на корову равен 2143 кг, среднесуточные привесы достигают 357 гр.

В хозяйстве имеется молочно-товарная ферма «Козенки», комплекс «Майский», ферма по откорму и выращиванию КРС «Майская».

На фермах действует поточно-цеховая система производства молока, корм раздается механизированным путем и вручную.

А также в хозяйстве имеется СТФ, специализирующаяся на выращивании свиней и реализации поросят населению. На территории хозяйства находится автопарт, машинно-тракторный парк, механизированная мастерская, складские помещения, мойка.

Располагая относительно небольшой земельной площадью предприятие из года в год добивается неплохих результатов.

Управление деятельностью ПСК «Родина» осуществляет правление кооператива во главе председателя Жилин В.В., который назначается на должность общим собранием членов кооператива.

ПСК «Родина» является юридическим лицом, имеет самостоятельный баланс, расчетный и другие счета в банках, имеет круглую печать РБ со своим наименованием, другие необходимые штампы и бланки.

Хозяйственная деятельность осуществляется на основании Устава кооператива. Разработан коллективный договор между правлением ПСК «Родина» и членами кооператива, пересматриваемым ежегодно и утвержденным на общем собрании членов кооператива.

Каждый член кооператива работает и материально заинтересован в результатах личного и коллективного труда, в эффективности использования ресурсов.

Основным направлениями и целями деятельности ПСК «Родина» являются:

1.  выращивание и реализация мяса КРС и свиней. В 2006 году выручка от реализации мяса КРС составила 450 млн. руб. и мяса свиней -- 158 млн. руб.

2.  производство и реализация молока.

3.  производство и реализация зерна, картофеля, рапса, овощей;

4.  выполнение работ и оказания услуг;

5.  иная деятельность, не запрещенная законодательством.

Среднесписочная численность работников составляет 145 человек.

Среднегодовая стоимость основных производственных средств сельскохозяйственного назначения составляет 2301 млн.руб.

5.2 Основные технико-экономические показатели работы СПК «Родина» за 2005-2007гг.

Таблица 3.2.1 Основные технико-экономические показатели