Индексная модель У. Шарпа

Индексная модель У. Шарпа.

     Ожидаемую доходность  актива можно определить не  только с помощью уравнения SML, но также на основе так называемых  индексных моделей. Их суть состоит  в том, что изменение доходности  и цены актива зависит от  ряда показателей, характеризующих  состояние рынка, или индексов.

     Важный этап в разработке  современной портфельной теории  связан с работами У. Шарпа. В начале 60-х гг. XX в. У. Шарп, развивая подход Г. Марковица, предложил модель, значительно упростившую процедуру нахождения оптимального портфеля и, следовательно, более пригодную для практического использования. Ее часто называют рыночной моделью.

      В модели Шарпа представлена зависимость между ожидаемой доходностью актива и ожидаемой доходностью рынка. На основе регрессионного анализа рынка акций США У. Шарп пришел к выводу о том, что для формирования оптимального портфеля не обязательно знать ковариацию каждой акции друг с другом; достаточно определить, как каждая акция взаимодействует с рынком в целом. Ученый установил, что доходность отдельной акции строго коррелирует с общим рыночным индексом, и разработал модель, которая свела задачу квадратичного программирования к линейной. Модель У. Шарпа строится на учете всего лишь одного базисного фактора и отношений, связывающих его с изменением курсов отдельных акций. Как правило, за такой фактор берется значение какого-либо фондового индекса. В отличие от мультииндексной модели Г. Марковица, модель У. Шарпа называют моделью единичного индекса, или просто индексной моделью.

Уравнение модели имеет следующий вид:

E(ri ) = yi + βi E(rm ) –εi                                                                                                                                                (192)

где:

E(ri ) — ожидаемая доходность актива;

Yi — доходность актива в отсутствии воздействия на него рыночных факторов;

 βi — коэффициент бета актива;

Е(rm) — ожидаемая доходность рыночного портфеля;

εi — независимая случайная переменная (ошибка): она показывает специфический риск актива, который нельзя объяснить действием рыночных сил. Значение ее средней равно нулю. Она имеет постоянную дисперсию; ковариацию с доходностью рынка равную нулю; ковариацию с нерыночным компонентом доходности других активов равную нулю.

Уравнение (192) является уравнением регрессии. Если его приме- нить к широко диверсифицированному портфелю, то значения случайных переменных (εi) в силу того, что они изменяются как в положительном, так и отрицательном направлении, гасят друг друга, и величина случайной переменной для портфеля в целом стремится к нулю. Поэтому для широко диверсифицированного портфеля специфическим риском можно пренебречь. Тогда модель Шарпа принимает следующий вид:

E(rp ) = yp + βpE                                                                                                                                                    (193)

где: Е(rр) — ожидаемая доходность портфеля; βp — бета портфеля; ур — доходность портфеля в отсутствии воздействия на него рыночных факторов

     Причем он не разработал нового метода составления портфеля, а упростил проблему таким образом, что приближенное решение может быть найдено со значительно меньшими усилиями. Шарп ввел b-фактор, который играет особую роль в современной теории портфеля. Бета-коэффициент характеризует изменение доходности ценной бумаги в зависимости от колебаний рыночной доходности:

где σiM – ковариация между темпами роста курса ценной бумаги и темпами роста рынка; σ2м – дисперсия доходности рынка.

или где ρiM – корреляция между доходностью ценной бумаги и рыночной доходностью; σi – среднеквадратическое отклонение доходности по данной ценной бумаге.

     Если бета больше единицы, то данную бумагу можно отнести к инструментам с повышенной степенью риска, т.к. ее цена движется в среднем быстрее рынка. Если бета меньше единицы, то степень риска этой бумаги относительно низкая, поскольку в течение периода глубины расчета ее цена изменялась медленнее, чем рынок. Если бета меньше нуля, то в среднем движение этой бумаги было противоположно движению рынка в течение периода глубины расчета.

     Поскольку рыночную  доходность определить весьма  сложно, для этой цели используется  индекс, отражающий общее состояние  рынка. Зависимость доходности ценной  бумаги от индекса представлена  уравнением регрессии:

ri = αi + βi ∙ rм, + εi.                                                                                                    (13.10)   

 где ri – доходность ценной бумаги i за данный период; 

rм – рыночная доходность за этот же период;

αi – альфа-коэффициент i-й ценной бумаги, характеризующий ту составляющую ее доходности, которая не зависит от движения рынка (коэффициент смещения);

βi – бета-коэффициент i-й ценной бумаги, отражающий степень чувствительности i-той ценной бумаги к изменению рыночной доходности (коэффициент наклона);

εi – случайная погрешность, отклонение от линии регрессии.       

     Уравнение, записанное без случайной погрешности, является уравнением линейной регрессии. Параметр «бета» поэтому является коэффициентом регрессии и может быть определен по формуле:              

    Где:

xi – доходность рынка в i-й период времени;

yi– доходность ценной бумаги в i-й период времени;

n – количество периодов.

По Шарпу показатель «альфа» (его также называют сдвигом) определяет составляющую доходности бумаги, которая не зависит от движения рынка.

     В соответствие с одной из точек зрения, «альфа» является своего рода мерой недо- или переоценки рынком данной бумаги. Положительная «альфа» свидетельствует о переоценке рынком данной бумаги. Отрицательная «альфа» свидетельствует о недооценке рынком данной бумаги.

     Случайная погрешность ( показывает, что индексная модель Шарпа не очень точно объясняет доходности ценной бумаги. Разность между действительным и ожидаемым значениями при известной доходности рыночного индекса приписывается случайной погрешности.                                                                                   

     Случайную погрешность можно рассматривать как случайную переменную, которая имеет распределение вероятностей с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением, вычисляемым по формуле:

     Истинное значение коэффициента «бета» ценной бумаги невозможно установить, можно лишь оценить это значение. Так что даже если бы истинное значение «беты» оставалось постоянным всегда, его оценка, полученная по методу наименьших квадратов, все равно бы менялась бы во времени из-за ошибок при оценке – ошибок выборки. Стандартная ошибка «беты» есть попытка оценить величину таких ошибок:

     Аналогично стандартная ошибка для «альфы» дает оценку величины отклонения прогнозируемого значения от «истинного»:

     Для характеристики конкретной ценной бумаги используются и другие параметры. R-squared (R2), или коэффициент детерминации, равен квадрату коэффициента корреляции цены бумаги и рынка. R-squared меняется от нуля до единицы и определяет степень согласованности движения рынка и бумаги.

     Коэффициент детерминации представляет собой пропорцию, в которой изменение доходности ценной бумаги связано с изменением доходности рыночного индекса. Другими словами, он показывает, в какой степени колебания доходности ценной бумаги можно отнести за счет колебаний доходности рыночного индекса.

     Если этот коэффициент равен единице, то бумага полностью коррелирует с рынком, если равен нулю, то движение рынка и бумаги абсолютно независимы.

     Ошибки показателей «бета» и «альфа» определяются непосредственно ошибкой регрессионной модели. Естественно, в первую очередь они зависят от глубины расчета.

     При различных стадиях рынка (растущий, падающий) для достижения лучшего эффекта можно пользоваться следующими комбинациями коэффициентов:

	На покупку	На продажу
Падающий рынок
Растущий рынок

     На западных рынках значения a, b, R2 регулярно рассчитываются для всех ценных бумаг и публикуются вместе с индексами. Пользуясь этой информацией, инвестор может сформировать собственный портфель ценных бумаг. На российском рынке профессионалы постепенно тоже начинают использовать a-, b-, R2-анализ.

С учетом разделения общего риска на две составляющие (систематический и несистематический риски) общую дисперсию ценной бумаги можно представить следующим образом:

　

где σм – стандартное отклонение рыночной нормы доходности;

(βiσм)2 – величина рыночного (систематического) риска; 

σ2ε1 – величина специфического (несистематического) риска.

При β > 1 динамика доходности i-й ценной бумаги выше, чем колебание среднерыночной доходности.

При β = 1 динамика доходности i-й ценной бумаги совпадает с динамикой среднерыночной доходности.

При β < 1 изменение индивидуальной доходности меньше, чем среднерыночная доходность.

Если добавить к портфелю акцию с коэффициентом β > 1, β-κоэффициент портфеля возрастет, соответственно, увеличится и риск портфеля. Напротив, если к портфелю с β = 1 добавить акцию с β < 1, то β-коэффициент и риск портфеля уменьшится. Очевидно, что портфель ценных бумаг с коэффициентом β, равным единице, будет иметь такую же степень риска, как и весь рынок.

В целом β-коэффициент портфеля представляет собой взвешенную по размерам инвестиций сумму коэффициентов β каждой из входящих в портфель ценных бумаг:

　

где xi – доля портфеля, приходящаяся на i-ю ценную бумагу.

Пример 13.2. Определим р-коэффициент портфелей I, II и III, которые состоят из трех видов ценных бумаг (А, Б, В), имеющих следующие значения β-коэффициента: βА = 0,5; βБ = 1,0; βB = 1,5, если доли ценных бумаг в портфелях составляют:

	1	II	III
xA	0,2	0,5	0,3
xБ	0,3	0,3	0,3
хВ	0,5	0,2	0,4

βр I = 0,5 ∙ 0,2 + 1 ∙ 0,3 + 1,5 ∙ 0,5 = 1,15;

βр II = 0,5 ∙ 0,5 + 1 ∙ 0,3 + 1,5 ∙ 0,2 = 0,85;

βр III = 0,5 ∙ 0,3 + 1 ∙ 0,3 + 1,5 ∙ 0,4 = 1,05.

Как видно, наименьшим риском характеризуется портфель II, где выше доля наименее рисковой ценной бумаги А и ниже доля наиболее рисковой бумаги В.