Автор: Пользователь скрыл имя, 19 Декабря 2012 в 17:42, статья
Рассмотрена задача формирования оптимального портфеля при наличии ограничений на размеры инвестиций на вложения в отдельные активы и безрискового актива. Сформулирована математическая модель, являющаяся задачей квадратичного программирования, и предложен алгоритм её решения, являющийся разновидностью метода ветвей и границ. Подробно рассмотрен пример решения задачи с безрисковым активом для портфеля из трёх акций. Проведено сравнение характеристик портфеля, учитывающих безрисковый актив и без него. На основе анализа даны практические рекомендации по формированию портфелей ценных бумаг.
УДК 336
Формирование оптимального портфеля ценных бумаг
с ограничениями при наличии безрискового актива
Шур В.Л., Шмыров М.С.
Рассмотрена задача формирования оптимального портфеля при наличии ограничений на размеры инвестиций на вложения в отдельные активы и безрискового актива. Сформулирована математическая модель, являющаяся задачей квадратичного программирования, и предложен алгоритм её решения, являющийся разновидностью метода ветвей и границ. Подробно рассмотрен пример решения задачи с безрисковым активом для портфеля из трёх акций. Проведено сравнение характеристик портфеля, учитывающих безрисковый актив и без него. На основе анализа даны практические рекомендации по формированию портфелей ценных бумаг.
Ключевые слова: безрисковый актив, коэффициент Шарпа, кривые Марковица.
Фондовые рынки развивающихся
стран характеризуются
Теория Марковица позволяет сформировать портфель с заданной доходностью при минимальной волатильности. Вопрос ограничений на вложения в отдельные активы для физических лиц регулируется индивидуальными предпочтениями инвестора. Для юридических лиц, кроме того, существуют и законодательные ограничения. В соответствии с «Положением о составе и структуре активов акционерных инвестиционных фондов и активов паевых инвестиционных фондов», утвержденным приказом ФСФР от 28 декабря 2010 г. N 10-79/пз-н оценочная стоимость ценных бумаг одного эмитента может составлять не более 15 процентов стоимости активов открытых и интервальных паевых инвестиционных фондов и не более 35 процентов стоимости активов акционерных инвестиционных фондов и закрытых паевых инвестиционных фондов.
Под безрисковыми активами мы будем понимать активы, будущая доходность которых известна заранее, а волатильность цены которых пренебрежимо мала по сравнению с акциями. На практике можно воспользоваться государственными или квазигосударственными (например, муниципальными) облигациями со сроками погашения равными инвестиционному периоду портфеля. Нужно отметить, что абсолютно «безрисковых» активов не существует. Во время резкого обострения финансового кризиса 1998 года по ГКО был объявлен дефолт. Тем не менее в настоящее время данные виды облигаций можно считать безрисковыми.
В основу формирования портфеля ценных бумаг положим [1] концепцию Марковица. Задача оптимизации инвестиционного портфеля из n различных активов состоит в обеспечении заданного уровня доходности при минимальном уровне риска:
(1),
(2), (3), (4),
где - дисперсия и среднеквадратичное отклонение; - вектор (столбец) весов активов в портфеле; - остаток свободных денежных средств; - ковариационная матрица доходностей портфеля, рассчитанная в момент инвестирования и до конца инвестиционного периода предполагаемая неизменной (статическая модель); - вектор (столбец) ожидаемых доходностей активов; - доходность безрискового актива; - ограничение сверху на вложения в соответствующий актив; - многогранник в пространстве , определяемый ограничениями (2) – (4).
Выражая из (3) и подставляя в (2) получаем:
(5),
где , .
Предположим также, что инвестор не использует заёмных средств и не открывает коротких позиций:
(6), (7).
Задача (1) – (4) представляет собой [2] задачу квадратичного программирования. Нужно определить оптимальный вектор долей активов на выпуклом множестве всех планов , обеспечивающий минимальное значение целевой функции волатильности (среднеквадратичного отклонения) портфеля при заданном уровне доходности портфеля .
Алгоритм решения задачи основан на методе ветвей и границ. В качестве начальной точки выбирается значение при котором все , т.е. случай, когда все средства вложены в безрисковые активы. В рассматриваемой задаче, в зависимости от значения можно выделить два случая: портфель с безрисковым активом Тобина-Шарпа-Линтнера (неравенство (5) неактивно) и классический портфель Марковица, состоящий только из рискованных активов ( ).
Без учета ограничений (4) задача (1) – (3) допускает аналитическое решение. Для решения задачи минимизации квадратичной функции (1) при условиях (2) – (3) составим функцию Лагранжа:
(8)
Условие минимума риска при заданной доходности имеет вид:
(9)
Найдём частные производные функции Лагранжа по всем переменным и приравняем их к нулю. При дифференцировании воспользуемся формулами:
, (10),
где .
Заметим, что если условие (3) неактивно, то дифференцируя (8) по получаем: .
Производные по ( ) , с учётом (10), дают следующие n уравнений:
если условие (3) активно, то (11);
если условие (3) активно, то (12).
Дифференцируя по , получаем ограничения (2) и (3).
В результате использование функции Лагранжа приводит решение задачи квадратичного программирования (1) – (4) к решению системы уравнений c неизвестными:
если условие (3) неактивно, то
, где ; ; (13),
если условие (3) активно, то
, где ; ; (14),
Коэффициенты , где - коэффициенты ковариационной матрицы.
Решение систем уравнений (13) или (14) в большинстве случаев приводит к невыполнению системы неравенств-ограничений (4). Это означает, что оптимальное с точки зрения минимизации волатильности портфеля соотношение акций, не соответствует системе ограничений на вложения в отдельные активы.
Предлагаемая методика основана на рассмотрении величины предполагаемой доходности как параметра. Из решения систем (13) или (14) видно, что при решении классической задачи без ограничений линейно зависят от . В рассматриваемой задаче данное условие выполняется только во внутренней области множества планов. Достижение одной из функций соответствующей грани предполагает переход к следующему этапу решения задачи.
На первом этапе задача решается при произвольном значении . Для удобства программирования акции рекомендуется проранжировать в порядке убывания коэффициентов Шарпа ( ), т.е. отношение потенциальной доходности акции к её волатильности. Акции с наибольшим по модулю отрицательным значением присваивается значение 0 и задача решается снова. Если в решении снова имеются отрицательные значения, то процесс повторяется до тех пор, пока в решении не останутся только положительные значения . Далее определяем, какая прямая первой достигнет своего верхнего значения. Аналог системы уравнений (13) в этом случае для верхней границы принимает вид:
, где ; ; (18).
В случае нижней границы цены в матрице (16) удаляется не первая, а n-ая строка, а в векторе индекс 1 на n.
Предложенную методику рассмотрим для случая портфеля из 3 акций и остатка денежных средств. Пример из трёх активов позволяет проиллюстрировать методику расчёта наглядно с помощью трёхмерных рисунков. Целевая функция (1) и ограничения (2)-(4) примут вид:
(20),
(21), (22), (23).
Предполагается отсутствие заёмных средств и коротких позиций. Вложения в один актив не могут превышать . Целевая функция (20) задаёт семейство эллипсоидов. Система неравенств (23) задаёт куб со стороной , уравнение (21) – плоскость, пересекающую оси координат в точках . Таким образом, множество планов представляет собой куб со срезом плоскостью (20). Кроме того, при больших значениях , при отсутствии денежного остатка в портфеле, многогранник пересекает плоскость .
В качестве примера составим оптимальный портфель из акций трёх эмитентов: «Газпрома», «Роснефти» и «Сбербанка» по итогам торгов с ноября 2009 по ноябрь 2010 год, а также безрисковый актив равный 5% Ковариационная матрица и вектор относительных ожидаемых доходностей (%) выглядят так:
; . (24)
Вложения в один актив не должны превышать 40 % от общей суммы инвестиций, привлечение заёмных средств и открытие коротких позиций не предусмотрены:
; (25).
Отметим также, что задаваемые ограничения накладывают ограничение на максимальное значение ожидаемой доходности портфеля:
(26).
Рассмотрим подробно алгоритм решения этой задачи.
1. Решаем задачу без ограничений при произвольном значении параметра, например, .
, . Получаем вектор . Видно, что в решении есть два отрицательных элемента. Поэтому возьмём значения и . Следовательно, в матрице убираем второй и третий столбцы и решаем соответствующую систему уравнений. Получаем: . По двум точкам и находим прямую . Учитывая, что , находим правую границу первого интервала . Таким образом на интервале решение будет выглядеть так: .
2. На втором интервале фиксируем . В точке , Отбрасывая первое уравнение, и задавая значение =10 решаем следующую систему уравнений:
, (27). Получаем .
По двум точкам находим следующее решение: Следовательно, рост ожидаемой доходности на этом интервале происходит только за счёт увеличения доли второй акции: . Границей данного участка становится точка в которой активным становится ограничение (22), т.е в точке .
3. На этом интервале происходит постепенная смена приоритетов. Увеличение доходности на предыдущих интервалах происходило за счёт уменьшения доли свободных денежных средств. При этом пропорции долей акций сохранялись и определялись только их коэффициентом Шарпа. При отсутствии свободных средств увеличение доходности происходит за счёт увеличения доли акций с более высокой доходностью, но и более волатильных. В данном примере первая акция обладает наибольшей потенциальной доходностью и коэффициентом Шарпа. Поэтому её доля по-прежнему определяется максимальным значением: . Коэффициент Шарпа второй акции выше третьей, но ожидаемая доходность у неё меньше. Поэтому увеличение ожидаемой доходности портфеля достигается увеличением доли третьей акции за счёт доли второй. Количественно доли этих акций определяются уравнениями: .
В результате решение на этом этапе выглядит следующим образом:
Выводы.
1. На рис.1. представлена геометрическая интерпретация предложенного метода решения. Множество портфелей из рисковых активов представляет собой куб со сторонами 0,4 и срезом его плоскостью, определяемой ограничением (3). Каждый участок решения представляет собой переход с одной грани куба на другую. При этом размерность грани может, как снижаться, так и увеличиваться. Параметром изменения координат линии является ожидаемая доходность портфеля. В связи с этим предлагаемый метод можно считать разновидностью метода перебора граней.
2. На рис.2 представлен график зависимости долей акций в портфеле и остатка денежных средств на счету. На нем отчётливо видны две зоны, отличающиеся наличием и отсутствием остатка денежных средств на инвестиционном счету. Принципиальное отличие в поведении графиков объясняется сменой приоритетов при оптимизации. При наличии денежного остатка наибольшим весом обладают акции с более высоким коэффициентом Шарпа. Увеличение доходности при этом происходит за счёт привлечения дополнительных средств и доли акций пропорционально возрастают. При отсутствии свободных средств, для увеличения доходности приходится увеличивать долю более доходных, но и более рискованных активов. На этом участке увеличивается доля третьей акции за счёт второй. В данном наборе активов наиболее интересна первая акция. У инвестора может возникнуть искушение вложить все средства в первый актив. Тем не менее, необходимо учитывать, что теория Марковица опирается на нормальный закон распределения цены актива и не рассматривает «хвостовые» риски, т.е. не учитывает обстоятельства резко меняющие оценку акций. Например, акции «Юкоса», показывавшие впечатляющий рост в 2001 – 2003 годах, после предъявления налоговых претензий в 2004 году упали более чем в 10 раз. Таким образом, диверсификация портфеля, а, следовательно, и ограничения на вложения в один актив, каким бы привлекательным он не казался, являются обязательным условием успешных инвестиций.
3. На рис 3 и 4 представлены зависимости волатильности (кривые Марковица) и коэффициента Шарпа для портфелей, учитывающих безрисковый актив и без него. Очевидно, что при неактивном ограничении (3), т.е. при наличии свободных денежных средств, использование безрискового актива приводит к существенному
улучшению характеристик
портфеля.
Литература.