Лекции по "Технологии цифровой обработки сигналов"

Фильтрация однозначно определяет выходной сигнал y(k) для  установленного значения входного сигнала s(k) при известном значении импульсного  отклика фильтра h(n).

Рис. 2.1.3. Рекурсивный ЦФ.

Рекурсивные фильтры. Фильтры, которые описываются полным разностным уравнением (2.1.2)

y(k) =

b_n x(k-n) – a_m y(k-m),

принято называть рекурсивными цифровыми фильтрами (РЦФ), так как  в вычислении текущих выходных значений участвуют не только входные данные, но и значения выходных данных фильтрации, вычисленные в предшествующих циклах расчетов. С учетом последнего фактора рекурсивные фильтры называют также фильтрами с обратной связью, положительной или отрицательной в зависимости от знака суммы коэффициентов a_m. Полное окно фильтра состоит из нерекурсивной части b_n, ограниченной в работе текущими и "прошлыми" значениями входного сигнала (на ЭВМ возможно использование и “будущих” отсчетов сигнала) и рекурсивной части a_m, которая работает с "прошлыми" значениями выходного сигнала. Техника вычислений приведена на рис. 2.1.3.

  Пример.    Уравнение РЦФ:   y_k = b_ox_k+a₁y_k-1,  при b_o = a₁ = 0.5,  y_-1 = 0.

  Входной сигнал:  x_k = {0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1....}

  Расчет выходного  сигнала:

    у_о = 0,5x_o + 0,5y_-1 = 0;   y₁ = 0,5x₁ + 0,5y_o =0;   y₂ = 0,5x₂ + 0,5y₁ = 0.5;   y₃ = 0,5x₃ + 0,5y₂ = 0.25;

    y₄ = 0,5x₄ + 0,5y₃ = 0.125;   y₅ = 0,5x₅ + 0,5y₄ = 0.0625;    y₆ = 0,5x₆ + 0,5y₅ = 0.03125;   и т.д.

  Выходной сигнал: y_k = {0, 0, 0.5, 0.25, 0.125, 0.0625, 0.03125, 0.015625,...}

Рис. 2.1.4. Рекурсивная фильтрация.

Из примера рекурсивной  фильтрации на рис. 2.1.4 можно видеть, что реакция РЦФ на входной  сигнал (например, на единичный импульс  Кронекера в точке 2), в результате действия обратной связи, в принципе, может иметь бесконечную длительность (в данном случае с близкими к нулю, но не нулевыми значениями), в отличие от реакции НЦФ, которая ограничена количеством членов b_k (окном фильтра). Фильтры такого типа называют фильтрами с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтры). При положительной обратной связи (сумма коэффициентов a_m больше 1) фильтр становится неустойчивым (идет «в разнос» как на рис. 2.1.5)

  Пример.   Уравнение РЦФ:   y_k = b_ox_k - a₁y_k-1,  при b_o = 0.5,  a₁=1.1,   y_-1 = 0

  Входной сигнал: x_k = {0, 10, 0, 0, 0,....}.

  Выходной сигнал:  y_k = {0,0,5,-5.5,6.05,-6.655,7.321,-8.053,8.858,-9.744,10.718,-11.79,… и т.д.}

  Заметим: коэффициент обратной связи больше a₁ > 1 и выходной сигнал идет "в разнос".

Рис. 2.1.5. Неустойчивый рекурсивный  фильтр.

Операции, относящиеся  к рекурсивной фильтрации, также  известны в обычной практике, например - интегрирование. При интегрировании по формуле трапеций:

y_k = (x_k+x_k-1)/2 + y_k-1,                                        (2.1.7)

т.е. здесь мы имеем  РЦФ с коэффициентами: b_o = b₁ = 0.5, a₁ = 1.

  Пример.  Уравнение РЦФ: y_k=(x_k+x_k-1)/2+y_k-1, начальные условия - нулевые.

  Входной сигнал: x_k={0,0,2,2,4,0,0,0,4,4,4,0,0,0,5,0,0,0,....}

  Выполните фильтрацию. Контроль:  y_k= {0,0,0,1,3,6,8,8,8,10,14,18,20,20,20,22.5,25,25,25...}

2.1.6. Интегрирующий рекурсивный  фильтр.

2.2. Импульсная реакция фильтров.

Функция отклика. Если на вход нерекурсивного фильтра подать импульс Кронекера, расположенный в точке k = 0, то на выходе фильтра мы получим его реакцию на единичный входной сигнал (формула 2.1.3), которая определяется весовыми коэффициентами b_n оператора фильтра:

y(k) = TL[d(0)] = b_n ③ d(k-n) = h(k) ≡ b_n.                  (2.2.1)

Для рекурсивных фильтров реакция на импульс Кронекера зависит как от коэффициентов b_n фильтра, так и от коэффициентов обратной связи a_m. С использованием формулы (2.1.2):

y(k) = b_n d(k-n) – a_m y(k-m) = h_k.                   (2.2.1')

Функция h(k), которая связывает вход и выход фильтра по реакции на единичный входной сигнал и однозначно определяется оператором преобразования фильтра, получила название импульсного отклика фильтра (функции отклика). Для рекурсивных фильтров длина импульсного отклика, в принципе, может быть бесконечной.

Если произвольный сигнал на входе фильтра представить  в виде линейной комбинации взвешенных импульсов Кронекера

x(k) =

d(n) x(k-n),

то сигнал на выходе фильтра  можно рассматривать как суперпозицию запаздывающих импульсных реакций на входную последовательность взвешенных импульсов:

y(k) =

h(n) (d(n) x(k-n)) º h(n) x(k-n).

Для нерекурсивных фильтров пределы суммирования в последнем  выражении устанавливаются непосредственно по длине импульсного отклика h(n).

Определение импульсной реакции на практике требуется, как правило, только для рекурсивных фильтров, так как импульсная реакция для НЦФ при известных значениях коэффициентов b(n), как это следует из выражения (2.2.1), специального определения не требует: h(n)  ≡  b(n).

Если выражение для системы  известно в общей форме (2.1.2), определение  импульсной реакции производится подстановкой в уравнение системы импульса Кронекера с координатой k = 0 при  нулевых начальных условиях. В соответствии с выражением (2.2.1) сигнал на выходе системы будет представлять собой импульсную реакцию системы.

  Пример.   Уравнение РЦФ:  y_k = x_k + 0.5y_k-1.

  Входной сигнал:  x_k= d_o= {1,0,0,0,...}.

  Расчет выходного сигнала  при нулевых начальных условиях:

    y_o = x_o+0.5 y_-1 = 1+0 = 1 = h_o.   y₁ = x₁+0.5 y_o = 0+0.5 = 0.5 = h₁.   y₂ = x₂+0.5 y₁ = 0+0.25 = 0.25 = h₂.

    y₃ = x₃+0.5 y₂ = 0.125 = h₃.          y₄ = x₄+0.5 y₃ = 0.0625 = h₄,     и т.д.

  Импульсный отклик фильтра:  h_k = (O.5)^k, k = 0, 1, 2....

Определение импульсной реакции физической системы обычно производится подачей на вход системы  ступенчатой функции Хевисайда, которая равна u(k)= 1 при k³0, и u(k)= 0 при k<0:

g(k) =

h(n) u(k-n) = h(n).

Отсюда:

h(k) = g(k) - g(k-1).

Функция g(k) получила название переходной характеристики системы (из одного статического состояния в  другое). Форму реакции фильтра  на функцию Хевисайда можно видеть на рис. 2.1.4 (с точки k = 10 и далее) в сопоставлении с реакцией на импульс Кронекера в точке k=2.

2.3. Передаточные функции фильтров   /7/.

Z-преобразование. Удобным методом решения разностных уравнений линейных систем является z-преобразование.

  Напоминание.  

  y_n ↔ y_n zⁿ = Y(z).

  Аргумент z используется в двух вариантах:  zⁿ или z^-n.  В данном курсе по умолчанию используем аргумент zⁿ.

Применяя z-преобразование к обеим частям равенства (2.1.1), c учетом сдвига функций (y(k-m) ó z^m Y(z)), получаем:

Y(z) a_mz^m = X(z) b_nzⁿ,                                 (2.3.1)

где X(z),Y(z)- соответствующие z-образы входного и выходного сигнала. Отсюда, полагая a_o = 1, получаем в общей форме уравнение передаточной функции системы в z-области:

H(z) = Y(z)/X(z) = b_nzⁿ (1+ a_mz^m).                     (2.3.2)

Для НЦФ, при нулевых  коэффициентах a_m:

H(z) = b_nzⁿ.                                             (2.3.3)

При проектировании фильтров исходной, как правило, является частотная передаточная функция фильтра H(ω), по которой вычисляется ее Z-образ H(z) и обратным переходом в пространство сигналов определяется алгоритм обработки данных. В общей форме для выходных сигналов фильтра:

      Y(z) = H(z)·X(z).

   Y(z)·(1+ a_m z^m) = X(z) b_n zⁿ

Y(z) = X(z) b_n zⁿ – Y(z) a_m z^m.                         (2.3.4)

После обратного Z-преобразования выражения (2.3.4):

y(k) = b_n x(k-n) – a_m y(k-m).                            (2.3.5)

При подаче на вход фильтра  импульса Кронекера d_о, имеющего z-образ d(z) = zⁿ = 1, сигнал на выходе фильтра будет представлять собой импульсную реакцию фильтра y(k) ≡ h(k), при этом:

H(z) = Y(z)/d(z) = Y(z) = TZ[y(k)] = h(k) z^k,               (2.3.6)

т.е. передаточная функция  фильтра является z-образом его  импульсной реакции. При обратном z-преобразовании передаточной функции получаем импульсную характеристику фильтра:

h(k) ó H(z).                                            (2.3.7)

Если функция H(z) представлена конечным степенным полиномом, что  характерно для НЦФ, являющихся КИХ-фильтрами, то обратное z-преобразование осуществляется элементарно - идентификацией коэффициентов  по степеням z. Передаточная функция РЦФ также может быть представлена степенным полиномом прямым делением числителя на знаменатель правой части выражения (2.3.2), однако результат при этом может оказаться как конечным, так и бесконечным, т.е. система может иметь либо конечную, либо бесконечную импульсную характеристику. Практически используемые рекурсивные фильтры обычно имеют бесконечную импульсную характеристику (БИХ-фильтры) при конечном числе членов алгоритма фильтрации (2.3.5).

  Примеры. 

  1. Передаточная функция РЦФ:  H(z) = (1-z⁵)/(1-z).

      Прямым  делением числителя на знаменатель  получаем:  H(z) = 1+z+z²+z³+z⁴.

      H(z) ó h(n) = {1,1,1,1,1}.   Фильтр РЦФ является КИХ-фильтром.

  2. Передаточная функция: H(z) = 1/(1-2z).

      Методом  обратного z-преобразования:  h(n) = 2ⁿ.    Фильтр РЦФ является БИХ-фильтром.

Устойчивость  фильтров. Фильтр называется устойчивым, если при любых начальных условиях реакция фильтра на любое ограниченное воздействие также ограничена. Критерием устойчивости фильтра является абсолютная сходимость отсчетов его импульсного отклика:

|h(n)| < ¥.                                        (2.3.8)

Анализ устойчивости может быть проведен по передаточной функции. В устойчивой системе значение H(z) должно быть конечным во всех точках z-плоскости, где |z| £ 1, а, следовательно, передаточная функция не должна иметь особых точек (полюсов) на и внутри единичного круга на z-плоскости. Полюсы H(z) определяются корнями знаменателя передаточной функции (2.3.2).

  Пример.

  Передаточная функция  фильтра рис. 2.1.4: H(z) = b₀/(1-a₁z). При а₁= 0.5 полюс знаменателя: z_р= 2. |z_р|>1. Фильтр устойчив.

  Передаточная функция  фильтра рис. 2.1.5: H(z) = b₀/(1+a₁z). При а₁= 1.1 полюс знаменателя: z_р= -0.909. |z_р| < 1. Фильтр неустойчив, что и подтверждает пример фильтрации.

  Передаточная функция  фильтра рис. 2.1.6: H(z) = 0.5(1+z)/(1-z). Полюс  знаменателя: z_р= 1. В принципе, фильтр неустойчив, но эта неустойчивость проявляется только при k = ∞. Импульсный отклик фильтра h(n) = {0.5,1,1,1, ….}, сумма которого равна ∞ только при n = ∞, т.е. при интегрировании бесконечно больших массивов. При интегрировании конечных массивов результат всегда конечен.

Приведенный критерий устойчивости относится к несократимой дроби, т.к. в противном случае возможна компенсация полюса нулем передаточной функции, и следует проверить наличие однозначных нулей и полюсов.

Проверка на устойчивость требуется только для рекурсивных  цифровых фильтров (систем с обратной связью), нерекурсивные системы всегда устойчивы.

 

Лекция 3.  ДЕКОНВОЛЮЦИЯ ЦИФРОВЫХ СИГНАЛОВ

Содержание:

Введение.

1. Понятие деконволюции. Определение деконволюции. Особенности  деконволюции. Устойчивость фильтров  деконволюции. Обращение недиракоидных функций.

2. Инверсия импульсного  отклика фильтра. Вычисление коэффициентов инверсного фильтра. Пример инверсии оператора фильтра.

3. Оптимальные фильтры  деконволюции. Принцип оптимизации.  Пример расчета оптимального  фильтра деконволюции.  Уравнение оптимальной инверсии. Уравнение Левинсона.

4. Рекурсивная деконволюция. Уравнение фильтра рекурсивной деконволюции. Пример рекурсивной деконволюции.

5. Фильтры сжатия сигналов. Передаточная функция фильтра.  Операторы оптимальных фильтров.

введение

Основное назначение деконволюции (deconvolution) – восстановление истинной формы сигнала, несущего информацию об исследуемом физическом или технологическом процессе, явлении природы и т.п., после его искажения при регистрации какой-либо линейной системой - измерительным трактом прибора (аппаратной или приборной функцией) или каналом связи. Естественно, что для восстановления необходимы сведения о характеристиках искажающей системы, и в первую очередь, об импульсном отклике системы или его частотной передаточной функции. Для выполнения деконволюции реализуются фильтры, частотные характеристики которого обратны частотной характеристике искажающих систем. Построение таких фильтров не всегда возможно. Так, невозможно в принципе восстановить в сигнале частоты, которые были полностью подавлены, а при восстановлении частотных составляющих, ослабленных до уровня шумов, одновременно происходит значительное усиление дисперсии шумов, в которых полезный сигнал может полностью затеряться.

Вместе с тем, деконволюция или обратная свертка используется и для решения других задач  обработки данных. Так, в геофизике она применяется для сжатия сигналов с целью повышения временного или пространственного разрешения результатов измерений. В грави- и магниторазведке с использованием деконволюции производятся перерасчеты аномальных полей вниз. В ядерной геофизике методы деконволюции являются основными при количественной интерпретации результатов измерений, чему способствует принцип суперпозиции ядерно-физических полей.