Лекции по "Технологии цифровой обработки сигналов"

Известное применение находят  и варианты преобразования Фурье: косинусное для четных и синусное для нечетных сигналов, а также преобразование Хартли, где базисными функциями являются суммы синусов и косинусов, что позволяет повысить производительность вычислений и избавиться от комплексной арифметики. Вместо косинусных и синусных функций используются также меандровые функции Уолша, принимающие значения только +1 и -1. И, наконец, в последнее время в задачах спектрально-временнного анализа нестационарных сигналов, изучения нестационарностей и локальных особенностей сигналов "под микроскопом", очистки от шумов и сжатия сигналов начинают получать в качестве базисов разложения вейвлеты ("короткие волны"), локализованные как во временной, так и в частотной области.

Традиционные методы анализа данных предназначены, как правило, для линейных и стационарных сигналов и систем, и только в последние десятилетия начали активно развиваться методы анализа нелинейных, но стационарных и детерминированных систем, и линейных, но нестационарных данных. Между тем, большинство естественных материальных процессов, реальных физических систем и соответствующих этим процессам и системам данных в той или иной мере являются нелинейными и нестационарными, и при анализе данных используются определенные упрощения, особенно в отношении априорно устанавливаемого базиса разложения данных.

Необходимое условие  корректного представления нелинейных и нестационарных данных заключается  в том, чтобы иметь возможность формирования адаптивного базиса, функционально зависимого от содержания самих данных. Такой подход реализуется в методе преобразования Гильберта-Хуанга, хотя на данный момент без соответствующих достаточно строгих математических обоснований /54/. Хорошие результаты применения метода для решения многих практических задач позволяют надеяться, что за разработкой строгой теории метода дело не станет.

1.2. КЛЮЧЕВЫЕ  ОПЕРАЦИИ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ  [1].

Существуют многочисленные алгоритмы ЦОС как общего типа для сигналов в их классической временной форме (телекоммуникации, связь, телевидение и пр.), так и специализированные в самых различных отраслях науки и техники (геоинформатике, геологии и геофизике, медицине, биологии, военном деле, и пр.). Все эти алгоритмы, как правило – блочного типа, построенные на сколь угодно сложных комбинациях достаточно небольшого набора типовых цифровых операций, к основным из которых относятся свертка (конволюция), корреляция, фильтрация, функциональные преобразования, модуляция. Эти операции уже рассматривались в "Теории сигналов и систем". Ниже приводятся только ключевые позиции по этим операциям ("повторенье – мать ученья").

Линейная  свертка – основная операция ЦОС, особенно в режиме реального времени. Для двух конечных причинных последовательностей h(n) и y(k) длиной соответственно N и K свертка определяется выражением:

s(k) = h(n) ③ y(k) º h(n) _* y(k) = h(n) y(k-n),                         (1.2.1)

где:  ③ или _* - символьные обозначения операции свертки. Как правило, в системах обработки одна из последовательностей y(k) представляет собой обрабатываемые данные (сигнал на входе системы), вторая h(n) – оператор (импульсный отклик) системы, а функция s(k) – выходной сигнал системы. В компьютерных системах с памятью для входных данных оператор h(n) может быть двусторонним от –N₁ до +N₂, например – симметричным h(-n) = h(n), с соответствующим изменением пределов суммирования в (1.2.1), что позволяет получать выходные данные без сдвига относительно входных. При строго корректной свертке с обработкой всех отсчетов входных данных размер выходного массива равен K+N₁+N₂-1, и должны задаваться начальные условия по отсчетам y(k) для значений y(0-n) до n=N₂, и конечные для y(K+n) до n=N₁. Пример выполнения свертки приведен на рис. 1.2.1.

Рис. 1.2.1. Примеры дискретной свертки.

Преобразование свертки  однозначно определяет выходной сигнал для установленных значений входного сигнала при известном импульсном отклике системы. Обратная задача деконволюции - определение функции y(k) по функциям s(k) и h(n), имеет решение только при определенных условиях. Это объясняется тем, что свертка может существенно изменить частотный спектр сигнала s(k) и восстановление функции y(k) становится невозможным, если определенные частоты ее спектра в сигнале s(k) полностью утрачены.

Корреляция существует в двух формах: автокорреляции и взаимной корреляции.

Взаимно-корреляционная функция (ВКФ, cross-correlation function - CCF), и ее частный случай для центрированных сигналов функция взаимной ковариации (ФВК) – это показатель степени сходства формы и свойств двух сигналов. Для двух последовательностей x(k) и y(k) длиной К с нулевыми средними значениями оценка взаимной ковариации выполняется по формулам:

K_xy(n) = (1/(K-n+1)) x(k) y(k+n),  n = 0, 1, 2, …                   (1.2.2)

K_xy(n) = (1/(K-n+1)) x(k-n) y(k),  n = 0, -1, -2, …                 (1.2.2')

Рис. 1.2.2. Функция взаимной ковариации двух детерминированных  сигналов.

Пример определения  сдвига между двумя детерминированными сигналами, представленными радиоимпульсами, по максимуму ФВК приведен на рис. 1.2.2. По максимуму ФВК может определяться и сдвиг между сигналами, достаточно различными по форме.

На рис. 1.2.3 приведен аналогичный  пример ФВК двух одинаковых по форме сигналов, на один из которых наложен шумовой сигнал. Мощность шума превышает мощность сигнала. Вычисление ФВК на рисунке выполнено в двух вариантах. Вариант 1 полностью соответствует формуле (1.2.2). Но в условиях присутствия в сигналах достаточно мощных шумов вычисление ФВК обычно выполняется по варианту 2 – с постоянным нормировочным множителем. Это определяется тем, что по мере увеличения сдвига n и уменьшения количества суммируемых членов в формуле (1.2.2) за счет шумовых сигналов существенно нарастает ошибка оценки ФВК, которая к тому же увеличивается за счет нелинейного увеличения значения нормировочного множителя, особенно при малом количестве отсчетов. Сохранение множителя постоянным в какой-то мере компенсирует этот эффект. 

Рис. 1.2.3. ФВК двух сигналов, один из которых сильно зашумлен.

На рис. 1.2.4 приведен пример вычисления функции взаимной ковариации двух одинаковых сигналов, скрытых  в шумах. ФВК позволяет не только определить величину сдвига между сигналами, но и уверенно оценить период колебаний в исследуемых радиоимпульсах.

Рис. 1.2.4. ФВК двух зашумленных радиоимпульсов.

Относительный количественный показатель степени сходства двух сигналов x(k) и y(k) - функция взаимных корреляционных коэффициентов  r_xy(n).  Она вычисляется через центрированные значения сигналов (для вычисления взаимной ковариации нецентрированных сигналов достаточно центрировать один из них), и нормируется на произведение значений стандартов (средних квадратических вариаций) функций x(k) и y(k):

r_xy(n) = K_xy(n)/(s_x s_y).                                                (1.2.3)

s_x² = K_xx(0) = (1/(K+1)) (x(k))²,  s_y² = K_yy(0) = (1/(K+1)) (y(k))².        (1.2.4)

Интервал изменения  значений корреляционных коэффициентов при сдвигах n может изменяться от –1 (полная обратная корреляция) до 1 (полное сходство или стопроцентная корреляция). При сдвигах n, на которых наблюдаются нулевые значения  r_xy(n), сигналы некоррелированны. Коэффициент взаимной корреляции позволяет устанавливать наличие определенной связи между сигналами вне зависимости от физических свойств сигналов и их величины.

Заметим, что в технической литературе в терминах "корреляция" и "ковариация" в настоящее время существуют накладки. Корреляционными функциями называют как функции по нецентрированным, так и по центрированным сигналам, а также и функцию взаимных корреляционных коэффициентов.

Автокорреляционная  функция (АКФ, correlation function, CF) является количественной интегральной характеристикой формы сигнала, дает информацию о структуре сигнала и его динамике во времени. Она, по существу, является частным случаем ВКФ для одного сигнала и представляет собой скалярное произведение сигнала и его копии в функциональной зависимости от переменной величины значения сдвига:

B_x(n) = (1/(K-n+1)) x(k) x(k+n),  n = 0, 1, 2, …                   (1.2.5)

АКФ имеет максимальное значение при n=0 (умножение сигнала  на самого себя), является четной функцией B_xy(-n)=B_xy(n), и значения АКФ для отрицательных координат обычно не вычисляются. АКФ центрированного сигнала K_x(n) представляет собой функцию автоковариации (ФАК). ФАК, нормированная на свое значение K_x(0)=s_x²  в n=0:

r_x(n) = K_x (n)/K_x(0)                                                    (1.2.6)

называется функцией автокорреляционных коэффициентов.

Рис.  1.2.5. Автокорреляционные функции.

В качестве примера на рис. 1.2.5 приведены два сигнала  – прямоугольный импульс и  радиоимпульс одинаковой длительности Т, и соответствующие данным сигналам формы их АКФ. Амплитуда колебаний радиоимпульса установлена равной амплитуды прямоугольного импульса, при этом энергии сигналов будут одинаковыми, что подтверждается равными значениями максимумов АКФ. При конечной длительности импульсов длительности АКФ также конечны, и равны удвоенным значениям длительности импульсов (при сдвиге копии конечного импульса на интервал его длительности как влево, так и вправо, произведение импульса со своей копией становится равным нулю). Частота колебаний АКФ радиоимпульса равна частоте колебаний заполнения радиоимпульса (боковые минимумы и максимумы АКФ возникают каждый раз при последовательных сдвигах копии радиоимпульса на половину периода колебаний его заполнения).

Линейная  цифровая фильтрация является одной из операций ЦОС, имеющих первостепенное значение, и определяется как

s(k) = h(n) y(k-n),                                           (1.2.7)

Рис. 1.2.6. Трансверсальный  цифровой фильтр.

 

где: h(n),  n=0, 1, 2, … , N – коэффициенты фильтра, y(k) и s(k) – вход и выход фильтра. Это по сути свертка сигнала с импульсной характеристикой фильтра.

На рис. 1.2.6 показана блок-схема  фильтра, который в таком виде широко известен, как трансверсальный (z – задержка на один интервал дискретизации).

 К основным операциям  фильтрации информации относят  операции сглаживания, прогнозирования,  дифференцирования, интегрирования  и разделения сигналов, а также выделение информационных (полезных) сигналов и подавление шумов (помех). Основными методами цифровой фильтрации данных являются частотная селекция сигналов и оптимальная (адаптивная) фильтрация.

Дискретные  преобразования позволяют описывать сигналы с дискретным временем в частотных координатах или переходить от описания во временной области к описанию в частотной.  Переход от временных (пространственных) координат к частотным необходим во многих приложениях обработки данных.

Самым распространенным преобразованием  является дискретное преобразование Фурье. При K отсчетов функции:

S(n) = s(k) exp(-j 2p kn/K).                                    (1.2.8)

Напомним, что дискретизация  функции по времени приводит к  периодизации ее спектра, а дискретизация  спектра по частоте - к периодизации функции. Для дискретных преобразований s(kDt) Û S(nDf), и функция, и ее спектр дискретны и периодичны, а числовые массивы их представления соответствуют заданию на главных периодах Т = KDt (от 0 до Т или от -Т/2 до Т/2), и 2f_N = NDf (от -f_N до f_N), где K, N – количество отсчетов сигнала и его спектра соответственно. При этом:

Df = 1/T = 1/(KDt), Dt = 1/2f_N = 1/(NDf), DtDf = 1/N, N = 2Tf_N = K.            (1.2.9)

Соотношения (1.2.9) являются условиями информационной равноценности  динамической и частотной форм представления  дискретных сигналов. Другими словами: для  преобразований без потерь информации число отсчетов функции и ее спектра должны быть одинаковыми.

В принципе, согласно общей  теории информации, последнее заключение действительно и для любых  других видов линейных дискретных преобразований.

Модуляция сигналов. Системы регистрации, обработки, интерпретации, хранения и использования информационных данных становятся все более распределенными, что требует коммуникации данных по высокочастотным каналам связи. Как правило, информационные сигналы являются низкочастотными и ограниченными по ширине спектра, в отличие от широкополосных высокочастотных каналов связи, рассчитанных на передачу сигналов от множества источников одновременно с частотным разделением каналов. Перенос спектра сигналов из низкочастотной области в выделенную для их передачи область высоких частот выполняется операцией модуляции. При модуляции значения информационного (модулирующего) сигнала переносятся на определенный параметр высокочастотного (несущего) сигнала.

Самые распространенные схемы модуляции для передачи цифровой информации по широкополосным каналам – это амплитудная (amplitude shift keying – ASK), фазовая (phase  shift keying – PSK) и частотная (frequensy shift keying – FSK) манипуляции. При передаче данных по цифровым сетям используется также импульсно-кодовая модуляция (pulse code modulation – PCM).

1.3. ОБЛАСТИ  ПРИМЕНЕНИЯ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ  [43].

Нет смысла перечислять  и давать оценку возможностей ЦОС  в различных областях науки и  техники. С весьма малой вероятностью можно попытаться найти отрасль, где ЦОС еще не получила широкого распространения. Поэтому коснемся только тех областей, где применение ЦОС развивается наиболее быстрыми темпами.

Процессоры  ЦОС. Обработка данных в реальном времени обычно выполняется на специальных процессорах (чипах) ЦОС. Они, как правило, имеют:

• Встроенные умножители или умножители-накопители, работающие параллельно.
• Отдельные шины и области памяти для программ и данных.
• Команды организации циклов.
• Большие скорости обработки данных и тактовые частоты.
• Использование конвейерных методов обработки данных.

Запись,  воспроизведение, использование звука.

Цифровое микширование  – регулирование и смешивание многоканальных аудиосигналов от различных источников. Это выполняется аудиоэквалайзерами (наборами цифровых полосовых фильтров с регулируемыми характеристиками), смесителями и устройствами создания специальных эффектов (реверберация, динамическое выравнивание и пр.).