Лекции по "Технологии цифровой обработки сигналов"

При анализе сигналов вейвлетами четного типа (симметричными  или близкими к симметричным) гармоническим сигналам обычно соответствуют яркие горизонтальные полосы вейвлетных пиков и впадин на доминирующих частотах вейвлетов, совпадающих с частотой гармоник сигналов. Нарушения гладкости сигналов фиксируются вертикальными полосами, пики в сигналах выделяются максимумами, а впадины – минимумами вейвлетных коэффициентов. Напротив, вейвлеты нечетного типа более резко реагируют на скачки и быстрые изменения в сигналах, отмечая их максимумами или минимумами в зависимости от знака дифференциалов. Чем резче выражены особенности сигналов, тем сильнее они выделяются на спектрограммах.

Для конструирования  таких вейвлетов часто используются производные функции Гаусса, которые  имеют наилучшую локализацию  как во временной, так и в частотной  областях. В общей форме уравнение базового вейвлета:

y_n(x) = (-1)ⁿ⁺¹ dⁿ[exp(-x²/2)]/dxⁿ,    n ≥ 1,                            (6.1.1)

Уравнения базовых вейвлетов  для первых четырех производных:

y₁(x) = -x exp(-x²/2),  y₂(x) = (1-x²) exp(-x²/2),

y₃(x) = (3x-x³) exp(-x²/2),  y₄(x) = (-4x⁴+6x²-3) exp(-x²/2),

Уравнения нормированных базисов  для временных сигналов:

y(t, a, b) = (K_n/

) y_n(x),  x=(t-b)/a,  K₁=1.062, K₂=0.867, K₃ =0.548, K₄=0.293.

Для сужения базовой  формы вейвлетов применяется  также упрощенная форма:

y_n(x) = (-1)ⁿ⁺¹ dⁿ[exp(-x²)]/dxⁿ,    n ≥ 1,                            (6.1.1')

WАVE-вейвлет вычисляется по первой производной (n=1) и приведен на рис. 6.1.3 во временной и частотной области для трех значений масштабных коэффициентов 'а'. Форма вейвлета относится к нечетным функциям и, соответственно, спектр вейвлета является мнимым. Уравнение вейвлета по (6.1.1') с единичной нормой:

.                         (6.1.2)

Рис. 6.1.3. Вейвлет Wave.

На рис. 6.1.4 приведен пример применения вейвлета для анализа двух однотипных сигналов, один из которых осложнен шумами с мощностью на уровне мощности самого сигнала. Как следует из  рисунка, контурная масштабно-временная картина вейвлетных коэффициентов, а равно и ее сечения на больших значениях масштабных коэффициентов 'а' (малых доминирующих частотах вейвлетов) очень точно и уверенно фиксирует положение вершины информационного сигнала сменой знака коэффициентов С(a,b).

Рис. 6.1.4.

МНАТ-вейвлет (Mexican hat – мексиканская шляпа) вычисляется по второй производной (n=2) и приведен на рис. 6.1.5. Вейвлет симметричен, спектр вейвлета представлен только действительной частью и хорошо локализован по частоте, нулевой и первый моменты вейвлета равны нулю. Применяется для анализа сложных сигналов. Уравнение вейвлета по (6.1.1'):

.         (6.1.3)

Рис. 6.1.5. Вейвлет MHAT.

На рис. 6.1.6 приведен пример использования вейвлета для анализа  сложного сигнала y(t). Модель сигнала  образована суммой сигналов разной структуры. Сигналы у1-у2 представляют собой функции Гаусса разного масштабного уровня, сигнал у3 - прямоугольный импульс, сигнал у4 задан в виде тренда с постоянным значением дифференциала. На контурном графике вейвлет-коэффициентов можно видеть выделение всех трех основных структур сигнала при полном исключении тренда. Особенно четко выделяются границы скачков прямоугольной структуры. Справа на рисунке приведена полная трехмерная картина вейвлет-преобразования.

Рис. 6.1.6.

Вейвлет широко используется в двумерном варианте для анализа изотропных полей. На его основе возможно также построение двумерного неизотропного базиса с хорошей угловой избирательностью при добавлении к сдвигам и масштабированию вейвлета его вращения.

Рис. 6.1.7.

При повышении номера производной функции (6.1.1) временная область определения вейвлета несколько увеличивается при существенном повышении доминирующей частоты вейвлета и степени его локализации в частотной области. Вейвлеты n-го порядка позволяют анализировать более тонкие высокочастотные структуры сигналов, подавляя низкочастотные компоненты. Пример вейвлета по восьмой производной приведен на рис. 6.1.7.

Рис. 6.1.8.

Практическое следствие  повышения степени локализации  вейвлетов в частотной области наглядно видно на рис. 6.1.8 на примере преобразования той же функции, что и на рис. 6.1.6. Сравнение рисунков показывает существенное повышение чувствительности вейвлета к высокочастотным составляющим сигнала на малых масштабных коэффициентах.

6.6. Свойства вейвлет-преобразования   /3, 1/.

Результаты вейвлет-преобразования, как скалярного произведения вейвлета и сигнальной функции, содержат комбинированную информацию об анализируемом сигнале и самом вейвлете. Получение объективной информации о сигнале базируется на свойствах вейвлет-преобразования, общих для вейвлетов всех типов. Рассмотрим основные из этих свойств. Для обозначения операции вейвлет-преобразования произвольных функций s(t) будем применять индекс TW[s(t)].

Линейность. 

TW[a·s₁(t)+b·s₂(t)] = a·TW[s₁(t)]+b·TW[s₂(t)].                       (6.6.1)

Для векторных функций  из этого следует, что TW векторной  функции есть вектор с компонентами TW каждой из компонент анализируемого вектора в отдельности.

Инвариантность  относительно сдвига. Сдвиг сигнала во времени на t₀ приводит к сдвигу вейвлет-спектра также на t₀:

TW[s(t-t_o)] = C(a, b-t_o).                                           (6.6.2)

Инвариантность  относительно масштабирования. Растяжение (сжатие) сигнала приводит к сжатию (растяжению) вейвлет-спектра сигнала:

TW[s(t/а_o)] = (1/а_о)·C(a/а_о,b/а_o).                                    (6.6.3)

Дифференцирование.

dⁿ{TW[s(t)]}/dtⁿ = TW[dⁿ(s(t))/dtⁿ].                                   (6.6.4)

TW[dⁿ(s(t))/dtⁿ] = (-1)ⁿ s(t) [dⁿ(y(t))/dtⁿ] dt.                        (6.6.5)

Отсюда следует, что  безразлично, дифференцировать ли функцию  или анализирующий вейвлет. Если анализирующий вейвлет задан  формулой, то это может быть очень полезным для анализа сигналов. Проанализировать особенности высокого порядка или мелкомасштабные вариации сигнала s(t) с игнорированием крупномасштабных полиномиальных составляющих (тренда и регионального фона) можно дифференцированием нужного числа раз либо вейвлета, либо самого сигнала. Это  свойство особенно полезно, когда сигнал задан дискретным рядом.

Аналог теоремы  Парсеваля  для ортогональных и биортогональных вейвлетов.

s₁(t)·s₂*(t) = C_y^-1 a^-2 С(a,b) С*(a,b) da db.                    (6.6.6)

Отсюда следует, что  энергия сигнала может вычисляться  через коэффициенты вейвлет-преобразования.

Определения и свойства одномерного непрерывного вейвлет-преобразования обобщаются на многомерный и на дискретный случаи.

6.3. Вейвлет-преобразование простых  сигналов.

Вейвлет-преобразование, выполняемое  при анализе сигналов для выявления в них каких-либо особенностей и места их локализации без обратной реконструкции, допускает применение любых типов вейвлетов, как ортогональных, так и неортогональных. Чаще всего для этих целей используются симметричные вейвлеты. Ниже приводятся результаты применения вейвлета Mhat для анализа сигналов простых форм. Вычисления выполнены с вейвлетом (6.1.3) по формуле:

с(a,b) = s(t) y(t,a,b),                                  (6.3.1)

где суммирование выполняется  в растворе угла влияния (по области достоверности) с шагом Dt = Db = Da = 1. Так как при непрерывном разложении скейлинг-функция не используется, отсчет значений 'а' начинается с 1, а ряд коэффициентов c(0,b) оставляется нулевым и определяет нулевой фон контурных графиков спектра.

Импульсы Кронекера (положительный  и отрицательный), вейвлет-спектр импульсов  и сечения спектра на трех значениях  параметра 'а' приведены на рис. 6.3.1. Цветовая гамма спектра здесь  и в дальнейшем соответствует  естественному цветоряду от красного (большие значения) к фиолетовому (малые значения коэффициентов).

Рис. 6.3.1. Преобразование импульсов Кронекера.

На сечениях спектра  видно, что свертка единичных  импульсов с разномасштабными вейвлетами повторяет форму вейвлетов, как  это и положено при операции свертки. Соответственно, линии максимальных экстремумов на сечениях ("хребты" и "долины", в зависимости от полярности) определяют временное положение импульсов, а боковые экстремумы противоположной полярности образуют характерные лепестки в конусе угла влияния, который хорошо выражен.

Рис. 6.3.6. Преобразование функций Лапласа.

Аналогичный характер спектра  сохраняется и для любых локальных  неоднородностей на сигналах в форме пиков (рис. 6.3.2) со смещением максимумов (минимумов) коэффициентов с(a,b) со значений а=1 в область больших значений 'а' (в зависимости от эффективной ширины пиков).

Рис. 6.3.3. Преобразование функций Гаусса.

На рис. 6.3.3 приведен спектр функций Гаусса. При сглаживании  вершин пиковых неоднородностей  форма цветовых конусов также сглаживается, но "хребтовые" ("долинные") линии достаточно точно фиксируют на временной оси положение центров локальных неоднородностей.

Рис. 6.3.4. Преобразование перепада постоянного значения функций.

На рис. 6.3.4 приведены  спектры двух разных по крутизне перепадов постоянных значений функции. Центры перепадов фиксируются по переходу через нуль значений коэффициентов c(a,b), а крутизна перепадов отражается, в основном, на значениях функции c(a,b) при малых значениях параметра 'а'.

При изломах функций спектрограммы уверенно фиксируют место изломов максимумами (минимумами) значений коэффициентов c(a,b), как это показано на рис. 6.3.5. При наложении на такие функции шумов точное определение места изломов по масштабным сечениям на малых значениях параметра 'а' становится невозможным, однако на больших значениях параметра 'а' такая возможность сохраняется, естественно, с уменьшением точности локализации.

Рис. 6.3.5. Преобразование изломов функций.

Аналогичный характер имеет  влияние шумов и на другие локальные сигналы, приведенные на рис. 6.3.1-6.3.4, и если спектральные особенности сигналов достаточно глубоки по диапазону значений параметра 'а', то остается возможность идентификации этих локальных сигналов и их места на временной оси.

Рис. 6.3.6. Преобразование гармонических функций.

Разделение гармонических  функций на масштабной оси спектров, в том числе при наложении  сильных шумовых процессов, приведено  в примерах на рис. 6.3.6. Приведенный  пример имеет чисто иллюстративный характер, так как для выделения гармонических процессов с постоянной частотой во времени целесообразно использовать спектральный анализ и частотные полосовые фильтры. Тем не менее, для локальных сигналов, типа модулированных гармоник, вейвлет-спектры достаточно хорошо показывают место их локализации на временной оси.

Рис. 6.3.7. Изменение фазы гармонического сигнала.

На рис. 6.3.7 приведен пример еще одной характерной особенности  гармонического сигнала – изменение  его фазы на 180^о, которое хорошо фиксируется на всех масштабах вейвлета, а, следовательно, достаточно легко определяется даже в присутствии сильных шумовых сигналов.

При наложении синусоидальных сигналов на тренд вейвлет-преобразование на больших масштабах позволяет  достаточно уверенно выделять характерные особенности тренда. Пример выделения изломов тренда приведен на рис. 6.3.8.

Рис. 6.3.8. Преобразование суммы трех сигналов.

Форма вейвлета (четность или нечетность), доминирующая частота  и степень ее локализации существенно  влияют на вейвлет-спектры анализируемых сигналов и на возможности выделения его локальных особенностей. На нижеследующих рисунках приведены сравнительные спектры простых сигналов при использовании вейвлетов Wave (нечетный, рис. 6.1.3), Mhat (четный, рис. 6.1.5) и вейвлета по 8-й производной Гаусса (рис. 6.3.9-6.3.16), который также является четным, и имеет в 4 раза более высокую доминирующую частоту, чем вейвлет Mhat.

Рис. 6.3.9. Импульсы Кронекера.

Рис. 6.3.10. Пики Лапласа.

Рис. 6.3.11. Функции Гаусса.

Рис. 6.3.16. Крутые скачки.

Рис. 6.3.13. Сглаженные скачки.

Рис. 6.3.14. Изломы функций

Рис. 6.3.15. Фазовые скачки гармоник.

Рис. 6.3.16. Сумма двух модулированных синусоид.

Заметим, что при анализе  произвольных сигналов использование  разнотипных вейвлетов позволяет  повысить достоверность выделения локальных особенностей сигналов.