Лекции по "Технологии цифровой обработки сигналов"

Здесь L[.] – оператор преобразования исходного изображения, П[.] – оператор формирования порогового значения. Решение о наличии объекта принимается в случае выполнения условия. Качество обнаружения характеризуется вероятностью выполнения условия при наличии объекта в анализируемом изображении.

Конкретный вид операторов L[.], П[.] и качество обнаружения зависят  от наличия априорных сведений об ожидаемых объектах, шумах, помехах  и искажениях. Основой для определения оптимальных параметров операторов является теория статистических решений.

Так, например, при выделении  точечных объектов форма изображения  объекта однозначно определяется функцией пятна рассеяния объектива, которую можно считать известной, при этом задача сводится к классической процедуре обнаружения сигнала известной формы на фоне аддитивных нормальных шумов с нулевым средним значением. В этом случае в качестве операторов преобразования выступают корреляционные интегралы, вычисляемые с использованием заданного описания известного изображения объекта и типового шума соответственно. Идентификация заключается в сравнении изображения объекта с эталонами заданного класса. Решение об объекте выносится по наилучшему совпадению.

Способ  прямого сравнения объекта с  эталонным изображением. Пусть S(x, y) – исходное изображение объекта, F(x, y) – эталонное изображение. Алгоритм прямого сравнения имеет вид:

T = (S(x, y) - F(x, y))² ≤ D,                                    (5.5.2)

где D – порог различия.

Способ прост и может  быть легко реализован. Однако, при наличии в реальных условиях дестабилизирующих факторов надёжность способа невелика. При большем значении порога D условию (5.5.2), могут удовлетворять различные объекты и могут возникнуть ошибки, связанные с неправильной идентификацией объекта (ошибки первого рода). При уменьшении D могут возникнуть ошибки типа пропуска объекта (ошибки второго рода). Регулируя величину D, можно лишь менять соотношение между вероятностями возникновения ошибок первого и второго рода в соответствии с заданным критерием оптимальности.

Корреляционный  метод основан на вычислении взаимной корреляции между объектами и эталонами. Из множества k альтернативных вариантов выбирается тот объект (или эталон), при котором получается максимальная сумма взаимной корреляции:

K(k) = S_k(x, y) F_k(x, y).                                  (5.5.3)

При идентификации объектов удобно пользоваться коэффициентами корреляции, которые в первом приближении  дают и оценку вероятности отнесения объекта к данному эталону:

R(k) = K(k)/K_max(k),  K_max(k) = F_k²(x, y),                    (5.5.3)

где K_max(k) – значения автокорреляции эталонов.

Корреляционный метод  более надёжен, но требует значительно  большего объёма вычислений. Но при обработке бинарных изображений это не столь существенно, поскольку перемножение однобитовых чисел сводится к простой логической операции «И».

Рассмотренные выше методы требуют одинаковой ориентации изображений  объекта и эталона, совмещения их по пространственным координатам и выдерживания одинаковых масштабов.

Методы  распознавания на основе системы  признаков также используют эталоны объектов, но в качестве элементов сравнения используются признаки объекта и эталона, что позволяет сократить объём эталонных данных и время обработки информации. Однако следует иметь в виду, что на практике выделение признаков объектов всегда осуществляется с некоторой погрешностью, а, следовательно, необходимо выявлять и учитывать характер и степень возможного рассеяния оценок используемых признаков для каждого из ожидаемых объектов, т.е. использовать гистограммы распределения значений признаков.

При большом числе  возможных вариантов объектов рекомендуется  многоступенчатый (иерархический) алгоритм. При этом на каждой ступени распознавания используется какой-либо из признаков объекта (площадь, периметр, радиусы вписанных и описанных окружностей, моменты инерции, число и расположение углов и т.д.). На нижних уровнях используются признаки, не требующие больших вычислительных затрат (например, площади и периметры объектов), а наиболее информативные (например, моменты инерции) – применяются на верхнем уровне, где число альтернатив минимально.

Лекция 6.  СВОЙСТВА ВЕЙВЛЕТ-преобразования

 

Содержание

Введение.

1. Базисные функции  вейвлет-преобразования. Определение  вейвлета. Свойства вейвлета. Отображение  преобразования. Вейвлетные функции.

6. Свойства вейвлет-преобразования.

3. Вейвлет-преобразование  простых сигналов.

Введение.

Аналитика вейвлетных преобразований сигналов определяются математической базой разложения сигналов, которая аналогична преобразованиям Фурье. Основной отличительной особенностью вейвлет-преобразований является новый базис разложения сигналов - вейвлетные функции. Свойства вейвлетов принципиально важны как для самой возможности разложения сигналов по единичным вейвлетным функциям, так и для целенаправленных действий над вейвлетными спектрами сигналов, в том числе с последующей реконструкцией сигналов по обработанным вейвлетным спектрам.

Вейвлеты могут быть ортогональными, полуортогональными, биортогональными. Вейвлетные функции  могут быть симметричными, асимметричными и несимметричными, с компактной областью определения и не имеющие таковой, а также иметь различную степень гладкости. Некоторые функции имеют аналитическое выражение, другие – быстрый алгоритм вычисления вейвлет-преобразования. Для практики желательно было бы иметь ортогональные симметричные и асимметричные вейвлеты, но таких идеальных вейвлетов не существует. Наибольшее применение находят биортогональные вейвлеты.

6.1. Базисные функции вейвлет-преобразования

Базисными функциями вейвлет-преобразований могут быть самые различные функции  с компактным носителем - модулированные импульсами синусоиды, функции со скачками уровня и т.п. Они обеспечивает хорошее отображение и анализ сигналов с локальными особенностями, в том числе со скачками, разрывами и перепадами значений с большой крутизной.

Следует различать вейвлеты по целевым задачам вейвлетных преобразований с позиций декомпозиции – реконструкции сигналов. Было бы желательно иметь такое вейвлет-преобразование сигналов, которое обеспечивало бы полную информационную эквивалентность вейвлетного спектра сигналов временному (динамическому, координатному) представлению, и, соответственно, однозначность как декомпозиции сигналов, так и их реконструкции из вейвлетных спектров. Однако это возможно только при использовании ортогональных и биортогональных вейвлетов. Этим вейвлетам и будет уделено основное внимание. Для качественного анализа сигналов и локальных особенностей в сигналах может применяться более обширная номенклатура вейвлетных функций, которые хотя и не обеспечивают реконструкцию сигналов, но позволяют оценить информационное содержание сигналов и динамику изменения этой информации.

Определение вейвлета. К вейвлетам относятся локализованные функции, которые конструируются  из одного материнского вейвлета y(t) (или по любой другой независимой переменной) путем операций сдвига по аргументу (b) и масштабного изменения (а):

y_ab(t) = (1/

) y((t-b)/a),   (a, b)ÎR,   y(t)ÎL²(R).

где множитель (1/ ) обеспечивает независимость нормы функций от масштабного числа 'a'.

Непрерывное  вейвлет-преобразование сигнала s(t)ÎL²(R), которое применяется для качественного частотно-временного анализа, по смыслу соответствует преобразованию Фурье с заменой гармонического базиса exp(-jwt) на вейвлетный y((t-b)/a):

С(a, b) = ás(t), y_ab(t)ñ = (1/

) s(t) y((t-b)/a) dt,  (a, b)ÎR,  a¹0.

Рис. 6.1.1. Вейвлеты Mhat и Wave.

Вейвлетный масштабно-временной  спектр С(a,b) в отличие от фурье-спектра является функцией двух аргументов: масштаба вейвлета 'а' (в единицах, обратных частоте), и временного смещения вейвлета по сигналу 'b' (в единицах времени), при этом параметры 'а' и 'b' могут принимать любые значения в пределах областей их определения.

На рис. 6.1.1 приведены  примеры простейших неортогональных  вейвлетов четного (Mhat) и нечетного (Wave) типов.

Для количественных методов анализа (декомпозиция сигналов с возможностью последующей линейной реконструкции сигналов из обработанных вейвлет-спектров) в качестве вейвлетных базисов можно использовать любые локализованные функции y(t), если для них существуют функции-двойники y^#(t), такие, что семейства {y_ab(t)} и {y^#_ab(t)} могут образовывать парные базисы функционального пространства L²(R). Вейвлеты, определенные таким образом, позволяют представить любую произвольную функцию в пространстве L²(R) в виде ряда:

s(t) =

С(a,b) y^#_ab(t),  (a, b)ÎI, 

где коэффициенты С(a,b) – проекции сигнала на вейвлетный базис пространства, которые определяются скалярным произведением

С(a,b) = ás(t), y_ab(t)ñ =

s(t) y_ab(t) dt.

Если вейвлет y(t) обладает свойством ортогональности, то y^#(t) ≡ y(t) и вейвлетный базис ортогонален. Вейвлет может быть неортогональным, однако если он имеет двойника, и пара (y(t), y^#(t)) дает возможность сформировать семейства {y_mk(t)} и {y^#_zp(t)}, удовлетворяющие условию биортогональности на целых числах I:

áy_mk(t), y^#_zp(t)ñ = d_mz·d_kp,  m,k,z,p Π I,

то возможно разложение сигналов на вейвлетные ряды с обратной формулой реконструкции.

Свойства  вейвлета,  

• Локализация. Вейвлет должен быть непрерывным, интегрируемым, иметь компактный носитель и быть локализованным как во времени (в пространстве), так и по частоте. Если вейвлет в пространстве сужается, то его "средняя" частота повышается, спектр вейвлета перемещается в область более высоких частот и расширяется. Этот процесс должен быть линейным – сужение вейвлета вдвое должно повышать его "среднюю"  частоту и ширину спектра также вдвое.

Вейвлетную функцию  можно считать хорошо локализованной при выполнении условий:

y(t) ≤ C/(1+|t|)^1+e,  Y(f) ≤ C/(1+|f|)^1+e,  С=const, при e > 0.

• Нулевое среднее значение, т.е. выполнение условия для нулевого момента:

y(t) dt = 0,

что обеспечивает выделение  локальных особенностей сигналов в  пределах вейвлетного носителя на уровне региональных изменений и тренда, нулевое усиление постоянной составляющей сигналов, нулевое значение частотного спектра вейвлета при w=0, и локализацию спектра вейвлета в виде полосового фильтра с центром на определенной (доминирующей) частоте w₀. Для анализа мелкомасштабных флюктуаций и особенностей высокого порядка, как правило, требуются и нулевые значения определенного количества последующих моментов:

t^m y(t) dt = 0.

Такие вейвлеты называются вейвлетами m-го порядка.

• Ограниченность. Необходимое и достаточное условие:

||y(t)||² =

|y(t)|² dt < ¥

Оценка ограниченности и локализации может выполняться  с использованием выражений:

|y(t)| < 1/(1+|t|ⁿ),     или |Y(ω)| < 1/(1+|ω_o|ⁿ),

где w_o – средняя частота вейвлета.  Число n должно быть как можно больше.

• Автомодельность базиса или самоподобие. Форма всех базисных вейвлетов y_ab(t) должна быть подобна материнскому вейвлету y(t), т.е. должна оставаться одной и той же при сдвигах и масштабировании (растяжении/сжатии), иметь одно и то же число осцилляций.

Отображение преобразования. Результатом вейвлет-преобразования одномерного числового ряда (сигнала) является двумерный массив значений коэффициентов С(a,b). Распределение этих значений в пространстве (a,b) - временной масштаб, временная локализация, дает информацию об изменении во времени относительного вклада в сигнале вейвлетных компонент разного масштаба и называется спектром коэффициентов вейвлет-преобразования, масштабно-временным (частотно-временным) спектром или просто вейвлет-спектром (wavelet spectrum).

Спектр C(a,b) одномерного сигнала представляет собой поверхность в трехмерном пространстве. Способы визуализации спектра могут быть самыми различными. Наиболее распространенный способ – проекция на плоскость ab с изолиниями (изоуровнями), что позволяет проследить изменения коэффициентов на разных масштабах во времени, а также выявить картину локальных экстремумов этих поверхностей ("холмов" и "впадин"), так называемый "скелет" (skeleton) структуры анализируемого процесса. При широком диапазоне масштабов применяются логарифмические координаты (log a, b). Пример вейвлетного спектра простейшего сигнала при его разложении вейвлетом Mhat приведен на рис. 6.1.6.

Рис. 6.1.6. Сигнал, вейвлетный Mhat - спектр и масштабные сечения спектра.

По вертикальным сечениям (сечениям сдвига b) вейвлет-спектр отражает компонентный состав сигнала (из данного комплекта вейвлетов) в каждый текущий момент. По смыслу преобразования, как скалярного произведения сигнала с вейвлетом, ясно, что значения коэффициентов в каждой текущей временной точке по масштабным сечениям тем больше, чем сильнее корреляция между вейвлетом данного масштаба и поведением сигнала в окрестностях этой точки. Соответственно, сечения по параметру 'а' демонстрируют изменения в сигнале компоненты данного масштаба 'a' со временем.

Вейвлетные составляющие сигнала в сечениях его спектра  не имеют ничего общего с синусоидами, и представлены, как правило, сигналами  достаточно сложной и не всегда понятной формы, что может затруднять их наглядное представление и понимание.

Вейвлетные  функции. Выбор анализирующего вейвлета определяется тем, какую информацию необходимо извлечь из сигнала. С учетом характерных особенностей различных вейвлетов во временном и в частотном пространстве, можно выявлять в анализируемых сигналах те или иные свойства и особенности, которые незаметны на графиках сигналов, особенно в присутствии шумов. При этом задача реконструкции сигнала может и не ставится, что расширяет семейство используемых регулярных вейвлетных функций, в том числе неортогональных. Более того, вейвлет может конструироваться непосредственно под ту локальную особенность в сигнале, которая подлежит выделению или обнаружению, если ее форма априорно известна.