Временные ряды

Уравнение линии  тренда:

.                                                   (30)

Ошибки вычисляются  с помощью формул (22, 23).

  Использование индексов

  Расчёт производится  путём деления суммарного годового  объема рынка бытовой техники  на суммарный объем прошлого  года, усреднении этого индекса и умножении его на данные последнего рассматриваемого года.

  Оценка адекватности и точности  модели

  Одной из  наиболее эффективных оценок  адекватности модели является  коэффициент детерминации, который  рассчитывается по формуле:

                                      (31)

  Рассчитывается  коэффициент детерминации и делается  вывод об адекватности модели.

 

8.Практическая  часть

 

Применим  метод построения временного ряда для определения объема продаж магазина «Часы» на 2012 г. В таблице 2 представлены объемы продаж салона «Часы», специализирующегося на розничной продаже часов. 

 

Таблица 2. Динамика объема продаж магазина «Funk'it», тыс. руб.

Год	I квартал	II квартал	III квартал	IV квартал
2010	937,6	657,6	1001,8	1239,2
2011	1112,5	1056,2	1458,6	1715,7

 

 

Для данных, приведенных  в табл. 2, отметим два основных момента:

• существующий тренд: объем продаж в соответствующих кварталах каждого года стабильно растет год от года;
• сезонная вариация: в первые три квартала каждого года продажи медленно растут, но остаются на относительно низком уровне; максимальные за год значения объема продаж всегда приходятся на четвертый квартал. Такая динамика повторяется из года в год. Данный тип отклонений всегда носит название сезонных, даже если речь идет, например, о временном ряде еженедельных объемов продаж. Этот термин просто отражает регулярность и краткосрочность отклонений от тренда по сравнению с продолжительностью временного ряда. 

Первый этап анализа временных рядов —  построение графика данных .

Для того чтобы составить прогноз, необходимо сначала рассчитать тренд, а затем — сезонные компоненты.

Расчет тренда

Тренд — это  общая долгосрочная тенденция изменения  временного ряда, лежащего в основе его динамики.

Если посмотреть на рис. 2, то через точки гистограммы можно от руки начертить линию повышательного тренда. Однако для этого есть математические методы, позволяющие оценить тренд более объективно и точно.

Если у временного ряда есть сезонная вариация, обычно применяют  метод скользящей средней.Традиционным методом прогнозирования будущего значения показателя является усреднение n его прошлых значений.

Математически скользящие средние (служащие оценкой  будущего значения спроса) выражаются так:

Скользящая  средняя = Сумма спроса за предыдущие n-периоды / n. (2)

Далее подставим  данные и рассчитаем скользящую среднюю:

Средний объем  продаж за первые четыре квартала =  (937,6 + 657,6 + 1001,8 + 1239,2) / 4 = 959,075 тыс. руб.

Когда квартал  заканчивается, данные об объеме продаж в течение последнего квартала прибавляются к сумме данных за предыдущие три квартала, а данные за ранний квартал отбрасываются. Это приводит к сглаживанию краткосрочных нарушений в ряде данных.

Средний объем  продаж за следующие четыре квартала = (657,6 + 1001,8 + 1239,2 + 1112,5) / 4 = 1002,775 тыс. руб.

Далее продолжаем расчеты аналогичным образом  вплоть до последних четырех кварталов, данные за которые имеются. Расчеты  приведены в третьем столбце  табл. 3.

Первая рассчитанная средняя показывает средний объем  продаж за первый год  и находится посередине между данными о продажах за II и III кварталы 2010 г. Средняя за следующие четыре квартала разместится между объемом продаж за III и IV кварталы. Таким образом, данные столбца 3 — это тренд скользящих средних.

Но для продолжения  анализа временного ряда и расчета сезонной вариации необходимо знать значение тренда точно на то же время, что и исходные данные, поэтому необходимо центрировать полученные скользящие средние, сложив соседние значения и разделив их пополам. Центрированная средняя и есть значение рассчитанного тренда (расчеты представлены в столбцах 4 и 5 табл. 3).  

 

Таблица 3. Анализ временного ряда

Год	Объем продаж, тыс. руб.	Четырехквартальная  скользящая средняя	Сумма двух соседних значений	Тренд, тыс. руб.	Объем продаж / тренд × 100
I кв. 2010 г.	937,6	959,05 1002,775   1102,425 1216,625   1335,75
II кв. 2010 г.	657,6
III кв. 2010 г.	1001,8		1961,825	980,9125	102,1
IV кв. 2010 г.	1239,2		2105,2	1052,6	117,7
I кв. 2011 г.	1112,5		2319,05	1159,525	95,9
II кв. 2011 г.	1056,2		2552,375	1276,188	82,8
III кв. 2011 г.	1458,6
IV кв. 2011 г.	1715,7

 

 

Можно определить прогноз для каждого квартала (табл. 4). 

 

Таблица 4. Прогноз тренда на 2012 г.

2012 г.	Объем продаж, тыс. руб.
I кв.	1346,378
II кв.	1420,429
III кв.	1498,553
IV кв.	1580,973
Итого	5846,333

 

 Расчет сезонной вариации

Для того чтобы  составить реалистичный прогноз продаж на каждый квартал 2012 г., необходимо рассмотреть поквартальную динамику объема продаж и рассчитать сезонную вариацию.  

Мультипликативная модель = Тренд × Сезонная вариация × Остаточная вариация × Объем продаж / Тренд = Сезонная вариация × Остаточная вариация.      

Результаты  расчетов представлены в столбце 6 табл. 4. Для того чтобы выразить значения показателей в процентах и округлить их до первого десятичного знака, умножаем их на 100.

Теперь будем  по очереди брать данные за каждый квартал и устанавливать, на сколько  в среднем они больше или меньше значений тренда. Расчеты приведены  в табл. 5. 

Таблица 5. Расчет средней квартальной вариации, тыс. руб.

Год	I квартал	II квартал	III квартал	IV квартал
2010 г.			102,1	117,7
2011 г.	95,9	82,8
Нескорректированная средняя	95,9	82,8	102,1	117,7
Всего	398,6

 

 

Нескорректированные данные в табл. 5 содержат как сезонную, так и остаточную вариацию. Для удаления элемента остаточной вариации необходимо скорректировать средние. В долгосрочном плане величина превышения объема продаж над трендом в удачные кварталы должна уравниваться с величиной, на которую объем продаж ниже тренда в неудачные кварталы, чтобы сезонные компоненты в сумме составляли примерно 400 %. В данном случае сумма нескорректированных средних равна 398,6. Таким образом, необходимо умножить каждое среднее значение на корректирующий коэффициент, чтобы сумма средних составила 400.

Корректирующий  коэффициент рассчитывается следующим образом: Корректирующий коэффициент = 400 / 398,6 = 1,0036. 

Расчет сезонной вариации представлен в табл. 6.

Таблица 6. Расчет сезонной вариации

2012 г.	Процент
I квартал	95,9 × 1,0036 = 96,3
II квартал	82,8 ×1,0036 =83,1
III квартал	102,1 × 1,0036 =102,46
IV квартал	117,7 × 1,0036 =118,12
Итого	400

 

 

На основании  данных табл. 6 можно спрогнозировать, например, что в I квартале объем продаж в среднем будет составлять 96,3 % значения тренда, в IV — 118,1 % значения тренда. 

Прогноз продаж

При составлении  прогноза продаж исходим из следующих  предположений:

• динамика тренда останется неизменной по сравнению с прошлыми периодами;
• сезонная вариация сохранит свое поведение.

Естественно, это  предположение может оказаться неверным, придется вносить коррективы, учитывая экспертное ожидаемое изменение ситуации. Например, на рынок может выйти другой крупный торговец часами и сбить цены салона «Часы», может измениться экономическая ситуация в стране и т. д.

Тем не менее, основываясь  на вышеперечисленных предположениях, можно составить прогноз продаж по кварталам на 2012 г. Для этого полученные значения квартального тренда надо умножить на значение соответствующей сезонной вариации за каждый квартал. Расчет данных приведен в табл. 7. 

Таблица 7. Составление прогноза продаж по кварталам салона «Часы» на 2012 г.

2012 г.	Объем продаж, тыс. руб.
I квартал	1346,378 × 102,46 % = 1380
II квартал	1420,429 × 118,12 % = 1678
III квартал	1498,553 × 96,3 % = 1443
IV квартал	1580,973 × 83,1 % = 1313
Итого	5814

 

 

Из полученного  прогноза видно, что товарооборот салона «Часы» в 2012 г. может составить 5814 тыс. руб., но для этого предприятию необходимо проводить различные мероприятия.

 

Заключение

 

  Анализ временных  рядов - совокупность математико-статистических методов анализа, предназначенных для раскрытия структуры временных рядов и для их мониторинга. Сюда относятся, в частности, методы регрессионного анализа. Выявление структуры временного ряда необходимо чтобы выстроить математическую модель того явления, которое считается источником анализируемого временного ряда. Прогноз будущих значений временного ряда используется для успешного принятия решений.

 Для временных  рядов основной интерес представляет  описание либо моделирование их структуры. Задача таких исследований, как правило, шире моделирования, хотя некоторую информацию возможно получить и именно из модели, делая выводы о выполнении тех или иных экономических законов (скажем, закона паритета покупательной способности) и проверяя различные гипотезы. Построенная модель может использоваться для экстраполяции или же моделирования временного ряда, и тогда качество прогноза может служить полезным критерием при выборе среди нескольких моделей. Возведение хороших моделей ряда необходимо и для иных приложений, таковых, как корректировка сезонных результатов и сглаживание. Наконец, построенные модели могут использоваться для статистического моделирования длинных рядов наблюдений при исследовании больших систем, для которых временной ряд рассматривается как входная информация.

Литература

 

1. Безручко Б.  П., Смирнов Д. А. Математическое  моделирование и хаотические  временные ряды. - Саратов: ГосУНЦ "Колледж", 2005. - ISBN 5-94409-045-6

2. Блехман И.  И., Мышкис А. Д., Пановко Н. Г., Прикладная математика: Предмет, логика, особенности подходов. С примерами из механики: Учебное пособие. - 3-е изд., испр. и доп. - М.: УРСС, 2006. - 376 с. ISBN 5-484-00163-3

3. Введение в  математическое моделирование. Учебное  пособие. Под ред. П. В. Трусова. - М.: Логос, 2004. - ISBN 5-94010-272-7

4. Горбань А.  Н., Хлебопрос Р. Г., Демон Дарвина:  Идея оптимальности и естественный  отбор. - М: Наука. Гл ред. физ.-мат.  лит., 1988. - 208 с. (Проблемы науки и  технического прогресса) ISBN 5-02-013901-7 (Глава «Изготовление моделей»).

5. Журнал Математическое  моделирование (основан в 1989 году)

6. Малков С.  Ю., 2004. Математическое моделирование  исторической динамики: подходы  и модели // Моделирование социально-политической  и экономической динамики / Ред.  М. Г. Дмитриев. - М.: РГСУ. - с. 76-188.

7. Мышкис А.  Д., Элементы теории математических  моделей. - 3-е изд., испр. - М.: КомКнига, 2007. - 192 с ISBN 978-5-484-00953-4