Теоретичне завдання на тему: «Схема перевірки оптимального розв’язку транспортної задачі»

 

 

 

ЗМІСТ

 

 

ВСТУП

Моделювання – це наукова теорія побудови і реалізації моделей, за допомогою яких досліджуються явища, процеси в природі і суспільному житті.

 Економіко-математичне моделювання слугує особливим інструментом для аналізу і дослідження як виробничих, так і фінансово-господарських процесів і явищ в економіці, це одна з фундаментальних дисциплін у підготовці фахівців з економіки для всіх спеціальностей, побудована на основі математичних і економічних знань. Для засвоєння дисципліни потрібна грунтовна математична база, особливо з математичної алгебри, диференціального числення, теорії ймовірностей та математичної статистики. Важливо також мати підготовку з економічної теорії, макро- та мікроекономіки, економічного аналізу.

  Мета курсової роботи: формування системи знань з методології та інструментарію побудови і використання різних типів економіко-математичних моделей.

Завдання курсової роботи:

- ознайомитись і набути  практичних навичок використання  математичних моделей;

- оволодіти теоретичними знаннями та практичним застосуванням транспортних задач;

- набути практичних навичок  використання моделей задач матричних  ігор;

- ознайомитись та оволодіти  матеріалом на тему «Схема перевірки оптимального розв’язку транспортної задачі»

 

 

 

Розділ 1.  Побудова та опис математичної оптимізаційної моделі

Постановка задачі: Для пошиття одного виробу потрібно викроїти з тканини 6 деталей. На швейній фабриці були розроблено два варіанти розкрою тканини. В табл. 1 наведені характеристики варіантів розкрою 10 м2 тканини та комплектність, тобто кількість деталей визначеного виду, які необхідні для пошиву одного виробу. Щомісячний запас тканини для пошиву виробів даного типу складає 405 м2. У найближчий місяць планується пошити 90 виробів. Побудувати математичну модель, що дозволяє в найближчий місяць виконати план по пошиву з мінімальною кількістю відходів.

Таблиця 1. – Характеристика варіантів розкрою відрізів тканини по 10 м2

Варіант розкрою	Кількість деталей, шт../відріз						Відходи, кв.м/відріз
	1	2	3	4	5	6
1	60	0	90	40	70	90	0,5
2	80	35	20	78	15	0	0,35
Комплектність, шт../виріб	1	2	2	2	2	2

 

Розв’язання

змінні завдання

В данному завданні шукані величини явно не вказані, але сказано, що повинен бути виконаний щомісячний план з пошиття 90 виробів. Для пошиву 90 виробів на місяць потрібно розкроїти строго визначену кількість деталей. Крій виробляється з відрізів тканини по 10 м2 двома різними способами , які дозволяють отримати різне число деталей. Оскільки заздалегідь невідомо, скільки тканини буде розкроюватися першим способом і скільки - другим, то в якості шуканих величин можна задати кількість відрізів тканини по 10 м2, розкроєних кожним із способів:

x1 - кількість відрізів тканини по 10 м2, розкроєних першим способом протягом місяця , [ відріз . / міс. ];

x2 - кількість відрізів тканини по 10 м2, розкроєних другим способомпротягом місяця, [ відріз . / міс. ].

Цільова функція

Метою рішення задачі є виконання плану при мінімальній кількості відходів. Оскільки кількість виробів строго заплановано ( 90шт. / міс.), то цей параметр не описує ЦФ, а відноситься до обмеження, невиконання якого означає, що завдання не розв`язана. А критерієм ефективності виконання плану служить параметр "кількість відходів", який необхідно звести до мінімуму. Оскільки при розкрої одного відрізу( 10 м2) тканини по 1-му варіанту виходить 0,5 м2 відходів, а по 2-муваріанту - 0,35 м2 (див. табл. 1), то загальна кількість відходів при крої (ЦФ )має вигляд:

L(X )= 0,5x1 + 0,35x2 → min ,

Обмеження

Кількість розкроїв тканини різними способами обмежується наступними умовами:

• повинен бути виконаний план з пошиву виробів, іншими словами, загальна кількість викроєних деталей має бути такою, щоб з них можна було пошити 90 виробів на місяць, а саме: деталей 1-го виду повинно бути як мінімум 90 і деталей інших видів - як мінімум по 180 (див. комплектність в табл.1).

 • витрати тканини  не повинні перевищувати її місячного запасу  на складі;

• кількість відрізів розкроєної тканини не може бути негативною.

Математично обмеження за планом пошиття пальто записуються у вигляді:

60x1+80x2 ≥90;

          35x2 ≥80;

90x1+20x2 ≥180;

40x1+78x2 ≥180;

70x1+15x2 ≥180;

90x1              ≥180;

 ≥ 

Обмеження по витраті тканини має таку математичну форму запису:

x1 + x2 ≤

,

 ≤ 

Таким чином, математична модель задачі має вигляд:

L(X )= 0,5x1 + 0,35x2 → min [

відх./міс.],

 

Розділ 2. Транспортна задача

Постановка задачі: На трьох елеваторах кожного дня виробляються певні запаси борошна, яке використовується на чотирьох хлібозаводах. Запаси борошна на елеваторах, щоденні потреби заводів, а також тарифи перевезень 1 т борошна задано у таблиці:

 

	В1	В2	В3	В4	Запаси
А1	1	5	7	1	30
А2	1	4	2	5	60
А3	2	3	5	2	60
Потреби	30	20	60	40

 

Розв’язання

Виконуємо перевірку умову .

Отже, задача є закритою.

В Microsoft Excel створюємо таблицю, у яку заносимо початкові дані (рис. 2.1).

Рисунок 2.1 – Початкові дані

Методом північно-західного кута розраховується початковий план перевезень (рис. 2.2). Для швидкості та зручності розрахунків у клітинки потреб (C21, ) та запасів (O12,) записуємо формули

=$D$5-D13-D16-D19;

=$H$2-D13-G13-J13-M13.

Дані формули копіюються в усі аналогічні клітинки. Це дозволить за даним методом у таблиці заповнити базисні клітинки відповідними величинами . Таких клітинок 6. Згідно отриманого початкового плану мінімальна вартість перевезень становитиме 370 у.о. Для розрахунку цієї величини у клітинку O21 записуємо формулу:

=D13*E12+G13*H12+J13*K12+M13*N12+D16*E15+G16*H15+J16*K15+M16*N15+D19*E18+G19*H18+J19*K18+M19*N18.

’

Рисунок 2.2 – Перший опорний план

Перевіряємо отриманий план на оптимальність. Розраховуємо значення потенціалів, записавши 0 у клітинку D8 (рис. 2.3).

Рисунок 2.3 – Перша ітерація методу

Інші потенціали розраховуємо на основі базисних клітинок. Маємо наступні результати:

Не базисні (вільні клітинки) для зручності роботи можна зафарбувати у той чи інший колір.

Для усіх клітинок  отриманої таблиці розраховуємо непрямий тариф перевезення за формулою . Формула в Excel має наступний вигляд: =$D8-А12.

Оцінки розраховуємо за формулою:  .

У клітинку Е14 записуємо формулу =$D8-А12 (для зручності роботи аналогічні розрахунки проводимо в усіх інших порожніх та непорожніх клітинках).

Із небазисних клітинок вибираємо ту, у якій додатня  оцінка є максимальною. Це клітинка, яка знаходиться на перетині рядка A3 та стовпчика B2, у якій

Будуємо цикл для цієї клітинки (рис. 2.3), Для клітинок з «+» додали знайдену величину до , а для клітинок з «–»  – відняли. Отримуємо новий план перевезень (рис. 2.4). При цьому вартість мінімальних перевезень становитиме 290 у.о.

Рисунок 2.4 – Друга ітерація методу

Перевіряємо отриманий план на оптимальність. Розрахунки показали, що отриманий опорний план третьої ітерації не оптимальний.

Рисунок 2.5 – Третя ітерація методу

Перевіряємо отриманий план на оптимальність. Розрахунки показали, що тільки у третій ітерації у вільних клітинках відсутні додатні оцінки.

Рисунок 2.6 – Четверта ітерація методу

 

Отже, отриманий план є оптимальним. Мінімальна вартість перевезень при цьому становить 290 у.о. Маємо такий оптимальний розв’язок:

,

 

 

 

Розділ 3. Теорія ігор

Постановка задачі: Знайти стратегію гравців А і В та ціну гри, що задана матрицею (за допомогою формул та графічно).

Матриця стратегій гравців А і В

3	5	2	0
6	-1	3	5

Розв’язання

Платіжна матриця не має сідлової точки, тому оптимальне рішення має бути в змішаних стратегіях. Будуємо графічне зображення гри.

На площині xОy введемо систему координат і на осі Ох відкладемо відрізок одиничної довжини А1, А2, кожній точці якого поставимо у відповідність деяку змішану стратегію 1-го гравця ( ). Зокрема, точці А1 (0; 0) відповідає стратегія А1, точці А2 (1, 0) - стратегія А2.

Через точку А1 і А2 проведемо перпендикуляр і на отриманих прямих будемо відкладати виграш гравців. На першому перпендикулярі (в даному випадку він збігається з віссю Оу) відкладемо виграш 1-го гравця при стратегії А1, а на другому - при стратегії А2. Якщо гравець 1 застосує стратегію А1, то виграш при стратегії В1 гравця 2 – 2 , при стратегії В2 – 5, при стратегії В3 – 3, а при стратегії В4 - 0. Числам 2, 5, 3, 0 на осі 0х відповідають точки В1, В2, В3 і В4.

Якщо ж гравець 1 застосує стратегію А2, то його виграш при стратегії В1 дорівнює 6, при В2 – (-1), при В3 – 3 і при В4 – 5. Ці числа визначають точки В1', В2', В3', В4' на перпендикулярі , проведеному через точку А2. З’єднавши між собою точки В1 і В1', В2 і В2', В3 і В3', В4 і В4' отримаємо чотири прямі, відстань до яких від осі 0х визначає середній виграш при будь-якому поєднанні відповідних стратегій.

Таким чином, ординати точок, що належать ламаній В4KВ2' визначають мінімальний виграш 1-го гравця при застосуванні ним будь-яких змішаних стратегій. Ця мінімальна величина є максимальною в точці K, отже, цій точці відповідає оптимальна стратегія p* = ( ), а її ордината дорівнює ціні гри ν. Координати точки K знаходимо як точку перетину прямих В4 В4' і В2В2'.

Звідси, виключаючи стратегії В3 і В4, отримуємо матричну гру 2x2 з платіжною матрицею виду

Матриця гри

5	0
-1	5

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 3.1 - Геометрична інтерпретація матрічної гри

Розв’яжемо дану гру аналітичним методом.

Середній виграш першого гравця, якщо він використовує оптимальну мішану стратегію, p* = ( ), а другий гравець – чисту стратегію, що відповідає першому стовпцю платіжної матриці, дорівнює ціні гри ν:

.

Той самий середній виграш отримає перший гравець, якщо другий гравець застосує стратегію, що відповідає другому стовпцю платіжної матриці, тобто:

.

Враховуючи, що , отримуємо систему рівнянь для визначення оптимальної стратегії першого гравця та ціни гри:

Розв’язуємо дану систему рівнянь:

Тоді

Отже,

 

Застосовуючи теорему про активні стратегії пошуку мішаної стратегії другого гравця, отримуємо, що при будь-якій чистій стратегії першого гравця програш другого гравця дорівнює ціні гри, тобто: