Планирование и организация эксперимента

 

2.1 Осуществление  компьютерного эксперимента

Данный эксперимент проводился с помощью программы Mat Lab.

Формулировка задачи: в химическом процессе выход продукта У(%) зависит от трёх факторов: температуры X₁ (⁰C) ; давления Х₂ (мм.рт.ст.) и относительной влажности Х₃. С помощью ПФЭ найти математическое описание процесса в окрестности точки факторного пространства с координатами: :  Х_1min=5 °С, Х_1max=40 °С,  Х_2min=0,9 атм_, Х_2max=1,1 атм_, Х_3min=0,1 , Х_3max=1,0.

Число опытов N = 2³ = 8

Для упрощения обработки результатов  эксперимента, произведем кодирование значений факторов по формулам:

, ,     ∆

где     - натуральное значение  i-го фактора;

 - натуральное значение основного уровня (центра плана по фактору );                              

∆x_i - интервал варьирования фактора;

- кодированный нормированный  безразмерный фактор, который принимает  значения

       

В результате такого кодирования  получим матрицу спектра плана  в безразмерных величинах 

Построим матрицу планирования, используя третий прием, который  основан на правиле чередования  знаков: в первом столбце знаки  меняются поочередно, во втором столбце  чередуются через 2, в третьем - через 4

Построим матрицу планирования со взаимодействиями и занесем в таблицу 3

Таблица 3

№	x0	x1	x2	x3	x1x2	x1x3	x2x3	x1x2x3	Yi
1	+	-	-	-	+	+	+	-	y1
2	+	+	-	-	-	-	+	+	y2
3	+	-	+	-	-	+	-	+	y3
4	+	+	+	-	+	-	-	-	y4
5	+	-	-	+	+	-	-	+	y5
6	+	+	-	+	-	+	-	-	y6
7	+	-	+	+	-	-	+	-	y7
8	+	+	+	+	+	+	+	+	y8

 

Данная матрица обладает следующими свойствами: ортогональность, симметричность, нормированность

Полученные результаты эксперимента занесем в таблицу 4

 Таблица 4

№	1	2	3	4	5	6	7	8
Х1	5	40	5	40	5	40	5	40
Х2	0,9	0,9	1,1	1,1	0,9	0,9	1,1	1,1
Х3	0,1	0,1	0,1	0,1	1	1	1	1
У1	9,99537	-3,05854	13,66868	-3,00799	9,10628	-6,85028	11,16794	-5,02737
У2	6,61861	-3,06334	16,16766	-0,39853	4,64072	-5,76578	11,30012	-3,74919
У3	11,52324	-6,42306	12,56883	-3,15765	10,25626	-13,56461	10,42951	-4,19819
У4	11,96783	-5,42367	20,15890	-3,58194	12,74631	-13,14624	14,29879	-4,61747
У5	8,04026	-5,84173	13,80646	-5,59948	6,40549	-7,63585	6,16787	-6,08960

 

Определим уравнение регрессии  первого порядка,

Формула для определения  коэффициентов соответствующего уравнения  регрессии первого порядка:

 

Y = q₀f₀(x₁…x_m)+ q₁f₁(x₁…x_m)+ …+q_pf_p+ε

q0 = 1/8(y1+y2+y3+y4+y5+y6 +y7+y8)

q1 = 1/8(-y1+y2-y3+y4-y5+y6 -y7+y8)

q2 = 1/8(-y1-y2+y3+y4-y5-y6 +y7+y8)

q3 = 1/8(-y1-y2-y3-y4+y5+y6 +y7+y8)

q12 = 1/8(y1-y2-y3+y4+y5-y6 -y7+y8)

q13=1/8(y1-y2+y3-y4-y5+y6 -y7+y8)

q23 = 1/8(y1+y2-y3-y4-y5-y6 +y7+y8)

q123 = 1/8(-y1+y2+y3-y4+y5-y6 -y7+y8)

 

2.2 Проведение  статистической обработки результатов  компьютерного эксперимента

Для удобства перепишем таблицу  в следующем виде

Таблица 5

№	1	2	3	4	5	6	7	8
У1	9,99537	-3,05854	13,66868	-3,00799	9,10628	-6,85028	11,16794	-5,02737
У2	6,61861	-3,06334	16,16766	-0,39853	4,64072	-5,76578	11,30012	-3,74919
У3	11,52324	-6,42306	12,56883	-3,15765	10,25626	-13,56461	10,42951	-4,19819
У4	11,96783	-5,42367	20,15890	-3,58194	12,74631	-13,14624	14,29879	-4,61747
У5	8,04026	-5,84173	13,80646	-5,59948	6,40549	-7,63585	6,16787	-6,08960
Yср	9,629062	-4,76207	15,27411	-3,14912	8,631012	-9,39255	10,6728	-4,73636
Si2	5,19476	2,537492	9,177387	3,444333	10,16959	13,54972	8,53502	0,798553

 

Ycp – среднее значение выхода продукта по строчкам

Si² - оценки дисперсий по строкам. по следующей формуле

Где l – количество измерений при данном опыте. l = 5

№	x0	x1	x2	x3	x1x2	x1x3	x2x3	x1x2x3
1	+	-	-	-	+	+	+	-	9,629062
2	+	+	-	-	-	-	+	+	-4,76207
3	+	-	+	-	-	+	-	+	15,27411
4	+	+	+	-	+	-	-	-	-3,14912
5	+	-	-	+	+	-	-	+	8,631012
6	+	+	-	+	-	+	-	-	-9,39255
7	+	-	+	+	-	-	+	-	10,67285
8	+	+	+	+	+	+	+	+	-4,73636

 

Проверим однородности дисперсий  по критерию Кохрена

Определим оценки дисперсий по строкам. по следующей формуле (l = 5)

Вычислим сумму дисперсий  строк: = 53,40685

Для проверки равноточности  необходимо выбрать самую большую  из построчных дисперсий  и вычислить G – критерий:

= 13,54972 (опыт №6)

G = 13,54972 / 53,40685= 0.254

Если  . где - табличное значение критерия при числе степеней свободы ν1 = l - 1 и ν2 = n (количество опытов).  то опыты равноточные.

Для уровня значимости 0.05 табличное  значение Кохрена равно G(4.8)= 0.391

G < Gт – следовательно. опыты являются равноточными

Тогда общая оценка дисперсии  воспроизводимости определяется по формуле:

= 53,40685/8 = 6,67585625

Рассчитаем коэффициенты в уравнении регрессии по формулам:

.

b0 = 1/8((9,629062)+ (-4,76207)+( 15,27411) + (-3,14912) + (8,631012 ) + (-9,39255 ) + (10,67285) + (-4,73636 ))= 2,770866

b1 = 1/8(-(9,629062)+ (-4,76207)-( 15,27411) + (-3,14912) - (8,631012 ) + (-9,39255 ) - (10,67285) + (-4,73636 ))=-8,280892

b2 = 1/8(-(9,629062)- (-4,76207)+( 15,27411) + (-3,14912) - (8,631012 ) - (-9,39255 ) + (10,67285) + (-4,73636 ))=1,744503

b3 = 1/8(-(9,629062)- (-4,76207)-( 15,27411) - (-3,14912) + (8,631012 ) + (-9,39255 ) + (10,67285) + (-4,73636 ))=-1,477129

b12 = 1/8((9,629062)- (-4,76207)-( 15,27411) + (-3,14912) + (8,631012 ) - (-9,39255 ) - (10,67285) + (-4,73636 ))=-0,177218

b13 = 1/8((9,629062)- (-4,76207)+( 15,27411) - (-3,14912) - (8,631012 ) + (-9,39255 ) - (10,67285) + (-4,73636 ))=-0,077301

b23 = 1/8((9,629062)+ (-4,76207)-( 15,27411) - (-3,14912) - (8,631012 ) - (-9,39255 ) + (10,67285) + (-4,73636 ))=-0,069996

b123 = 1/8(-(9,629062)+ (-4,76207)+( 15,27411) - (-3,14912) + (8,631012 ) - (-9,39255 ) - (10,67285) + (-4,73636 ))=0,830806

Предварительно математическая модель процесса будет выглядеть  следующим образом: 

Y^*= 2,770866 - 8,280892 X1 + 1,744503 X2 - 1,477129 X3 - 0,177218 X1X2 -0,077301 X1X3 - 0,069996 X2X3 + 0,830806 X1X2X3

Оценим значимость коэффициентов. для этого определим дисперсию коэффициентов:

S²bi = S²e/N = 6,67585625/8 =0,834482

Для оценки погрешности (доверительного интервала) коэффициентов найдем табличное  значение критерия Стьюдента для  доверительной вероятности 0.95 и  числа степеней свобод ν = (l – 1)n = 32

Табличное значение критерия Стьюдента: t_0.95.32 = 1.69. Тогда доверительный интервал коэффициентов равен: Db_i = t_{p. f} × = 1.69 × = 1.543815

Сравним коэффициенты с дисперсией коэффициентов:

|b_o| = 2,770866 > Db_i – коэффициент значим

|b₁| = 8,280892  > Db_i – коэффициент значим

|b₂| = 1,744503 > Db_i – коэффициент значим

|b₃| = 1,477129 < Db_i – коэффициент незначим

|b₁₂| = 0,177218 < Db_i – коэффициент незначим

|b₁₃| = 0,077301 < Db_i – коэффициент незначим

|b₂₃| = 0,069996 < Db_i – коэффициент незначим