Планирование и организация эксперимента

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное  учреждение высшего профессионального  образования

«ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ  УНИВЕРСИТЕТ»

 

 

 

Наименование факультета - Электрофизический

Наименование направления- Метрология, стандартизация и сертификация

Наименование кафедры - КИСМ

 

 

 

 

Планирование  и организация Экспиремента

 

Курсовая работа

 

 

 

Студент  гр.  1Г60           ___________________              М. И. Пивоваров                            ^{(подпись)}  

Руководитель               ____________________             В. Ю. Казаков

^{(подпись)} 

                                                 

 

 

 

Томск 2009

Содержание

		С.
	Введение	4
1	Определение характеристик  случайной величины	5
	1.1 Определение вида распределения	5
	1.1.1 Определение вида распределения по виду   гистограммы	5
	1.1.2 Проверка вида распределения по критерию χ2	6
	1.1.3 Проверка вида распределения по критерию Шермана	8
	1.2 Точечные и интервальные оценки параметров распределения	9
	1.3 Функция плотности распределения. Эмпирическая и теоретические функции распределения	11
	1.4 Определение объема выборки	12
2	Определение регрессионной  зависимости	13
	2.1 Проведение  эксперимента	13
	2.2 Обработка  экспериментальных данных	15
	Заключение	20
	Список использованных источников	21

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Целью данной курсовой работы является получение заключения относительно генеральной совокупности по свойствам выборки, полученной из этой совокупности; планирование и проведение эксперимента, получение  регрессионной модели зависимости отклика от факторов. 

Цель планирования эксперимента -  нахождение таких условий и правил проведения опытов при которых удается получить надежную и достоверную информацию об объекте с наименьшей затратой труда, а также представить эту информацию в компактной и удобной форме с количественной оценкой точности.

В первой части моей работы нужно составить план эксперимента по определению характеристик случайной  величины. Применение метода анализа  результатов наблюдений, разработанного для конкретных законов распределения, в условиях, когда реальное распределение  отличается от предполагаемого, является самой распространенной ошибкой  на практике, которая приводит к  неверным выводам и к существенным материальным потерям и затратам времени. Поэтому важно знать  вид распределения вероятностей обрабатываемого ряда случайных величин.

          Второй частью данной работы  является  составление плана эксперимента  по выяснению регрессионной зависимости,  и статистическая обработка его результатов.

  Регрессионный анализ служит для нахождения по результатам эксперимента связи выходного параметра с факторами, которые оказывают влияние на этот параметр. Регрессионный анализ позволяет получить математическую модель процесса на основе оценки коэффициентов регрессии в виде полинома.

 

 

1. Определение характеристик случайной величины

При помощи программы сгенерируем  выборку объема n=100 для непрерывной случайной величины (программа генерирует выборки заданного объема для непрерывной случайной величины, при этом возможны распределения вида: нормальное, равномерное, экспоненциальное, Рэлея) в таблице 1 представлены исходные данные.

Таблица 1

 

7,9003	7,2309	6,1158	6,0305	7,6762	6,3869	6,9931	7,4542	7,5896	6,273
6,4623	7,5839	6,7057	7,4936	6,0393	7,3644	7,7995	6,6186	7,9137	6,0235
7,2137	7,8436	7,6263	6,8902	7,3626	6,6055	7,6433	7,677	7,0452	7,7878
6,972	7,4764	6,0197	7,8636	6,759	7,0833	7,2898	7,1361	7,7603	6,3983
7,7826	6,3525	6,2778	6,932	7,6636	6,3017	7,6359	6,7408	6,3459	6,5974
7,5242	6,8114	6,4055	6,8373	7,0056	7,3958	7,3205	7,4055	7,9595	7,3229
6,9129	7,8709	6,3974	7,6924	7,4189	6,7567	6,6839	7,0931	6,5429	6,5688
6,037	7,8338	7,2076	7,0503	6,8578	7,72	6,5795	6,8898	6,5047	6,9384
7,6428	6,8205	6,5444	6,4053	6,6092	7,7073	6,6824	7,3891	7,7515	6,1296
6,8894	7,7873	6,3976	7,3443	6,3793	7,1871	7,0682	7,2426	7,4746	7,9767

 

 

Быстрым, эффективным и наглядным  способом получения информации о  виде распределения является построение гистограммы. Затем достоверность определения этой информации следует проверить статистическими критериями.

    

1.1.1 Определение вида распределения по виду гистограммы

 

Число интервалов для построения гистограммы  на практике при объеме выборки 50-100 берут равным 7-9 [1]. Для данного  случая возьмем число интервалов равным восьми и построим гистограмму в программном пакете STATISTICA 6.0; вид полученной гистограммы представлен на рисунке 1:

 

 

Рисунок 1

 

Анализируя полученную гистограмму, предположим, что наша непрерывная  случайная величина распределена равномерно на отрезке от 6 до 8. 

 

1.1.2 Проверка вида распределения по критерию χ²

 

Проверим достоверность  этого предположения по общему критерию согласия, основанному на сравнении  теоретической плотности распределения  и эмпирической гистограммы –  критерий χ²

Выдвинем основную гипотезу.

Гипотеза Н₀: Выборка распределена по закону равной вероятности в интервале [6; 8] при уровне значимости a = 0,05.

Тогда альтернативная гипотеза Н₁: Выборка не распределена по закону равной вероятности  в интервале [6; 8] при уровне значимости a = 0,05.

Диапазон изменения экспериментальных  данных разбивается на k интервалов и подсчитывается статистика:

     ,     

где  n_i –количество значений случайной величины,  попавших в i-й  интервал;

n- объем выборки;

F (x)– гипотетический теоретический закон распределения вероятностей случайной величины

p_i = F (x _i+1) - F (x_i)  – теоретическая вероятность попадания  случайной величины в i-й  интервал. [2]

Т.к проверяем гипотезу о равномерности распределения  случайной величины x на отрезке [6 ; 8], то теоретическая функция вероятности:

 

Произведем расчет статистики, для этого заполним таблицу 2. Граничные  значения частичных интервалов будем  брать из полученной ранее гистограммы  на рисунке 1.

Таблица 2

i	ni	F (x i+1)	F (xi)	pi	npi
1	7	0,132163	0	0,132163	13,21625	38,64176406	2,923806985
2	14	0,254475	0,1322	0,122313	12,23125	3,128476563	0,255777338
3	12	0,376788	0,2545	0,122313	12,23125	0,053476563	0,004372126
4	14	0,4991	0,3768	0,122313	12,23125	3,128476562	0,255777338
5	12	0,621413	0,4991	0,122313	12,23125	0,053476563	0,004372126
6	13	0,743725	0,6214	0,122313	12,23125	0,590976562	0,048316939
7	14	0,866038	0,7437	0,122313	12,23125	3,128476562	0,255777338
8	14	1	0,866	0,133963	13,39625	0,364514063	0,027210157

Вычисляем значения статистики, суммируя элементы последнего столбца  таблицы 2, получаем  χ² = 3,776, теперь необходимо найти критическое значение статистики, равное  χ²_1-α (f=k-1=7).

Это значение находим, используя  вероятностный калькулятор, в пакете STATISTICA 6.0:  χ²_1-α = 14,067.

Т.к.  = 3,776 < 14,067, то нулевая гипотеза принимается и можно сделать вывод о том, что на уровне значимости a = 0,05 распределение случайной величины равномерное на отрезке [6;8]. Анализируя значения, полученные в последнем столбце таблицы 2, то можно заметить, что наибольший вклад в значение статистики χ² имеет первый интервал, аналогично по гистограмме можно сказать, что на первом интервале отклонение распределения от равномерного наибольшее.

 

3. Проверка вида распределения по критерию Шермана

 

Статистика критерия Шермана для  проверки равномерности распределения  имеет вид[2]:

 

 

Выдвинем основную гипотезу.

Гипотеза Н₀: Выборка распределена по закону равной вероятности в интервале [6; 8] при уровне значимости a = 0,05.

Тогда альтернативная гипотеза Н₁: Выборка не распределена по закону равной вероятности  в интервале [6; 8] при уровне значимости a = 0,05.

n=8, таким образом как на гистограмме, тогда значения статистик U_i берем из таблицы 2, столбца для F (x _i+1), аналогично значения статистик U_i-1 из столбца для F (x _i). Производим расчет ω_n:

 

Находим критическое значение ω₈(0,95)=0,482 в таблицах критических значений критерия Шермана.[2]

ω_n< ω₈(0,95), значит гипотеза равномерности распределения не отклоняется. Значит выборка распределена по закону равной вероятности в интервале [6; 8] при уровне значимости a = 0,05.

 

2. Точечные и интервальные оценки параметров распределения

 

Точечные оценки параметров распределения

В качестве оценки математического  ожидания будем считать величину М(х), определяемую по формуле [1]:

где a и b числа, которыми ограничивается область равномерно распределенной величины; в нашем случае a=6, b=8

Получим М(Х)=7.

В качестве оценки дисперсии случайной величины х  будем считать величину D(X), определяемую по формуле:

Получим = 0,333.

В качестве оценки СКО будем считать величину s(Х) определяемую формулой:

Получим = 0,577.

В качестве оценки коэффициента вариации будем считать величину , определяемую формулой:

=0,19245.

В качестве оценки медианы  будем считать величину ,определяемую формулой:

=7.

  Оценим параметры a и b по формулам:

где a_o и _bo- оценки a и b;     

σ - оценка среднеквадратического  отклонения случайной величины.

- среднее значение случайной  величины, рассчитанное по формуле : 

  ,

где n- объем выборки.

= 7,057131

a_o=6,057738,  _bo =8,056524.

Интервальные оценки параметров распределения

Для оценки математического  ожидания воспользуемся функцией MS Excel – ДОВЕРИТ, которая возвращает доверительный интервал для среднего генеральной совокупности по среднеквадратическому отклонению  ( = 0,577), уровню значимости(a = 0,05) и объему выборки(n=100) 

Получим

                                            

 

3. Функция плотности распределения. Эмпирическая и теоретические функции распределения

_{Построим  график плотности  равномерного распределения  рисунок 2,  определив  по формуле:}

                                                       Рисунок 2

 _{Построим график теоретической функции распределения (рисунок 3), определив по формуле:}

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 3

Построим график эмпирической функции распределении 

(рисунок 4).

       Рисунок  4

 

4. Определение объема выборки

Объем выборки определяется по формуле :

 ,     

где  n – объем выборки; – квантиль нормального распределения;                    α – уровень значимости; – абсолютная погрешность.

Зададим уровень  значимости α = 0,05 и допустимую абсолютную погрешность = 0,088, тогда = 1,96, следовательно, объем выборки          n = 500.

 

 

2. Определение регрессионной зависимости