Имитационное моделирование

  или   .

  Пример 1. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному функцией распределения

.

Требуется найти формулу для  нахождения реализаций , соответствующих данным значениям . Запишем , разрешая это уравнение относительно , получим

.

Пусть случайная величина R приняла значения , тогда, при , получим числа распределенные по показательному закону с заданным параметром λ .

    Пример 2. Непрерывная случайная  величина Х распределена по  закону равномерной плотности на интервале (a,b), заданному функцией распределения

.

Подставляя функцию в уравнение  и разрешая его относительно , получим

.

    Пример 3. Известно, что если  случайная величина представляет  собой суперпозицию достаточно большого числа независимых случайных величин с произвольными законами распределения, то она подчиняется нормальному закону. Поэтому для генерирования, нормально распределенного СЧ, используют формулу,

,

где m и σ математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение получаемой  случайной величины, − СЧ равномерно распределенные на интервале (0,1). Для практических целей достаточно просуммировать 12 таких чисел (n=12).   

    

3. Вероятностно-статистические аспекты  метода Монте-Карло и имитационного моделирования

 

  Как уже отмечалось выше, при решении задач методом МК или ИМ следует иметь в виду, что получаемые результаты  являются фактически исходами вычислительного эксперимента. Следовательно, эти результаты должны интерпретироваться с точки зрения математической статистики. В соответствии с законом больших чисел, свойства устойчивости результаты приобретают после многократного повторения такого эксперимента. Вопрос о достаточности числа вычислительных опытов может ставиться только для конкретной системы и при  известных начальных условиях. Рассмотрим пример определения площади круга из главы 1 данной работы. Выберем число наблюдений (в ИМ это число чаще называют числом прогонов модели)

N=10. Меняя продолжительность прогона от 100 до 10000 точек, вычислим средние выборочные и дисперсии для каждого из этих случаев. Для наглядности приведем программу вычислений площади круга еще раз. Результаты расчетов сведем в таблицу.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По данным расчетов, приведенных в таблице можно сделать следующие выводы.

1. С ростом числа генерируемых точек (продолжительности прогона модели) оценки площади круга приближаются к точному значению.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 На графике показаны оценки величины интеграла для прогона 1 в зависимости от продолжительности прогона. Видно, что сначала оценки испытывают сильные колебания, а затем стабилизируются вблизи точного значения. Наблюдаемое явление типично для любой имитационной модели.

2. Прогоны модели, отличающиеся друг от друга  только последовательностями случайных чисел, дают различные оценки при одном и том же значении n.
3. Отметим, что влияние переходных условий уменьшается при усреднении результатов прогонов (это хорошо видно из строки таблицы для средних выборочных).
4. Дисперсия рассматриваемой случайной величины существенно уменьшается при увеличении продолжительности прогона с 100 до 200, а затем ее уменьшение незначительно. Этот факт так же характерен для имитационных моделей, что позволяет подобрать оптимальное для рассматриваемей задачи значение n, по критерию точность− затраты машинного времени.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.Моделирование Марковских процессов.

4.1 Марковская цепь с дискретным временем.

 

     Рассмотрим, для простоты, Марковскую цепь с тремя состояниями (k=3). (Подробное изложение теории Марковских цепей см. [4,5]). Переходы между состояниями происходят мгновенно в фиксированные моменты времени. Вероятности переходов из любого состояния Si в любое другое Sj считаются заданными и равны pij. Моделирование системы требует симуляции стохастических воздействий на систему (случайных чисел и случайных событий ). Получение СЧ описано в главе 3, а случайные события, образующие полную группу, с заданными вероятностями можно моделировать следующим образом. Пусть событие А имеет вероятность р(А), а противоположное событие − (1-р(А)) . Разыграем одну реализацию случайной величины имеющей равномерное распределение на интервале (0,1). Если  , то полагают, что произошло событие А, если , то произошло противоположное событие. Приведем пример с большим числом событий. Пусть события А,В,С образуют полную группу и попарно несовместны, и р(А)=0.3, В – р(В)=0.5 и С– р(С)=0.2. Тогда, если полученное случайное число х  меньше 0.3, то полагают, что произошло событие А , если  х  меньше 0.8, но больше 0.3 – событие В и при х больше 0.8 – событие С. При многократном повторении элементарных  опытов по определению вероятности событий  по приведенной схеме частота появления  каждого события будет стремиться к его вероятности.

   Поставим конкретную задачу. Для Марковской цепи с тремя состояниями задана матрица вероятностей переходов за один шаг  Р.

1. Составить размеченный граф состояний этой Марковской цепи, определить, является ли цепь регулярной.

2. Найти стационарное распределение  вероятностей состояний. 

3. Выполнить моделирование системы  и сравнить полученные результаты с результатами, полученными ранее в пункте 2.

Решение. 1. Составим граф состояний.

 

                 1/3                                              0

                                             1/3

                                        1/2

 

                 1/3                  0

                                                   1/2         1/2

 

 

                                           1/2

          

 По графу видно, что все  состояния системы существенны,  поэтому цепь регулярна и обладает  финальными вероятностями состояний.

2. По формулам, [5] найдем стационарное распределение вероятностей. Запишем систему алгебраических уравнений соответствующую данному матричному

 

          

         Þ        .              

 

Система  имеет бесчисленное множество  решений, причем одно из уравнений является следствием двух других. Чтобы найти  единственное решение, отбросим лишнее уравнение и добавим условие нормировки            .

Решим систему уравнений:

                    Þ               ,

(0,231; 0,461; 0,308).

3. Моделирование процесса, протекающего в данной системе.

    Примем, что в начальный момент времени система находится в состоянии S0  и Q(0) = (1, 0, 0). Пусть число шагов моделирования или продолжительность прогона равна ns. Введем матрицу В − индикатор состояния, (например, столбец показывает, что система после последнего шага находится в состоянии S0)  и вектор so для суммирования числа попаданий в каждое из состояний. Так как в начальный момент времени система находилась в состоянии , то , а и .

Основные  обозначения, используемые в приведенной  ниже программе.

jm− счетчик числа шагов, x −  случайные числа, равномерно распределенные на интервале (0,1). Значение индекса k определяет номер состояния, из которого выходит система, а номер состояния, в которое  осуществляется переход, получим из соотношений  переходных вероятностей. Элементы вектора sо,  есть числа попаданий системы в данное состояние и они будут возрастать на 1, как только система попадает в это состояние. Формальными параметрами программы являются число шагов N и вектор s.

   Краткое описание работы программы.

   Счетчику jm присваивается начальное значение 0, выбирается  столбец соответствующий начальному состоянию и строится цикл while до достижения значения N счетчика  jm. Внутри цикла определяется значение индекса k или номера состояния, из которого будет проходить переход, затем, в соответствии со значениями переходных вероятностей, находится состояние i , в которое перейдет система. В рассматриваемом примере, вероятности переходов из состояния в равны . Тогда, если следующее случайное число х меньше  или равно 1/3, то произойдет событие , если , то и при , и число возрастет на единицу. Индикатор состояний приводится в положение соответствующее совершенному переходу. К счетчику шагов прибавляется единица. Далее расчет продолжается аналогично. Результатом  моделирования будут компоненты вектора s − числа попаданий в каждое из состояний. Точные (вычисленные по формулам [5]) стационарные значения вероятностей состояний представим в виде матрицы

_.

 

Программа, моделирующая процесс, протекающий  в цепи, приведена ниже.

Отметим, что  моделирование позволяет получать лишь средние значения параметров системы в установившемся режиме ее работы.

                                                            

 

 

 

Сравнивая результаты моделирования при различных  прогонах с различными числами шагов и точные значения стационарных вероятностей состояний, делаем вывод о хорошей сходимости результатов моделирования к точным значениям при N > 10000 шагов.

    

 

4.2 Марковская цепь с непрерывным временем

 

Рассмотрим систему с k  состояниями. Переходы между состояниями происходят мгновенно в случайные моменты времени. Вероятности переходов из любого состояния Si в любое другое Sj являются функциями от времени pij(t). Если  случайный процесс, протекающий в системе, обладает свойством отсутствия последействия, то говорят, что задана Марковская цепь с непрерывным временем. Интенсивностью перехода из состояния Si в состояние Sj называется предел ,

где -вероятность перехода на интервале времени .

             Матрица вероятностей состояний удовлетворяет системе дифференциальных уравнений Колмогорова. Эта система может быть записана в матричной

                                                                                   

или в координатной форме

 

                                             

 

Здесь -матрица, составленная из производных , i = 1, 2, 3 вероятностей состояний в момент времени t. Для решения системы (1.2.5) или (1.2.6) необходимо, как обычно, задать начальные условия:

                                ,   ,            

где , i = 1, 2, 3 -заданные числа, причем

Определение 1.2.2. Распределение вероятностей называется стационарным, если вероятности состояний не зависят от времени или .

Для стационарного распределения  вероятностей системы  , тогда из (1.2.5) получаем систему алгебраических уравнений

,

или в координатной форме:

                                                    

Уравнения для стационарного случая можно составить непосредственно  по графу: сумма произведений для дуг, выходящих из состояния , равна сумме произведений для дуг, входящих в состояние .

   Рассмотрим, для примера,  Марковскую цепь с тремя состояниями.  Пусть задана матрица интенсивностей переходов Λ и  начальное распределение вероятностей состояний

 

 

Требуется:

1. Составить размеченный граф состояний этой Марковской цепи, определить, является ли цепь регулярной.

  2. Найти стационарное распределение  вероятностей состояний.

  3. Выполнить моделирование переходного процесса, протекающего в системе, при помощи решения системы дифференциальных уравнений для вероятностей состояний.

4. Выполнить моделирование системы и сравнить полученные результаты моделирования с результатами, полученными в пункте 2.

 

Решение.

 

1.   Составим граф состояний.

 

 

                                                2

                                           3

 

                         3             1             4           4

 

 

                                                                                                   

                

 По графу видно, что все  состояния системы существенны  и связаны между собой, поэтому  цепь регулярна.

2. По формулам найдем стационарное  распределение вероятностей:

                                                 , 

 

Тогда стационарное распределение  вероятностей состояний Sq определим [5]

           3. Решим  уравнения Колмогорова в системе  MathCAD при помощи стандартной функции Rkadapt при начальных  условиях (в начальный момент времени система находится в состоянии S0 ). Сведем систему к двум уравнениям, используя условие нормировки