Экономико-математические методы и прикладные модели

      Определим, насколько изменится общая стоимость выпускаемой продукции при заданных изменениях запасов сырья. Из «Отчета по устойчивости» видно, что эти изменения происходят в пределах устойчивости (см. «Допустимое увеличение» и «Допустимое уменьшение» правых частей ограничений в прил. 2), что дает возможность сразу рассчитать изменение наибольшей выручки от реализации выпускаемой продукции, не решая новую задачу линейного программирования:

      При этом «новая» наибольшая выручка составит

 

      Для определения целесообразности включения в план выпуска еще и изделия Д с заданными характеристиками рассчитаем стоимость ресурсов на изготовление единицы этого изделия в теневых ценах и сравним это значение с ценой реализации:

      Следовательно, продукцию Д выпускать невыгодно, так как она поглощает часть дефицитных ресурсов и тем самым сдерживает рост выпуска выгодной продукции. Это, в свою очередь, препятствует увеличению общей стоимости выпускаемых изделий. Если бы изделие Д реализовывалось по цене равной или большей 12 руб., то его производство было бы выгодным. 
 

ПРИЛОЖЕНИЕ:

      1) рабочий лист EXCEL;

      2) «Отчет по устойчивости».

ЗАДАЧА 3

      Используя балансовый метод  планирования и модель Леонтьева построить баланс производства и распределения продукции предприятий  

      3.9. Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие - продукции второго вида; третье предприятие - продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки а_ij (i=1, 2, 3; j=1, 2, 3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов y_i вектора конечной продукции Y.  

      Требуется:

1. Проверить продуктивность технологической матрицы A=(а_ij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).
2. Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.

 
 
 

      Решение. Для решения задачи используем табличный процессор EXCEL.

      1. Матрица коэффициентов прямых затрат A является квадратной матрицей порядка n=3. Вычислим матрицу коэффициентов полных затрат , где — единичная матрица порядка n=3. С помощью встроенной функции EXCEL «МОБР» получим (см. прил.): 

 

      Все элементы матрицы коэффициентов  полных затрат B неотрицательны, следовательно матрица коэффициентов прямых затрат A продуктивна.

      2. Вычисляем вектор валовой продукции X по формуле . С помощью встроенной функции EXCEL «МУМНОЖ» получим (см. прил.): 

 

      Распределение продукции между предприятиями (внутреннее потребление) определяется из соотношения . Получим (см. прил.): 

 

      Заполняем схему баланса производства и распределения продукции предприятий холдинга: 

 
 

ПРИЛОЖЕНИЕ: рабочий лист EXCEL с исходными данными и схемой баланса. 

ЗАДАЧА 4

      Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного  временного ряда 

      4.9. В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя (повариантно) приведен в таблице: 

 

      Требуется: 

1. Проверить наличие аномальных наблюдений. 
2. Построить линейную модель , параметры которой оценить МНК ( — расчетные, смоделированные значения временного ряда). 
3. Построить адаптивную линейную модель Брауна¹.
4. Оценить адекватность линейной модели, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).
5. Оценить точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
6. По построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р=70 %).
7. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

      Вычисления  провести с одним знаком в дробной  части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями). 
 

      Решение. 1. Для выявления аномальных наблюдений используем метод Ирвина. Для каждого уровня временного ряда рассчитывается статистика

,

где — стандартное отклонение уровней ряда.

      Стандартное отклонение определяется с помощью встроенной функции EXCEL «СТАНДОТКЛОН»: S_y»6,73 млн. руб. (прил. 1). Расчет значений l_t для всех уровней ряда, начиная со второго, приведен в прил. 1. Табличное значение критерия Ирвина для уровня значимости a=0,05 и длины временного ряда n=9 составляет l=1,5. Видно, что ни одно из значений l_t не превышает критического значения, что свидетельствует об отсутствии аномальных наблюдений.

      2. Линейную трендовую модель строим с помощью надстройки EXCEL «Анализ данных… Регрессия» (меню «Сервис»): 

 

 

      Уравнение линейного тренда имеет вид (см. «Коэффициенты» в прил. 1):

.

      Угловой коэффициент показывает, что спрос на кредитные ресурсы финансовой компании за одну неделю уменьшается в среднем на 0,4 млн. руб.

      Коэффициент детерминации уравнения R²»0,967 (см. «R-квадрат» в прил. 1) превышает критическое значение для a=0,05 и n=9, что свидетельствует о статистической значимости линейной модели и наличии устойчивого линейного тренда во временном ряду. Само значение R² показывает, что изменение спроса во времени на 96,7 % описывается линейной моделью.

      4. Оценим адекватность линейной модели. Рассчитанные по модели значения спроса , остатки и их график были получены в EXCEL одновременно с построением модели (см. «ВЫВОД ОСТАТКА» в прил. 1).

      Случайность остаточной компоненты проверим по критерию поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда остатков сравниваем с двумя соседними — предыдущим и последующим. Если этот уровень одновременно больше или одновременно меньше обоих соседних уровней, то точка считается поворотной (на графике остатков такие уровни выглядят как «пики» и «впадины»). В нашем случае общее число поворотных точек в ряду остатков составляет p=5.

      Критическое число поворотных точек для a=0,05 и n=9 определяется по формуле

      Так как  , остатки признаются случайными.

      Проверим  независимость остатков с помощью критерия Дарбина–Уотсона. Для расчета d-статистики используется выражение, составленное из встроенных функций EXCEL:

=СУММКВРАЗН(«Остатки 2, …, n»; «Остатки 1, …, n–1»)/СУММКВ(«Остатки 1, …,n»)

      d-статистика имеет значение (см. прил. 1):

.