Экономико-математические методы и прикладные модели

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ  
ИНСТИТУТ

Филиал  в г. Брянске 
 
 
 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по  дисциплине

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ 
 
 
 

 
 
 
 

Брянск  2008 год

ЗАДАЧА 1

      Решить  графическим методом  типовую задачу оптимизации

      1.9. При производстве двух видов продукции используется 4 типа ресурсов. Норма расхода ресурсов на производство единицы продукции, общий объем каждого ресурса заданы в таблице:

 

 

      Прибыль от реализации одной единицы продукции  первого вида составляет 2 ден. ед., второго вида — 3 ден. ед.

      Задача  состоит в формировании производственной программы выпуска продукции, обеспечивающей максимальную прибыль от ее реализации.

      Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии  к ее элементам  и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?

      Решение. Данная задача оптимизации является задачей линейного программирования. Обозначим количество двух выпускаемых видов продукции через х₁ и х₂ соответственно. Целевой функцией задачи является общая выручка от реализации, которая должна быть наибольшей. Число ограничений задачи равно числу ресурсов, необходимых для изготовления изделий — 4. Дополнительно вводится условие неотрицательности переменных. Зная цены изделий, нормы их расхода и запасы ресурсов, можно сформулировать математическую модель задачи линейного программирования:

      Задачу  решаем графическим методом.

      Строим  область допустимых решений задачи (см. рисунок). Данные для ее построения приведены в таблице: 

 

      Стоим вектор-градиент целевой функции задачи. За его начало принимаем точку (0; 0), тогда концом вектора-градиента будет являться точка с координатами, равными коэффициентам целевой функции по соответствующим координатным осям — (2; 3). Перпендикулярно вектору-градиенту через точку его начала строится линия нулевого уровня целевой функции — прямая, в каждой точке которой целевая функция принимает нулевое значение: f(X)=0.

  Для определения положения точки максимума целевой функции линия, параллельная линии нулевого уровня, смещается в направлении вектора-градиента, до тех пор, пока она не покинет область допустимых решений. Предельная точка области допустимых решений при этом движении и является точкой максимума.

      В нашей задаче — это точка С, образованная пересечением граничных прямых ограничений 2 и 3. Ее координаты определяются решением системы уравнений этих прямых:

откуда  x₁*=4; x₂*=1 и .

      Таким образом, для получения максимально возможной в данных условиях выручки 11 ден. ед. следует производить 4 единицы первого вида продукции и 1 единицу второго вида продукции.

      Решение данной задачи линейного программирования на минимум лишено экономического смысла, так как выручку от реализации продукции стремятся получить наибольшей, а не наименьшей. Однако математически эта задача имеет решение и на минимум: наименьшее значение в области допустимых решений целевая функция принимает в точке (0; 0), и это значение равно . 
 

рис. Графическое решение задачи линейного программирования 
 
 
 
 
 
 
 
 

ЗАДАЧА 2

      Использовать  аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования

      2.9. Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице. 

 

      Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
• определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья I вида на 100 единиц и уменьшении на 150 единиц запасов сырья II вида;
• оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 денежных единиц, если нормы затрат сырья 2, 4 и 3 единицы.

 

      Решение. 1. Данная задача оптимизации является задачей линейного программирования. Обозначим количество выпускаемых видов продукции А, Б, В, Г, Д соответственно как х₁, х₂, х₃, х₄, х₅ . Целевой функцией задачи является общая стоимость выпускаемой продукции, которая должна быть наибольшей. Число ограничений задачи равно числу ресурсов, используемых для изготовления изделий — 3. Дополнительно вводится условие неотрицательности переменных. Зная цены изделий, нормы их расхода и запасы ресурсов, формулируем математическую модель исходной задачи линейного программирования:

      Задачу  оптимизации решаем с помощью надстройки «Поиск решения» табличного процессора EXCEL (меню «Сервис»): 

 

 

 

(для  копирования снимка окна в  буфер обмена данных используется  комбинация клавиш Alt + Print Screen).

      Использование надстройки позволило получить значения переменных оптимального плана выпуска изделий: Х*=(0; 0; 400; 550). Целевая функция имеет наибольшее для данных условий задачи значение f(X*)=9000 (прил. 1).

      Таким образом, для получения наибольшей выручки от реализации продукции следует производить x₃*=400 изделий В, x₄*=550 изделий Д и не производить изделия А и Б (x₁*=0 и x₂*=0).

  2. Обозначим двойственные оценки ресурсов I, II, III как y₁, y₂, y₃ соответственно. Целевой функцией двойственной задачи является общая стоимость запасов ресурсов в двойственных оценках, которая должна быть наименьшей. Число ограничений двойственной задачи равно числу переменных исходной задачи — 4. Математическая модель двойственной задачи имеет вид:

      При решении исходной задачи с помощью  EXCEL одновременно определяется и оптимальное решение двойственной задачи. В «Отчете по устойчивости» (прил. 2) приводятся теневые цены ресурсов: y₁*=3; y₂*=1,5; y₃*=0.

      Наименьшее значение целевой функции двойственной задачи

совпадает (в пределах погрешности округления) с наибольшим значением целевой функции исходной задачи f(X*).

      3. Выпуск изделий А и Б невыгоден для данных условий задачи. Это объясняется тем, что стоимость ресурсов на изготовление единицы этой продукции в теневых ценах превышает цену реализации:

Продукция А:

 
 
 

Продукция Б:

4. Проанализируем использование ресурсов в оптимальном плане. Для этого подставим в ограничения исходной задачи значения переменных оптимального плана Х*=(0; 0; 400; 550) и проверим выполнение неравенств:

      Видно, что ресурсы I и II используются в оптимальном плане полностью, т. е. являются дефицитными. На это обстоятельство указывает и то, что теневые цены этих ресурсов больше нуля (y₁*>0; y₂*>0). Самым дефицитным является ресурс I, так как он имеет наибольшую теневую цену (y₁*=3); следующим по дефицитности идет ресурс II (y₂*=1,5).

      Ограниченные  запасы дефицитных ресурсов I, II сдерживают рост объемов выпускаемой продукции и наибольшей выручки от ее реализации. Увеличение объема ресурса I на одну единицу при неизменных объемах других ресурсов ведет к росту наибольшей выручки на 3ден.ед., увеличение объема ресурса II на единицу — на 1,5 ден.ед. 

      Ресурс III является недефицитными (y₃*=0), т. е. избыточными в оптимальном плане. Увеличение объемов этих ресурсов не повлияет на оптимальный план выпуска продукции и не увеличит ее общую стоимость.