Автор: Пользователь скрыл имя, 15 Января 2012 в 19:27, контрольная работа
Решение графическим методом типовой задачи оптимизации. Использование аппарата теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования. Используя балансовый метод планирования и модель Леонтьева построение баланса производства и распределения продукции предприятий. Исследование динамики экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.
ВСЕРОССИЙСКИЙ
ЗАОЧНЫЙ ФИНАСОВО-
ИНСТИТУТ
Филиал
в г. Брянске
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
МЕТОДЫ И ПРИКЛАДНЫЕ
МОДЕЛИ
ВЫПОЛНИЛ(А) | |
СТУДЕНТ(КА) | 3 курса |
СПЕЦИАЛЬНОСТЬ | МО («день») |
№ ЗАЧ. КНИЖКИ | 05ММБ02629 |
ПРЕПОДАВАТЕЛЬ | Малашенко В.М. |
Брянск 2008 год
ЗАДАЧА 1
Решить графическим методом типовую задачу оптимизации
1.9. При производстве двух видов продукции используется 4 типа ресурсов. Норма расхода ресурсов на производство единицы продукции, общий объем каждого ресурса заданы в таблице:
Ресурсы | Норма затрат ресурсов на товары | Общее количество ресурсов | |
1-го вида | 2-го вида | ||
1 | 2 | 2 | 12 |
2 | 1 | 2 | 8 |
3 | 4 | 0 | 16 |
4 | 0 | 4 | 12 |
Прибыль от реализации одной единицы продукции первого вида составляет 2 ден. ед., второго вида — 3 ден. ед.
Задача состоит в формировании производственной программы выпуска продукции, обеспечивающей максимальную прибыль от ее реализации.
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?
Решение. Данная задача оптимизации является задачей линейного программирования. Обозначим количество двух выпускаемых видов продукции через х1 и х2 соответственно. Целевой функцией задачи является общая выручка от реализации, которая должна быть наибольшей. Число ограничений задачи равно числу ресурсов, необходимых для изготовления изделий — 4. Дополнительно вводится условие неотрицательности переменных. Зная цены изделий, нормы их расхода и запасы ресурсов, можно сформулировать математическую модель задачи линейного программирования:
Задачу решаем графическим методом.
Строим
область допустимых
решений задачи (см. рисунок). Данные
для ее построения приведены в таблице:
Ограничение | Граничная прямая | Точки для построения граничной прямой | Неравенство | Выполнение неравенства в контрольной точке (0; 0) | |||
Точка 1 | Точка 2 | ||||||
x1 | x2 | x1 | x2 | ||||
1 | 0 | 6 | 6 | 0 | (да) | ||
2 | 0 | 4 | 8 | 0 | (да) | ||
3 | 4 | 8 | - | - | (да) | ||
4 | 8 | 3 | - | - | (да) |
Стоим вектор-градиент целевой функции задачи. За его начало принимаем точку (0; 0), тогда концом вектора-градиента будет являться точка с координатами, равными коэффициентам целевой функции по соответствующим координатным осям — (2; 3). Перпендикулярно вектору-градиенту через точку его начала строится линия нулевого уровня целевой функции — прямая, в каждой точке которой целевая функция принимает нулевое значение: f(X)=0.
Для определения положения точки максимума целевой функции линия, параллельная линии нулевого уровня, смещается в направлении вектора-градиента, до тех пор, пока она не покинет область допустимых решений. Предельная точка области допустимых решений при этом движении и является точкой максимума.
В нашей задаче — это точка С, образованная пересечением граничных прямых ограничений 2 и 3. Ее координаты определяются решением системы уравнений этих прямых:
откуда x1*=4; x2*=1 и .
Таким образом, для получения максимально возможной в данных условиях выручки 11 ден. ед. следует производить 4 единицы первого вида продукции и 1 единицу второго вида продукции.
Решение
данной задачи линейного программирования
на минимум лишено экономического смысла,
так как выручку от реализации продукции
стремятся получить наибольшей, а не наименьшей.
Однако математически эта задача имеет
решение и на минимум: наименьшее значение
в области допустимых решений целевая
функция принимает в точке (0; 0), и это значение
равно
.
рис.
Графическое решение
задачи линейного программирования
ЗАДАЧА 2
Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования
2.9.
Для изготовления четырех видов продукции
используют три вида сырья. Запасы сырья,
нормы его расхода и цены реализации единицы
каждого вида продукции приведены в таблице.
Тип сырья | Нормы расхода сырья на одно изделие | Запасы сырья | |||
А | Б | В | Г | ||
I | 2 | 1 | 0,5 | 4 | 2400 |
II | 1 | 5 | 3 | 0 | 1200 |
III | 3 | 0 | 6 | 1 | 3000 |
Цена изделия | 7,5 | 3 | 6 | 12 |
Требуется:
Решение. 1. Данная задача оптимизации является задачей линейного программирования. Обозначим количество выпускаемых видов продукции А, Б, В, Г, Д соответственно как х1, х2, х3, х4, х5 . Целевой функцией задачи является общая стоимость выпускаемой продукции, которая должна быть наибольшей. Число ограничений задачи равно числу ресурсов, используемых для изготовления изделий — 3. Дополнительно вводится условие неотрицательности переменных. Зная цены изделий, нормы их расхода и запасы ресурсов, формулируем математическую модель исходной задачи линейного программирования:
Задачу
оптимизации решаем с помощью надстройки
«Поиск решения» табличного процессора
EXCEL (меню «Сервис»):
(для
копирования снимка окна в
буфер обмена данных
Использование надстройки позволило получить значения переменных оптимального плана выпуска изделий: Х*=(0; 0; 400; 550). Целевая функция имеет наибольшее для данных условий задачи значение f(X*)=9000 (прил. 1).
Таким образом, для получения наибольшей выручки от реализации продукции следует производить x3*=400 изделий В, x4*=550 изделий Д и не производить изделия А и Б (x1*=0 и x2*=0).
2. Обозначим двойственные оценки ресурсов I, II, III как y1, y2, y3 соответственно. Целевой функцией двойственной задачи является общая стоимость запасов ресурсов в двойственных оценках, которая должна быть наименьшей. Число ограничений двойственной задачи равно числу переменных исходной задачи — 4. Математическая модель двойственной задачи имеет вид:
При решении исходной задачи с помощью EXCEL одновременно определяется и оптимальное решение двойственной задачи. В «Отчете по устойчивости» (прил. 2) приводятся теневые цены ресурсов: y1*=3; y2*=1,5; y3*=0.
Наименьшее значение целевой функции двойственной задачи
совпадает (в пределах погрешности округления) с наибольшим значением целевой функции исходной задачи f(X*).
3. Выпуск изделий А и Б невыгоден для данных условий задачи. Это объясняется тем, что стоимость ресурсов на изготовление единицы этой продукции в теневых ценах превышает цену реализации:
Продукция А:
Продукция Б:
4. Проанализируем использование ресурсов в оптимальном плане. Для этого подставим в ограничения исходной задачи значения переменных оптимального плана Х*=(0; 0; 400; 550) и проверим выполнение неравенств:
Видно, что ресурсы I и II используются в оптимальном плане полностью, т. е. являются дефицитными. На это обстоятельство указывает и то, что теневые цены этих ресурсов больше нуля (y1*>0; y2*>0). Самым дефицитным является ресурс I, так как он имеет наибольшую теневую цену (y1*=3); следующим по дефицитности идет ресурс II (y2*=1,5).
Ограниченные запасы дефицитных ресурсов I, II сдерживают рост объемов выпускаемой продукции и наибольшей выручки от ее реализации. Увеличение объема ресурса I на одну единицу при неизменных объемах других ресурсов ведет к росту наибольшей выручки на 3ден.ед., увеличение объема ресурса II на единицу — на 1,5 ден.ед.
Ресурс III является недефицитными (y3*=0), т. е. избыточными в оптимальном плане. Увеличение объемов этих ресурсов не повлияет на оптимальный план выпуска продукции и не увеличит ее общую стоимость.
Информация о работе Экономико-математические методы и прикладные модели