Математико-статистическое моделирование и прогнозирование показателей экологической обстановки в России за 1995-2009 гг

     Проверим  гипотезу на основе t-критерия Стьюдента:

     ,

где– средниеуровни временного ряда согласно порядку разбиения;

–дисперсияпервой и второй части.

 
 
 

t_кр(α = 0,05, υ = 13) = 2,16

     t_р>t_кр, следовательно, гипотеза о равенстве средних двух совокупностей отвергается с вероятностью ошибки α = 0,05, средние существенно различаются между собой, в исследуемом ряду динамики существует тенденция средней и существует тренд.

     Проверим гипотезу H₀ об отсутствии тенденции в дисперсиях в исходном временном ряду, которая сводится к проверке гипотезы о равенстве дисперсий двух нормально распределенных совокупностей.

     Проверим  гипотезу на основе F-критерия Фишера-Снедекора:

 

F_р<F_кр , следовательно, гипотеза о равенстве дисперсий двух совокупностей не отвергается на уровне значимости α = 0,05, дисперсии различаются между собойнесущественно, говорить о наличии тенденции дисперсий в исследуемом ряду нельзя.

     Аналогичным образом производятся расчеты для  показателей:

     «Лесовосстановление» (см. приложение 2.1): t_р = 4,10 >t_кр = 2,16

     F_р= 28,43>F_кр = 3,87

     «Защита лесов» (см. приложение 2.2): t_р = 2,68>t_кр = 2,16

     F_р = 3,15<F_кр = 3,87

     Для подведения итогов представим результаты кумулятивного t-критерия и метода сравнения средних уровней в сводной таблице 4:

Таблица 4

Выявление наличия тенденции

 

     Анализируя  полученные результаты, с вероятностью 95% можно сделать вывод о том, что в рядах динамики всех показателейимеется тенденция средней и дисперсий, следовательно, можно продолжить изучение данных показателей и приступить к определению типов развития явлений и выбору уравнений трендов.

2.1.2 Выбор формы тренда

     Наиболее  эффективным способом определения  основной тенденции в развитии явления  служит аналитическое выравнивание, которое позволяет получить аналитическую  модель тренда, то есть представить  уровни ряда в виде функции от времени:

 

     Для отображения основной тенденции  развития явлений во времени или  модели этого процесса применяются  полиномы разной степени, экспоненты, логистические кривые и другие функции.

     Полиномы  имеют следующий вид:

• полином первой степени:
• полином второй степени:
• полином n-й степени k:

     Наиболее  простым путем решения проблемы выбора формы трендовой модели можно  назвать графический, на базе общей конфигурации графика фактических уровней ряда. Однако при этом подходе риск ошибочного выбора кривой очень велик. Наряду с теоретическим анализом закономерностей развития изучаемого явления используются эмпирические методы, такие как:

• расчет и анализ средней квадратической ошибки;
• критерий наименьшей суммы квадратов отклонений эмпирических значений уровней временного ряда от теоретических, полученных по уравнению;
• метод разностного исчисления;
• метод дисперсионного анализа.

     Выявим  тип развития показателя «Лесовосстановление» и определим форму тренда, описывающего развитие.

     Осуществим  аналитическое выравнивание уровней  данного ряда по полиному первой, второй и четвертой степени, рассчитав  предварительно параметры уравнений  трендов.

     Получим соответственно:

Уравнение тренда по полиному 1-ой степени (k = 2):  
y = -30,722x + 1200,1 
Уравнение тренда по полиному 2-ой степени(k = 3): 
y = 4,6244x²– 104,71x + 1409,8

Уравнение тренда по полиному 4-ой степени(k = 5): 
y = 0,0929x⁴ - 3,4471x³ + 47,287x² - 299,89x + 1649,3

     Теперь  необходимо осуществить выбор в  пользу одной из трех построенных  моделей развития изучаемого явления.

     Таблица 5

     Результаты  расчета критериев выбора формы уравнения тренда.

 

     Средняя квадратическая ошибка определяется по формуле:

 

     Чем меньше значение средней квадратической ошибки, тем лучше функция описывает тенденцию исходного временного ряда.

     Средняя ошибка аппроксимации определяется по формуле:

 

     Чем меньше значение средняя квадратическая ошибка аппроксимации, тем лучше функция описывает тенденцию исходного временного ряда.

     Также рассчитывается , и чем выше это значение, тем лучше функция описывает тенденцию.

     Анализируя  полученные результаты, можно сделать  вывод о том, что единственной подходящей формой уравнения тренда, описывающего тенденцию показателей лесовосстановления, будет являться полином 4-ой степени. О предпочтительности этой формы уравнения тренда говорят значения всех трех критериев.

     Представим  графически выбранную форму уравнения  тренда:

Рисунок 1. Динамика показателя лесовосстановления и линия тренда

     Аналогичным образом проведем расчеты критериев выбора формы уравнения тренда для оставшихся двух показателей и приведем кратко полученные результаты.

     Для показателя развития числа улавливаемых веществ, загрязняющих атмосферный воздух,наиболее предпочтительной формой уравнения тренда, описывающего развитие данного показателя во времени, является полином  
4-й степени, о чем можно судить по полученным значениям критериев:

     Таблица 6

     Результаты  расчета критериев выбора формы уравнения тренда.

 

     Значения  средней квадратической ошибки для параболы и полинома  
4-й степени отличаются друг от друга очень несущественно, следовательно, мы можем без риска выбрать полином 4-й степени.

     Выбранное уравнение тренда выглядит следующим  образом:

y = -0,0028x⁴ + 0,072x³ - 0,4417x²- 1,0273x + 70,081

     Представим  графически выбранную форму уравнения  тренда:

Рисунок 2. Динамика числа улавливаемых и обезвреженных веществ, отходящих от стационарных источников загрязнения атмосферного воздуха, и линия тренда 

     Для показателя защиты лесов наиболее предпочтительной формой уравнения тренда описывающего развитие данного показателя во времени также является полином 4-й степени, о чем можно судить по полученным значениям критериев:

 
 

     Таблица 7

     Результаты  расчета критериев выбора формы уравнения тренда.

 

     Выбранное уравнение тренда выглядит следующим  образом:

     y = -0,4247x⁴ + 13,234x³ - 135,03x² + 459,36x + 409,12

     Представим  графически выбранную форму уравнения  тренда.

Рисунок 3. Динамика показателя защиты лесов и линия тренда

 

     Анализируя  все полученные изображения линий  трендов для исследуемых рядов  динамики, можно сделать вывод  об убывающем характере присутствующей тенденции во всех показателях экологической  обстановки в России.

 

2.1.3 Оценка адекватности  выбранных моделей

     При правильном выборе формы тренда отклонения от него будут носить случайный характер, что означает, что изменение случайной  величины εt не связано с изменением t.

     Для этого определяются отклонения эмпирических значений от теоретических: εt = yt – f(t) для каждого уровня исходного временного ряда. Проверяется гипотеза H₀: о том, что значения случайной величины εt случайны и величина εt не зависит от времени.

     Методы  проверки данной гипотезы: