Эконометриканың басқа экономика-математикалық пәндер арасындағы алатын орны

ryx1x2 = ryx1+ ryx2rx1x2/√(1-r2yx2)(1-r2x1x2)   ryx1x2 = ryx2+ ryx1rx1x2/√(1-r2yx1)(1-r2x1x2)

rx1x2= cov(x1x2)/√Var(x1)Var(x2)

Сызықты емес моделдер. Айнымалылардың өзгеруі.

Көптеген тәжірибелік жағдайларда экономикалық байланыстарды сызықты теңдеулермен модельдеу қанағаттандырарлық қорытындыларды береді және талдау мен болжам үшін толық пайдалануға мүмкіндік береді. Бірақ экономикалық үрдістердің көп қырлы және күрделі болуы тек қана сызықты регрессиямен қарастырудың мүмкіндігі болмайтындығынан шығады. Көптеген экономикалық байланыстар шын мәнінде сызықты бола бермейді, сондықтан оларды регрессияның сызықты теңдеулерімен модельдеу сөзсіз оң қорытынды бермейді. Мысалы, сұраныс У-тің құны Х-ке тең тауарға байланыстың кейбір жағдайларда сызықты Y=βo+β1x1 теңдеумен шектеуге тура келеді. Мұнда β1 У-тің абсолют мәнінің (орташа) Х-тің бірлік мәнге өзгеруін сипаттайды. Егер сұраныстың бағаға икемділігін талдағымыз келсе, онда келтірілген теңдеу оны іс жүзінде қарастыруға мүмкіндік бермейді. Бүл жағдайда логарифмдік деп аталатын модельді қарастыруға тура келеді. Өндірістік функцияларды қарастыру барысында сызықты модель жарамсыз болады. Бұл жағдайда дәрежелік модельдер пайдаланылады. Мысалы, кеңінен белгілі өндіріс функциясы -Кобба-Дуглас функциясы: Ү = АKαLβ мұнда Ү- өнім көлемі; К мен L - тиісінше капитал мен еңбек көлемі; А,α,β - модель параметрлері. Қазіргі эконометриялық талдауда жеткілікті дәрежеде көптеген модельдер кеңінен қолданылады, дербес жағдайларда кері және көрсеткіштік модельдер. Сызықтық емес модельді құру мен талдаудың өз ерекшеліктері бар. Жоғарыда келтірілген ұйғарымдар мен мысалдар мүмкін болатын балансты сызықты емес модельдерді тереңірек қарастыруға мүмкіндік береді. Біз сызықты модельге келтірілетін сызықты емес модельдерді қарастырамыз. Бұл - модель параметрлеріне қарағанда сызықты модельдер. Баяндау және графиктік тәсіл түсінікті болуы үшін, жұптық регрессия моделін қарастыра отырып, оны әрі қарай көптік регрессия моделімен жалғастырамыз. Логаримфдік (лог-сызықтық) модель.

Кейбір экономикалық байланыс: У = АХβ формуласы бойынша модельденсін. Мұнда А және β - модель параметрлері (яғни анықтауға тиісті параметрлер). Бұл функция кейбір бағасы X  болатын тауарға сұраныс У-ке байланысын анықтайды. InY= β0+βInX+ Y= β0+βInX+ Жартылай логарифмдік модель деп аталады. Мұндай модельдер, әдетте, өсу қарқынын немесе кейбір экономикалық көрсеткіштердің өсім мөлшерін анықтауға қажетті. Лог-сызықтық модель. Банк пен қаржы саласында жақсы таныс Yt=Yo(1+r)t  байланысты қарастырайық. Мұнда Ү0 - айнымалы Y-тің алғашқы шамасы (мысалы, банктегі алғашқы салым), r - Ү шамасының күрделі өсім қарқыны; Yt -Ү шамасының уақыттың t мерзіміндегі мәні (t мезгіліндегі банктегі салым).

Сызықты-логарифмдік деп аталатын модельді қарастырайық: Y= β0+βInX+ Ал X*=InX алмастыруына сәйкес сызықты модельге келтіріледі. Бұл модельде β коэффициенті х-тің бірлік өсіміне байланысты Ү  айнымалысының өзгеруін дәл анықтайды. түріндегі модельді кері модель деп атайды. Бұл модель, әдетте, түсіндірілетін айнымалы X шексіз өскенде тәуелді айнымалыға асимптотикалық түрде шексіз жақындағанда қолданылады (қарастырылып отырған жағдайда β0-ге). β0 және β1 таңбаларына сәйкес әртүрлі жағдайлар орынды. Дәрежелік функция Y= β0+β1X1+ β2X2+βmXm+ экономикалық байланыстарды жиі бейнелейді. Мысалы, кубтық функция Y= β0+β1X1+ β2X2+β3X3+. Микроэкономикада жалпы шығынның (ТС) өнім көлемі (Q) арасындағы байланысты модельдейді.  Көрсеткіштік функция   Y=boeβx  эконометриялық талдау барысында кеңінен жеткілікті дәрежеде қолданылады. Оның ең көп қолданыс табу жағдайы - уақыт бойынша тұрақты өсім қарқыны мен айнымалы У арасындағы өзгерісті талдау барысында қолданылуы.

Логарифмдік және жартылай логарифмдік регрессия моделдері.

Логаримфдік (лог-сызықтық) модель. Кейбір экономикалық байланыс: У = АХβ формуласы бойынша модельденсін.Мұнда А және β - модель параметрлері (яғни анықтауға тиісті параметрлер). Бұл функция кейбір бағасы X  болатын тауарға сұраныс У-ке байланысын анықтайды. (бұл жағдайда β<0) немесе X  табыс мөлшерін анықтағанда (бұл жағдайда β>0, бұл жағдайда X  пен Ү байланысын анықтайтын функциясын Энгель функциясы деп атайды). Сол сияқты функциясы өнім көлемі У пен пайдаланылатын ресурс X (өндіріс функциясы) байланысты анықтайды, бұл жағдайда 0<β<1.Сол сияқты басқа да бірқатар байланыстарды анықтайды. Есептеу ыңғайлы болу үшін, кездейсоқ ауытқуларды қатынасқа кейін енгіземіз. Сызықты модель емес X  бойынша (тәуелді айнымалының У-тің X  бойынша туындыны, У-тің Х-ке байланысты өзгерісін көрсететін, -ге тәуелді болады, яғни тұрақты емес, dХ-ке тән қасиет сызықты емес модель үшін). Мұндай функция эконометрикада талдаудағы стандартты және кеңінен тараған әдіс экспонент (негізі е=2,71828) бойынша логарифмдеу. Мұндай логарифмді натурал логарифм деп атайды және InX, InY арқылы белгілейді. InY= β0+βInX+ Y= β0+βInX+ Жартылай логарифмдік модель деп аталады. Мұндай модельдер, әдетте, өсу қарқынын немесе кейбір экономикалық көрсеткіштердің өсім мөлшерін анықтауға қажетті. Мысалы, банк салымын алғашқы капитал мен салым пайызы бойынша талдау жасауда, өнім көлемінің өсімін ресурс шығындарының артуына байланысты болатындығын зерттеуде, инфляцияның өсу қарқыны ақша массасының көлеміне байланысын зерттеуде қолданылады.

Дәрежелік және басқа регрессия моделдері.

Дәрежелік функция. Y= β0+β1X1+ β2X2+βmXm+ экономикалық байланыстарды жиі бейнелейді. Мысалы, кубтық функция Y= β0+β1X1+ β2X2+β3X3+. Микроэкономикада жалпы шығынның (ТС) өнім көлемі (Q) арасындағы байланысты модельдейді. Сол сияқты квадраттық функция. Y= β0+β1X1+ β2X2+ өнім көлемі (Q) мен орта (АС) немесе (МС) шығын арасындағы байланысты анықтайды немесе жарнама (С) мен табыс (π) арасындағы байланысты анықтайды.

Олай болса, оны сызықты регрессия моделіне келтіруге болады. Х-ті Х-мен, Х2-ні Х2-мен,Хm-ді Хm-мен алмастыра отырып, моделінің орнына m айнымалылар Х1Х2,...Хm бойынша көптік регрессияны аламыз: Y= β0+β1X1+ β2X2+βmXm+. Көрсеткіштік функция   Y=boeβx эконометриялық талдау барысында кеңінен жеткілікті дәрежеде қолданылады. Оның ең көп қолданыс табу жағдайы - уақыт бойынша тұрақты өсім қарқыны мен айнымалы У арасындағы өзгерісті талдау барысында қолданылуы. Бұл жағдайда X  бейне ретінде айнымалы t-мен алмастырылады. түріндегі модельді кері модель деп атайды. X*= алмастыруын жасау арқылы оны сызықты түрге келтіруге болады. Бұл модель, әдетте, түсіндірілетін айнымалы X шексіз өскенде тәуелді айнымалыға асимптотикалық түрде шексіз жақындағанда қолданылады (қарастырылып отырған жағдайда β0-ге). β0 және β1 таңбаларына сәйкес әртүрлі жағдайлар орынды.

а-суретінде өнім көлемі Х1 мен бекітілген орта шығындар (Ү) арасындағы байланысты көрсетеді. б-суретінде табыс X пен Ү тұтынуына сұраныс (ең керекті тауарлар немесе салыстырмалы қымбат тауарларға сұраныс). Бұл Торнквист  функциясы  деп  аталады   (бұл  жағдайда X= табыстың қажетті мөлшерінің минимумы). в-суретінде келтірілген қисық Филип қисығы деп аталады. Жұмыссыздықтың X пайыздық шамасы мен еңбекақы (Ү)-тің пайыздык өзгерісі арасындағы байланыс деңгейін анықтайды. Қисықтың X осімен қиылысу нүктесі жұмыссыздықтың табиғи деңгейін анықтайды. Лог-сызықтық модель. Банк пен қаржы саласында жақсы таныс Yt=Yo(1+r)t  байланысты қарастырайық. Мұнда Ү0 - айнымалы Y-тің алғашқы шамасы (мысалы, банктегі алғашқы салым), r - Ү шамасының күрделі өсім қарқыны; Yt -Ү шамасының уақыттың t мерзіміндегі мәні (t мезгіліндегі банктегі салым). Сызықты-логарифмдік деп аталатын модельді қарастырайық: Y= β0+βInX+ Ал X*=InX алмастыруына сәйкес сызықты модельге келтіріледі. Бұл модельде β коэффициенті х-тің бірлік өсіміне байланысты Ү  айнымалысының өзгеруін дәл анықтайды.

Эконометрикалық моделдерді таңдау формалары.

Экономикалық құбылыстардың көпбейнелігі мен күрделілігі экономикалық талдауда көпбейнелік модельдерді анықтайды. Бүл басқа бір тұрғыдан алғанда байланыстың үйлесімді формуласын анықтауда күрделі қиындықтарға әкеледі. Жұптық регрессияда модельді таңдау бақылау нүктелерінің корреляциялық өрісте орналасуына сәйкес анықталады. Әдетте, ондай нүктелер бірнеше функцияларға жақындайды. Солардың ішінен ең жақсысын таңдап алу қажет. Мысалы қисық сызықты байланыстар көпмүшелікті (полиномдық), көрсеткіштік, дәрежелік, логарифмдік функциялармен өрнектеледі. Көптік регрессияда бір мәнді емес жағдайлардың орын алуы-берілген статистикалық мәліметтердің көрнекті түрде көрсетілмеуіне экономикалық модельдердің дұрыс таңдап алуында талдаудың сапалы болуының негізгі шарты. Іс жүзінде қандай модельдің дұрыс екендігінің белгісіз болатындығы сөзсіз, таңдап алынған модель нақты берілгендерге тым жақын келеді. Бұл жағдайда ізгі (идеальный) модель жоқ екендігін ескерген жон. Сондықтан сапалы модель болуы үшін, талдау барысында пайда болатын бірнеше сұрақтарға жауап беруге тура келеді: 1. «Жақсы» (сапалы) модель белгілері қандай? 2. Қателіктердің қандай түрлері кездеседі және олардың салдары қандай болады? 3. Қателіктің түрін қалай анықтауға болады? 4. Қателік түрлерін қалай түзетуге болады жэне жақсы (сапалы) модельге көшу жолдары қандай? Осы сұрақтың алғашқысына жауап іздеп көрейік. «Жақсы» модель белгілері. Кейбір жағдайларда қандай модельдің артық екендігі жеткілікті түрде белгілі болады. Басқа жағдайларда нақты дәлелденген шешім қабылдау үшін, біраз салыстырмалы талдау жасауға тура келеді. Әдетте, «жақсы» жұмыс істеуге қабілетті модель құру үшін және басқа мүмкін болатын модельдермен салыстыру барысында келесі қасиеттерді (критерийлерді) ескеру қажет. Қаталдық (қарапайымдылық). Модель максималды түрде қарапайым болуы керек. Бұл қасиет модельдің ізгі болу фактісімен анықталмай оның ықшамдалған түрін көрсетеді. Сондықтан екі модельден (бірдей шындық бейнелейтіндерден) түсіндіретін айнымалылары аз болатыны қабылданады. Жалғыздық. Берілген статистикалық мәліметтер бойынша анықталатын коэффициенттер бір мәнді түрде есептелінеді. Максималды сәйкестік. Тәуелді айнымалы шашыраңқы бөлігінің көбі теңдеу арқылы түсіндірілсе, онда ол теңдеу жақсы. Сондықтан түзетілген детерминация коэффициентіне максималды түрде анықталатын теңдеу құруға тура келеді. Теориямен сәйкестік. Белгілі теориялық алғышарттарға сәйкес келмейтін ешқандай теңдеуді сапалы деп ұйғару мүмкін емес. Мысалы, сұраныс функциядағы бағаға сәйкес коэффициент оң болса, онда детерминация коэффициентінің R2 едәуір шамасы (мысалы, 0,7) теңдеуді қанағаттандырарлық деп айтуға кепіл бола алмайды. Басқа сөзбен айтқанда, модель міндетті түрде теориялық негізге сүйенуге міндетті, кері жағдайда регрессиялық теңдеуді пайдалану тым қолайсыз жағдайларға әкеледі. Болжамдық қасиеті. Модель сапалы деп есептелінеді, егер оның негізінде алынған болжамдар нақты тәжірибеде дәлелденсе. Болжамдық қажеттің бағаланған регрессия моделінің критерийі ретінде келесі қатынас қабылданады: мұнда регрессияның стандартты қателігі. Ү- регрессия теңдеуінің тәуелді айнымалыларының орта мәні. Егер V шамасы аз болса (ол салыстырмалы қателікті пайыз бойынша анықтайды және қалдықтың автокорреляциясы жоқ болса (Дарбин-Уотсон статистикасының шамасы бойынша анықталады), онда модельдің болжамдық қасиеті жоғары.

Мультиколлинеарлық құбылыс.

t-статистика бойынша регрессия теңдеуі коэффициент бағалары дербес жағдайда b1 ирек b2  ирек  коэфф. ішінде мәнді болу мүмкін, жеке b1,b2 коэффициенттер үшін бағалар мәнділігі мүмкін емес. Мультиколлинеарді анықтау үшін мультиколлинеар матрицасы құрылылады.

 rx₁x₂= Cov(x₁,x₂)/√Var(x₁)Var(x₂)

Мультиколлинеарлықты анықтау әдістері: • түсіндіруші x1x2…xn айнымалылар жұбының коллинеарлық матрицасын анықтау, талдау. Егер айнымалылар жұбының корреляция коэффициенті 0,75 үлкен болса, яғни қатаң тығыз байланыс болса мультиколлинеарлық бар. • корреляция коэффициентінің орнына R коэффициентін қолдануға болады, егер 0,6 үлкен болса, мультиколлинеарлық орын алады. Құтылу үшін әдістер: • регрессия теңдеу бағаларының сенімділігін қамтамасыз ететін Гаус-Марков 4 шартының орындалу дәрежесін жоғарлатуға тырысу. • сыртқы ақпаратты қолдану. Әрекеттер: • Жылдық мәлеметтер тоқсандық, айлыққа ауыстыру. Мысалы, 25жыл=100тоқсан=300ай. Қиылысқан мәлеметтер ішінде байқау көлемін өзгертуді жоғарлату. • теориялық шектеу- коэффициентер олардың өзара тәуелділігіне қатысты шектеу. • сыртқы эмпирикалық- мультиколлинеарлықтан құтылудың ең қарапайым әдісі, айнымалылар жұбының корреляциялық коэффициенті 0,75 үлкен болса, оның біреуін қарастырудан алып тастаймыз. Оны экономикалық жағына негізделе отырып жүзеге асырамыз. Экономиканың көзқарастарына 2 айнымалылар салмағы бірдей болса, тәуелді айнымалылармен корреляция коэфициенттері жоғары болатын айнымалыларды қалдырлады.

Жорамал айнымалылар.

Жорамал (фиктивный) айнымалылар- кейбір регрессия теңдеуіне енгізілуіне келетін факторлар өзінің табылған жағынан сапалық болып табылып, заңдық шкаламен есептелмейді. Мысалы: • алынған білім ұзақтығымен табыс арасындағы тәуелділікті зерттеу ер адам мен әйел адамдар осы тәуелділікке қалай әсер ететінін анықтау. • Испанияда табыс пен тұтыну арасындағы тәуелділікті зерттеу таңдамадаға Фрраменді жанұялар. • Мемлекет тарапынан, табысты реттеу саясатынан инфляцияны анықтау кезінде әсер етуі. Теңдеудің енгізілген әрекеттер 2 маңызды артықшылығы бар: • сапалық фактор әсері, мәнді екенін тексеру. • белгілі 1 жорамал жағдайының регрессия бағалар тиімдірек. Кейбір жағдайларда регрессия 1 көп жорамал айнымалылардан тұратын жиынтықты енгізу қажет болады.

Регрессия коэффициенттерінің бағалары үшін мультиколлинеарлықтың салдары. Оны жою жолдары.

t-статистика бойынша регрессия теңдеуі коэффициент бағалары дербес жағдайда b1 ирек b2  ирек  коэфф. ішінде мәнді болу мүмкін, жеке b1,b2 коэффициенттер үшін бағалар мәнділігі мүмкін емес. Мультиколлинеарді анықтау үшін мультиколлинеар матрицасы құрылылады.

 rx₁x₂= Cov(x₁,x₂)/√Var(x₁)Var(x₂)

Мультиколлинеарлықты анықтау әдістері: • түсіндіруші x1x2…xn айнымалылар жұбының коллинеарлық матрицасын анықтау, талдау. Егер айнымалылар жұбының корреляция коэффициенті 0,75 үлкен болса, яғни қатаң тығыз байланыс болса мультиколлинеарлық бар. • корреляция коэффициентінің орнына R коэффициентін қолдануға болады, егер 0,6 үлкен болса, мультиколлинеарлық орын алады. Құтылу үшін әдістер: • регрессия теңдеу бағаларының сенімділігін қамтамасыз ететін Гаус-Марков 4 шартының орындалу дәрежесін жоғарлатуға тырысу. • сыртқы ақпаратты қолдану. Әрекеттер: • Жылдық мәлеметтер тоқсандық, айлыққа ауыстыру. Мысалы, 25жыл=100тоқсан=300ай. Қиылысқан мәлеметтер ішінде байқау көлемін өзгертуді жоғарлату. • теориялық шектеу- коэффициентер олардың өзара тәуелділігіне қатысты шектеу. • сыртқы эмпирикалық- мультиколлинеарлықтан құтылудың ең қарапайым әдісі, айнымалылар жұбының корреляциялық коэффициенті 0,75 үлкен болса, оның біреуін қарастырудан алып тастаймыз. Оны экономикалық жағына негізделе отырып жүзеге асырамыз. Экономиканың көзқарастарына 2 айнымалылар салмағы бірдей болса, тәуелді айнымалылармен корреляция коэфициенттері жоғары болатын айнымалыларды қалдырлады.

Гетероскедастикалық құбылыстың пайда болу себептері  мен салдарлары  

У=α+βx+ε теңдеу үшін Гаус-Марковтың 4 шарты орындалуы керек: 1) кез-келген байқау үшін кездейсоқ мүшенің математикалық күтімі 0-ге тең болуы керек. Е(εi)=0 ∀ 2) барлық байқау үшін кездейсоқ мүшенің дисперсиясы тұрақты болуы тиіс. pop.var(εi)= ∀ 3)  әр түрлі байқаудағы кездейсоқ мүшелер өзара тәуелсіз болады. pop.сov(εi;εj)=0  ∀   i≠j  4) әр байқаудағы кездейсоқ мүше түсіндіруші айнымалыдан тәуелсіз таралады.