Эконометриканың басқа экономика-математикалық пәндер арасындағы алатын орны

5) і  қателіктері қалыпты үлестірімге ие болады, яғни і  ϵ N(0;2). Егер алдындағы шарттары орындалса, онда ең кіші квадраттар әдісі бойынша табылған бағалар мынадай қасиеттерге ие болатыны теориядан белгілі:

а) Бағалар ауытқымаған, яғни  Ма =α,Мb =β.

Бұл қасиет Мі  = 0 шартынан шығады, яғни бағалау барысында жүйелік қателіктер болмайды.

б) Бағалар тиянақты, яғни бақылау саны өскен сайын бағалар дисперсиясы 0-ге ұмтылады:

                                    

Басқаша айтқанда, n өскен сайын бағалар шындылығы өседі.

в) Бағалар тиімді, яғни бұл параметрлердің кез келген у бойынша сызықты бағаларының ішінде ең кіші дисперсияға ие болады.

 

Жұптық регрессия теңдеуінің коэффициенттерінің статистикалық мәнділігі.

Тексеру үшін Стьюденттің t- статистикасы қолданылады. ta= a/Стьюд.қате (а); tb= b/Стьюд.қате (b); trx,y= rx,y/Стьюд.қате (rx,y). C.қ.(a)=√S²қ/n (1+xˉ²/Var(x)); C.қ.(b)=√S²қ/nVar(x); C.қ.(rx,y)=√1- rx,y2/n-2. t критикалық мәні еркінді дәрежесі саны мен мәнділік деңгейіне байланысты. Мәнділік деңгейі әдетте 1%-5% деп алынады. Еркіндік дәрежесінің саны n-k-1. n-байқау саны, k-тәуелсіз айнымалылар саны. Жұптық регрессияда k=1 болғандықтан, еркіндік дәрежесінің саны n-2. |t стат.|≤ tкр. болса, онда Но: қабылданады, коэффициенттер статистикалық мәнсіз. Ал керісінше, |t стат.|≥ tкр. болса, онда Но: қабылданбайды, коэффициенттер статистикалық мәнді, алынған мәндер кездейсоқ емес. Коэффициентер мәнді болса, оған сенімділік интервалы анықталады. Мысалы, [a-Δa, a+Δa] Δa-шекті қатесі. Δa= t кр.• сқ.(а).

 

 

І және ІІ түрдегі  қателер.

Регрессиялық талдау жүргізгенде гипотезаны тексеру  барысында І,ІІ жақты критерийлер қарастырылады. Тексерілетін гипотеза Но: белгіленіп, нөлдік гипотеза деп аталады. Нөлдік гипотезамен қатар, оған қарама-қарсы альтернативті Н1: гипотеза қарастырылады. Но: Екі мүмкін болатын таңдауды білдіреді. Но: қабылдау немесе қабылданбау білдіретін ереже- статистикалық критерий деп аталады. а- мәндік деңгейін беріп в-ның мәнін в1 сол жағы, в2 оң жағы жату ықтималдылығы а болатындай во қатысты симметриялы [в1;в2] интервалын құрайды. а әдетте, 1% немесе 5% алынады. Егер Но: орындалса, в во  манайында жатады, яғни [в1;в2] интервалына тиісті. 2 мүмкін жағдай: 1)қабылданады 2)интервалдвн тыс жатса, Но: қабылданбайды. Гипотезаны тексеру барысында қателер: Ақиқат Но: қабылданбауы 1-реттік қатеге әкеледі. Жалған Но: қабылдасақ 2-реттік қате орын алады.

	Ақиқат	Жалған
Қабылданады	Дұрыс	2-реттік
Қабылданбайды	1-реттік	Дұрыс

 

Екі жақты және бір жақты t-тесттері.

Регрессиялық талдау жүргізгенде гипотезаны тексеру  барысында І,ІІ жақты критерийлер  қарастырылады. Тексерілетін гипотеза Но: белгіленіп, нөлдік гипотеза деп  аталады. Нөлдік гипотезамен қатар, оған қарама-қарсы альтернативті Н1: гипотеза қарастырылады. Но: Екі мүмкін болатын таңдауды білдіреді. Но: қабылдау немесе қабылданбау білдіретін ереже- статистикалық критерий деп аталады. а- мәндік деңгейін беріп в-ның мәнін в1 сол жағы, в2 оң жағы жату ықтималдылығы а болатындай во қатысты симметриялы [в1;в2] интервалын құрайды. Стьюдент үлестірімінің анықтамасынан кез келген z үшін теңдігі келіп шығады. Сондықтан да dα/2=d'αdα шамасын біржақты сенімді шекаралық деп, ал d'α шамасын екіжақты сенімді шекаралық деп атайды. Тексеру үшін Стьюденттің t- статистикасы қолданылады. ta= a/Стьюд.қате (а); tb= b/Стьюд.қате (b); trx,y= rx,y/Стьюд.қате (rx,y). C.қ.(a)=√S²қ/n (1+xˉ²/Var(x)); C.қ.(b)=√S²қ/nVar(x); C.қ.(rx,y)=√1- rx,y2/n-2. t критикалық мәні еркінді дәрежесі саны мен мәнділік деңгейіне байланысты. Мәнділік деңгейі әдетте 1%-5% деп алынады. Еркіндік дәрежесінің саны n-k-1. n-байқау саны, k-тәуелсіз айнымалылар саны. Жұптық регрессияда k=1 болғандықтан, еркіндік дәрежесінің саны n-2. |t стат.|≤ tкр. болса, онда Но: қабылданады, коэффициенттер статистикалық мәнсіз. Ал керісінше, |t стат.|≥ tкр. болса, онда Но: қабылданбайды, коэффициенттер статистикалық мәнді, алынған мәндер кездейсоқ емес. Коэффициентер мәнді болса, оған сенімділік интервалы анықталады. Мысалы, [a-Δa, a+Δa] Δa-шекті қатесі. Δa= t кр.• сқ.(а).

 

Детерминация  коэффициентінің мәнділігін бағалау  үшін Фишер статистикасын қолдану.

Гипотезаны тексеру  үшін Фишердің F-статистикасы қолданылады. Fстат.= R²/k / (1-R²)/(n-k-1) яғни, жұптық регрессия үшін Fстат.=R²/1-R².  Fкрит. мәні тәуелсіз айнымалылар саны  мен еркіндік дәреже санына байланысты. k- тәуелсіз айнымалылар саны, n-k-1- еркіндік дәреже саны. Fстат.<Fкр. болса, Но: қабылданады, R²-мәнсіз. Fстат.>Fкр. болса, Но: қабылданбайды, R²- мәнді, сенімді және сапасы жақсы.

 

Көптік сызықты регрессия теңдеуі.

Кез келген әкономикалық көрсеткішке бір ғана емес, көбінесе бірнеше факторлар әсер етеді. Мысалы, кейбір тауарға сұраныс тауар бағасымен ғана емес, басқа оны алмастыратын және толықтыратын тауарлармен, тұтынушы табысымен және көптеген басқа факторлармен анықталады. Бұл жағдайда екі айнымалының сызықтық регрессиясының заңды жалғасы - көптік регрессия моделі қарастырылады:                             

уі- тәуелді айнымалы (предикатор) - і-ші бақылаудың қорытынды белігісінің мәні; хji  - і-ші бақылауға сәйкес j-ші фактордың мәні (тәуелсіз немесе түсіндіруші айнымалы) ( j = 1,2,...,m);

i- і-ші бақылауға сәйкес қорытынды белгінің кездейсоқ құраушысы; βо- бос мүше, ол  х1 = х2 = ... = хn =0  болғандағы у-тің формальды мәнін көрсетеді. βі, і = 1,2,...,к параметрлері, егер i-ші тәуелсіз айнымалылары 1-ге өскенде, тәуелді айнымалы орташа қанша бірлікке өскендігін көрсетеді. Тәуелсіз айнымалылар кездейсоқ шамалар емес, ал тәуелді айнымалы шама - кездейсоқ, шама себебі оның құрамына кездейсоқ шамалар кіреді. Байланыс моделі ретінде сызықты функцияны таңдап алғаннан кейін, регрессия параметрлерін бағалау қажет. х = (х1, х2,..., хn) түсіндіруші векторының n бақылауы және Ү тәуелді айнымалысы берілсін делік: (хі1,хі2...,хim,уi), і = 1,2,...,n. β0,βІ...,βn параметрлерін есептеу есебін бір мәнді түрде анықтау үшін (яғни кейбір ең жақын β векторын табу) n≥m+1 теңсіздіктің орындалуы міндетті. Егер бұл теңсіздік орындалмаса, параметрлердің мәндеріне көптеген әртүрлі векторлар сәйкес келеді. Бұл жағдайда X пен Ү арасындағы байланыс бар бақылауларға   дәлме-дәл   сәйкес   келеді.   Бұл   жағдайда,   егер n=√m+1 болса, онда β векторының коэффициенттері бір ғана жолмен - m+1 сызықты теңдеулер жүйесі арқылы есептеледі:

 

Кіші квадраттар әдісімен коэффициенттерді бағалау(формуланы қорыту).

    

мұндағы ухі = а + bх, регрессия теңдеуі бойынша есептелген мәндер; хі,уі - бақылау деректері; а,b - белгісіз параметрлер. S(а,b) функциясы үздіксіз, дөңес және төменгі жағынан нөлмен шектелген, яғни минимумы бар функция. Осы әдісті ең кіші квадраттар әдісі (ЕКӘ) деп атайды. Ең кіші квадраттар әдісі бойынша табылған а және b бағалаулары керекті қасиеттерге ие болуы үшін, мынадай шарттар орындалады дейік: 1) і  шамалары - кездейсоқ айнымалылар; 2) і  қателіктерінің математикалық күтімі нөлге тең, яғни М і  = 0; 3) і  қателіктерінің дисперсиясы тұрақты шама, яғни Dі  = Dі  = 2; 4) і  қателіктері өзара тәуелсіз, яғни

                                         

5) і  қателіктері қалыпты үлестірімге ие болады, яғни і  ϵ N(0;2). Егер алдындағы шарттары орындалса, онда ең кіші квадраттар әдісі бойынша табылған бағалар мынадай қасиеттерге ие болатыны теориядан белгілі:

а) Бағалар ауытқымаған, яғни  Ма =α,Мb =β.

Бұл қасиет Мі  = 0 шартынан шығады, яғни бағалау барысында жүйелік қателіктер болмайды.

б) Бағалар тиянақты, яғни бақылау саны өскен сайын бағалар дисперсиясы 0-ге ұмтылады:

                                    

Басқаша айтқанда, n өскен сайын бағалар шындылығы өседі.

в) Бағалар тиімді, яғни бұл параметрлердің кез келген у бойынша сызықты бағаларының ішінде ең кіші дисперсияға ие болады.

 

Көптік регрессия теңдеуінің коэффициенттерінің қасиеттері.

Жұптық регрессия моделіне қарағанда көптік регрессия теңдеуінің коэффициенттерінің қасиеттері күрделілеу: ЕКӘ-нің алғышарттары.

1°. Барлық бақылаулар үшін кездейсоқ ауытқудың математикалық күтімі нөлге тең:              

                                                 

2°. Гомоскедастикалығы (ауытқу дисперсиясының тұрақтылығы). Кездейсоқ ауытқу i- дисперсиясы түрақты. D(i) =D(j) =² кез келген і және j бақылаулары үшін.

3°. Автокорреляцияның жоқтығы. Барлық і≠j үшін кездейсоқ ауытқулар i және j бір-бірімен тәуелсіз:

                                        

4°. Кездейсоқ ауытқу түсіндіретін айнымалылардан тәуелсіз

                                                          

5°. Модель параметрлерге қарағанда сызықты. Көптік сызықты регрессия үшін тағы екі алғышарт маңызды.

6°. Мультиколлинеарлықтың жоқтығы. Түсіндірілетін   айнымалылар   арасында   тығыз   (жоғары) сызықты байланыстың жоқтығы.

7°.i, і = 1,2,...,n. қателіктері қалыпты таратылуға сәйкес келеді ((i -N(0,)).

 

Көптік сызықты регрессия теңдеуінің коэффициенттері үшін интервалдық баға мен статистикалық қасиеттері.

Теориялық теңдеу

арқылы регрессиялық тәжірибелік (эмпириялық) регрессия теңдеуі бағаланады.

Регрессияның эмпириялық теңдеуі мына түрде жазылады:

Мұндағы bo,b1, …bm - регрессия коәффициенттері, βo,β1, …βm-лардың теориялық мәндерінің бағалары (регрессия тәжірибелік коэффициенттері): l- ауытқуының бағалануы. Жекелеген бақылаулар үшін

Бағаланған теңдеу ең алдымен тәуелді айнымалы У-тің жалпы өзгеру бағытын (тренд) сипаттауы қажет. Бұл жағдайда осы бағыттан (тренд) ауытқуды есептеу қажеттілігі мүмкін болады. Көлемі n-ге тең таңдама мәліметтері  (хі1,хі2...,хim,уi), і = 1,2,...,n. бойынша β векторының параметрлері βi-ді бағалау талап етіледі, яғни алынған модельді параметрлендіруді өткізу (мүнда xij,j=1,2,...,m, xj айнымалысының i-інші бақылауға сәйкес мәні). Бұл жағдайда i қателіктеріне байланысты ЕКӘ-нің алғышарттарының  орындалуы   bo,b1, …bm параметрлері  бойынша көптік сызықты регрессияның параметрлерін βo,β1, …βm ЕКӘ бойынша бағалау ауытқымаған, тиімділігі және тиянақтылығы (яғни ВLUЕ - бағалары) болады. Жұптық регрессия моделіне қарағанда көптік регрессия теңдеуінің коэффициенттерінің қасиеттері күрделілеу: ЕКӘ-нің алғышарттары.

1°. Барлық бақылаулар үшін кездейсоқ ауытқудың математикалық күтімі нөлге тең:              

                                                 

2°. Гомоскедастикалығы (ауытқу дисперсиясының тұрақтылығы). Кездейсоқ ауытқу i- дисперсиясы түрақты. D(i) =D(j) =² кез келген і және j бақылаулары үшін.

3°. Автокорреляцияның жоқтығы. Барлық і≠j үшін кездейсоқ ауытқулар i және j бір-бірімен тәуелсіз:

                                        

4°. Кездейсоқ ауытқу түсіндіретін айнымалылардан тәуелсіз

                                                          

5°. Модель параметрлерге қарағанда сызықты. Көптік сызықты регрессия үшін тағы екі алғышарт маңызды.

6°. Мультиколлинеарлықтың жоқтығы. Түсіндірілетін   айнымалылар   арасында   тығыз   (жоғары) сызықты байланыстың жоқтығы.

7°.i, і = 1,2,...,n. қателіктері қалыпты таратылуға сәйкес келеді ((i -N(0,)).

 

Регрессия теңдеуінің коэффициенттерінің мәнділігін t-статистикасының көмегімен тексеру.

Тексеру үшін Стьюденттің t- статистикасы қолданылады. ta= a/Стьюд.қате (а); tb= b/Стьюд.қате (b); trx,y= rx,y/Стьюд.қате (rx,y). C.қ.(a)=√S²қ/n (1+xˉ²/Var(x)); C.қ.(b)=√S²қ/nVar(x); C.қ.(rx,y)=√1- rx,y2/n-2. t критикалық мәні еркінді дәрежесі саны мен мәнділік деңгейіне байланысты. Мәнділік деңгейі әдетте 1%-5% деп алынады. Еркіндік дәрежесінің саны n-k-1. n-байқау саны, k-тәуелсіз айнымалылар саны. Жұптық регрессияда k=1 болғандықтан, еркіндік дәрежесінің саны n-2. |t стат.|≤ tкр. болса, онда Но: қабылданады, коэффициенттер статистикалық мәнсіз. Ал керісінше, |t стат.|≥ tкр. болса, онда Но: қабылданбайды, коэффициенттер статистикалық мәнді, алынған мәндер кездейсоқ емес. Коэффициентер мәнді болса, оған сенімділік интервалы анықталады. Мысалы, [a-Δa, a+Δa] Δa-шекті қатесі. Δa= t кр.• сқ.(а).

 

Фишер статистикасы арқылы көптік сызықты регрессия теңдеуінің сапасын бағалау.

Гипотезаны тексеру  үшін Фишердің F-статистикасы қолданылады. Fстат.= R²/k / (1-R²)/(n-k-1) яғни, жұптық регрессия үшін Fстат.=R²/1-R².  Fкрит. мәні тәуелсіз айнымалылар саны  мен еркіндік дәреже санына байланысты. k- тәуелсіз айнымалылар саны, n-k-1- еркіндік дәреже саны. Fстат.<Fкр. болса, Но: қабылданады, R²-мәнсіз. Fстат.>Fкр. болса, Но: қабылданбайды, R²- мәнді, сенімді және сапасы жақсы.

 

Көптік сызықты регрессия моделіндегі дербес корреляция.

Дербес жағдайда екі түсіндіруші  айнымалыдан тұратын 

теңдеуінің  r12 = rx1x2-х1 және х2 түсіндіруші аинымалыларының арасындағы корреляцияның таңдама коэффициенті. Коэффициенттер арасындағы корреляция келесі формула бойынша есептелінеді: