Эконометриканың басқа экономика-математикалық пәндер арасындағы алатын орны

 

cov>0 болса айнымалылар арасында  оң байланыс болады, cov<0 болса  айнымалылар арасында теріс байланыс  болады. cov=0болса, онда байланыс  жоқ болады.

Таңдамалы ковариация қасиеттері: 1)y=u+v; Cov(x,y)=Cov(x,u)+Cov(x,v); 2)y=a*u; a=const; Cov(x,y)=a*Cov(x,u); 3)y=a; Cov(x,y)=0. Теоретикалық коварация:

Таңдамалы дисперсия: Cov(x,y)=Var(x).

                

Таңдамалы дисперсия қасиеттері: 1)y=u+v; Var(y)=Var(u)+Var(v)+2Cov(u,v); 2)y=a*u; a=const;    Var(y)=a²Var(u); 3) y=a; Var(y)=0 4)y=u+a; Var(y)=Var(u). Таңдамалы корреляция қасиеті екі айналым арасындағы байланыс тығыздығын көрсетеді. rxy  [-1;1]. rxy→1 айнымалылар арасында тығыз оң байланыс бар, rxy→-1 айнымалылар арасында тығыз теріс байланыс бар. rxy →0 айнымалылар арасында байланыс жоқ. Теоретикалық коррелляция:

 Корреляция коэффициенті r-дің мынадай қасиеттері бар: 1) r - өлшем бірлігі жоқ шама, оның мәні мынадай аралықта жатады: -1 ≤ r ≤ 1. 2) Егер айнымалылардың барлық мәндеріне қандай да бір санды қосса (алса) немесе мәндерін қандай да бір санға көбейтсе, онда корреляция коэффициентінің шамасы өзгермейді. 3) Егер r = ±1, болса, онда корреляциялық (стохастикалық) байланыс функционалдық сызықтық байланысқа айналады. 4) Егер r = 0 болса, онда X пен У айнымалылары арасында сызықтық корреляциялық байланыс жоқ, бірақ сызықтық емес байланыстар болуы мүмкін.

 

Қарапайым эконометрикалық модель.

Экономикалық көрсеткіштер арасындағы байланыстарды зерттеуді екі айнымалы (х пен у) жағдайын қарастырудан бастаймыз. Бұл - ең қарапайым жағдай және графиктік түрде қарастыруға мүмкіндік береді. X пен У айнымалыларының арасындағы 2 түрлі байланысты қарастыруға болады: 1) Қандай айнымалы тәуелді, қандай айнымалы тәуелсіз екені белгісіз. Бұл жағдайда айнымалылар тең құқылы және олардың арасындағы байланысты коореляциялық талдау арқылы зерттейді. 2) Айнымалылар тең құқылы емес, яғни олардың бірі -тәуелсіз (анықтағыш), екіншісі - тәуелді (анықталатын) айнымалы болады. Демек, біріншісінің өзгеруі екіншісінің өзгеруінің себебі болады. Мысалы, табыстың өсуі түтынудың өсуіне алып келеді, валюта курсының өсуі таза экспорттың кемуіне алып келеді, проценттік норманың кемуі инвестицияның өсуіне, валюта курсының өсуі таза экспорттың кемуіне алып келеді. Бұл жағдайда Ү = f(X) регрессия теңдеуі бағалануы керек. Анықтама. Экономикалық айнымалылар арасындағы статистикалық байланыстың формуласын регрессия теңдеуі дейді. Егер бұл формула сызықтық болса, онда сызықтық регрессия дейді. Анықтама. Екі айнымалы арасындағы статистикалық байланыс формуласы жұптық регрессия, көп айнымалылар арасындағы формула көптік регрессия болады. Мысал. Кейнс жеке тұтыну С пен табыс У арасындағы сызықтық байланысты ұсынды: С = С0+bУ, мүндағы С0 - автономдық тұтыну көлемі, b(0 < b < 1) - шектік тұтыну көлемі коэффициенті. Анықтама. Айнымалылар арасындағы байланыс формуласын - таңдаулы регрессия теңдеуін спецификациялау деп атайды.

 

Кездейсоқ шама бағасының ығыспағандығы, тиімділігі және тиянақтылығы.

Ығыстырылмаған баға. ύ параметрінің  х, ,х2 ,...,хп таңдамасы бойынша ύ* бағалансын. М(ύ*) = ύ теңдігі орындалғанда, ыгыстырылмаган бага дейді. Сонымен баға ығыстырылмаған болуы үшін, бағаның математикалық үміті бағаланатын шаманың өзіне тең болуы керек. Математикалық үміті а-ға, дисперсиясы 2 -қа тең ξ кездейсоқ шамасы үшін оның параметрлеріне статистикалық баға есебінде эмпирикалық х ортасы мен Sx2 дисперсиясын қабылдаймыз.

Орнықты баға. ύ параметрінің х ,х2 ,...,хп таңдамасы бойынша алынған статистикалық баға ύ* болсын. Егер  кез келген оң сан болғанда шарты орындалатын болса, онда ύ параметрінің статистикалық ύ* бағасы орнықты деп аталады. х,х2,...,хп таңдамасының мүшелері өзара тәуелсіз және бірдей үлестірімді болғандықтан, үлкен сандар заңын қолдануға болады. Демек,

яғни сондықтан шарт орындалған, олай болса эмпирикалық х ортасы математикалық а үміті үшін орнықты баға болады. Тиімді баға. Баға тиімділігі сенімділік интервалымен анықталады. Анықтама: ℓβ = (ύ*-, ύ*+) аралығын сенімділік аралығы деп, β ықтималдығын сенімділік ыңтималдыгы деп атайды.

Дербес жағдайда сенімділік интервалы төмендегіше анықталады:

теңдеуінен табу керек.

 

Регрессия функциясы және жұптық байланысты статистикалық талдау.

Экономикалық көрсеткіштердің арасындағы өзара байланыстарды анықтау - эконометриядағы негізгі проблемалардың бірі. Кез келген экономикалық политиканың негізі - ол экономикалық айнымалыларды реттеу, демек, бұл айнымалылардың басқа айнымалыларға қалай әсер етуін білудің маңызы өте зор. Мысалы, нарықтық экономикада инфляция қарқынын тікелей өзгертуге болмайды, бірақ оған салық-бюджеттік және қаржы-кредиттік саясат арқылы әсер етуге болады. Сондықтан дербес жағдайда ақшаны ұсыну көлемі мен баға деңгейінің арасындағы байланыс зерттелуге тиіс. Экономикалық модельдерді кұру, тексеру және жақсарту нақты статистикалық деректерді пайдаланып, статистикалық талдау жасаусыз мүмкін емес. Экономикалық көрсеткіштер арасындағы байланыстарды зерттеуді екі айнымалы (х пен у) жағдайын қарастырудан бастаймыз. Бұл - ең қарапайым жағдай және графиктік түрде қарастыруға мүмкіндік береді. X пен У айнымалыларының арасындағы 2 түрлі байланысты қарастыруға болады: 1) Қандай айнымалы тәуелді, қандай айнымалы тәуелсіз екені белгісіз. Бұл жағдайда айнымалылар тең құқылы және олардың арасындағы байланысты коореляциялық талдау арқылы зерттейді. 2) Айнымалылар тең құқылы емес, яғни олардың бірі -тәуелсіз (анықтағыш), екіншісі - тәуелді (анықталатын) айнымалы болады. Демек, біріншісінің өзгеруі екіншісінің өзгеруінің себебі болады. Мысалы, табыстың өсуі түтынудың өсуіне алып келеді, валюта курсының өсуі таза экспорттың кемуіне алып келеді, проценттік норманың кемуі инвестицияның өсуіне, валюта курсының өсуі таза экспорттың кемуіне алып келеді. Бұл жағдайда Ү = f(X) регрессия теңдеуі бағалануы керек. Анықтама. Экономикалық айнымалылар арасындағы статистикалық байланыстың формуласын регрессия теңдеуі дейді. Егер бұл формула сызықтық болса, онда сызықтық регрессия дейді. Анықтама. Екі айнымалы арасындағы статистикалық байланыс формуласы жұптық регрессия, көп айнымалылар арасындағы формула көптік регрессия болады. Мысал. Кейнс жеке тұтыну С пен табыс У арасындағы сызықтық байланысты ұсынды: С = С0+bУ, мүндағы С0 - автономдық тұтыну көлемі, b(0 < b < 1) - шектік тұтыну көлемі коэффициенті. Анықтама. Айнымалылар арасындағы байланыс формуласын - таңдаулы регрессия теңдеуін спецификациялау деп атайды. Жұптық сызықтық регрессия параметрлерін анықтаудың формалық жағын қарастырайық. X пен У арасындағы байланыс сызықтық болсын: Ү=α+βХ.

Бұнда байланыс X пен У-тің жалпы жиынтықтарының арасындағы байланыс болады. Бірақ У-ке басқа да ескерілмеген факторлар әсер етеді және өлшеу қателіктері де болуы мүмкін. Демек, xі  және уі тәжірибелік деректер арасындағы байланыс төмендегідей болады: уі = α + βхі +і .

мұндағы і - кездейсоқ қателіктер (ауытқулар).

 

Регрессия теңдеуіне кездейсоқ мүшені енгізу себептері.

X пен У-тің жалпы жиынтықтарының арасындағы байланыс болады. Бірақ У-ке басқа да ескерілмеген факторлар әсер етеді және өлшеу қателіктері де болуы мүмкін. Демек, xі  және уі тәжірибелік деректер арасындағы байланыс төмендегідей болады: уі = α + βхі  +і . Мұндағы і - кездейсоқ  теңдеуге кірмеген айнымалылар мәні, бастапқы берілген мәндер, таңдап алынған модельдердің тура еместігін көрсететін ауытқу (қалдық). Енді біздің алдымызда мынадай есеп тұр: тәжірибелік деректер хі , уі бойынша S шамасына min әперетіндей α және β параметрлерін бағалау керек. Егер і ауытқуларының дәл мәндері белгілі болса, онда сызықтық формула тура болған жағдайда α және β параметрлерінің мәнін есептеуге болатын еді. Бірақ кездейсоқ ауытқулардың іріктемедегі мәндері белгісіз, сондықтан хі  ,уі  бақылау мәндері бойынша тек α және β бағалауын таба аламыз. Бұл бағалаулар кездейсоқ болады, себебі кездейсоқ іріктемеге сәйкес келеді. а және b сәйкес  және β параметрлерінің бағалауы болсын. Онда бағаланған регрессия теңдеуі Уі =α+βxі  +ℓі мұндағы ℓі – сәйкес і  қателіктерінің тәжірибелік мәндері.

Ең кіші квадраттар әдісі бойынша табылған а және b бағалаулары керекті қасиеттерге ие болуы үшін, мынадай шарттар орындалады дейік: 1) і  шамалары - кездейсоқ айнымалылар; 2) і  қателіктерінің математикалық күтімі нөлге тең, яғни М і  = 0; 3) і  қателіктерінің дисперсиясы тұрақты шама, яғни Dі  = Dі  = 2; 4) і  қателіктері өзара тәуелсіз, яғни

                                         

5) і  қателіктері қалыпты үлестірімге ие болады, яғни і  ϵ N(0;2). Егер алдындағы шарттары орындалса, онда ең кіші квадраттар әдісі бойынша табылған бағалар мынадай қасиеттерге ие болатыны теориядан белгілі:

а) Бағалар ауытқымаған, яғни  Ма =α,Мb =β. Бұл қасиет Мі  = 0 шартынан шығады, яғни бағалау барысында жүйелік қателіктер болмайды.

б) Бағалар тиянақты, яғни бақылау саны өскен сайын бағалар дисперсиясы 0-ге ұмтылады:

                        

Басқаша айтқанда, n өскен сайын бағалар шындылығы өседі.

в) Бағалар тиімді, яғни бұл параметрлердің кез келген у бойынша сызықты бағаларының ішінде ең кіші дисперсияға ие болады.

 

Регрессия теңдеуінің коэффициенттерін есептеу үшін кіші квадраттар әдісі.

                                

мұндағы ухі = а + bх, регрессия теңдеуі бойынша есептелген мәндер; хі,уі - бақылау деректері; а,b - белгісіз параметрлер. S(а,b) функциясы үздіксіз, дөңес және төменгі жағынан нөлмен шектелген, яғни минимумы бар функция. Осы әдісті ең кіші квадраттар әдісі (ЕКӘ) деп атайды. Ең кіші квадраттар әдісі бойынша табылған а және b бағалаулары керекті қасиеттерге ие болуы үшін, мынадай шарттар орындалады дейік: 1) і  шамалары - кездейсоқ айнымалылар; 2) і  қателіктерінің математикалық күтімі нөлге тең, яғни М і  = 0; 3) і  қателіктерінің дисперсиясы тұрақты шама, яғни Dі  = Dі  = 2; 4) і  қателіктері өзара тәуелсіз, яғни

                                         

5) і  қателіктері қалыпты үлестірімге ие болады, яғни і  ϵ N(0;2). Егер алдындағы шарттары орындалса, онда ең кіші квадраттар әдісі бойынша табылған бағалар мынадай қасиеттерге ие болатыны теориядан белгілі:

а) Бағалар ауытқымаған, яғни  Ма =α,Мb =β.

Бұл қасиет Мі  = 0 шартынан шығады, яғни бағалау барысында жүйелік қателіктер болмайды.

б) Бағалар тиянақты, яғни бақылау саны өскен сайын бағалар дисперсиясы 0-ге ұмтылады:

                                    

Басқаша айтқанда, n өскен сайын бағалар шындылығы өседі.

в) Бағалар тиімді, яғни бұл параметрлердің кез келген у бойынша сызықты бағаларының ішінде ең кіші дисперсияға ие болады.

 

Жұптық регрессия  теңдеуінің интерпретациясы.

Экономикалық көрсеткіштер арасындағы байланыстарды зерттеуді екі айнымалы (х пен у) жағдайын қарастырудан бастаймыз. Бұл - ең қарапайым жағдай және графиктік түрде қарастыруға мүмкіндік береді. X пен У айнымалыларының арасындағы 2 түрлі байланысты қарастыруға болады: 1) Қандай айнымалы тәуелді, қандай айнымалы тәуелсіз екені белгісіз. Бұл жағдайда айнымалылар тең құқылы және олардың арасындағы байланысты коореляциялық талдау арқылы зерттейді. 2) Айнымалылар тең құқылы емес, яғни олардың бірі -тәуелсіз (анықтағыш), екіншісі - тәуелді (анықталатын) айнымалы болады. Демек, біріншісінің өзгеруі екіншісінің өзгеруінің себебі болады. Мысалы, табыстың өсуі түтынудың өсуіне алып келеді, валюта курсының өсуі таза экспорттың кемуіне алып келеді, проценттік норманың кемуі инвестицияның өсуіне, валюта курсының өсуі таза экспорттың кемуіне алып келеді. Бұл жағдайда Ү = f(X) регрессия теңдеуі бағалануы керек. Экономикалық айнымалылар арасындағы статистикалық байланыстың формуласын регрессия теңдеуі дейді. Егер бұл формула сызықтық болса, онда сызықтық регрессия дейді. Екі айнымалы арасындағы статистикалық байланыс формуласы жұптық регрессия болады. Мысал. Кейнс жеке тұтыну С пен табыс У арасындағы сызықтық байланысты ұсынды: С = С0+bУ, мүндағы С0 - автономдық тұтыну көлемі, b(0 < b < 1) - шектік тұтыну көлемі коэффициенті. Айнымалылар арасындағы байланыс формуласын - таңдаулы регрессия теңдеуін спецификациялау деп атайды. Жұптық сызықтық регрессия параметрлерін анықтаудың формалық жағын қарастырайық. X пен У арасындағы байланыс сызықтық болсын: Ү=α+βХ. Бұнда байланыс X пен У-тің жалпы жиынтықтарының арасындағы байланыс болады. Бірақ У-ке басқа да ескерілмеген факторлар әсер етеді және өлшеу қателіктері де болуы мүмкін. Демек, xі  және уі тәжірибелік деректер арасындағы байланыс төмендегідей болады: уі = α + βхі  +і . мұндағы і - кездейсоқ қателіктер (ауытқулар).

 

Бағаланған теңдеудің сапасы: детерминация коэффициенті. Оның корреляция коэффициентімен байланысы.

Әрбір коэффициенттің маңыздылығын тексергеннен кейін, регрессия теңдеуінің жалпы сапасы тексеріледі. Осы мақсатпен жұптық регрессия жағдайындағыдай детерминация коэффициенті R пайдаланылады, жалпы жағдайда келесі формула бойынша анықталады:

                                          

Детерминация коэффициенті- егер фактор 1%-ға өзгерсе, қорытынды орташа пайызға өзгереді. Жалпы жағдайда 0≤R2≤1. Коэффициент 1-ге жақындаған сайын регрессия теңдеуі У-тің өзгерісін дәлірек анықтайды. Сондықтан регрессияны үлкен R2 бойынша тұрғызу - табиғи ұмтылыс, кейбір жағдайларда ығыспаған баға алу үшін, формуласындағы бөлшектің алымы мен бөліміне еркіндік дәрежесіне тең болатындай түзетулер енгізіледі. Түзетілген (өзгертілген) детерминация коэффициенті енгізіледі: R²adj= R²- k(1-R²)/n-k-1

                                        

R Формулалары: 1) R²= Var(yˆ)/Var(y) Var(yˆ)=1/n ∑( yˆ-уˉ)² 2) R²=1-Var(e)/Var(y) Var(e)=1/n ∑(y-yˆ)² 3)R²= rx,y2 олар бір-біріне пара-пар.

 

Регрессия теңдеуiндегi кездейсоқ мүше үшiн Гаусс-Марков шарттар

Теңдеуінің жақсы сапасы үшін кездейсоқ  мүше Гаусс-Марковтың келесі төрт шартын қанағаттандыру қажет:1) кез-келген байқау үшін кездейсоқ мүшенің математикалық күтімі 0-ге тең болуы керек. Е(εi)=0 ∀ 2) барлық байқау үшін кездейсоқ мүшенің дисперсиясы тұрақты болуы тиіс. pop.var(εi)= ∀ 3)  әр түрлі байқаудағы кездейсоқ мүшелер өзара тәуелсіз болады. pop.сov(εi;εj)=0  ∀   i≠j  4) әр байқаудағы кездейсоқ мүше түсіндіруші айнымалыдан тәуелсіз таралады.

pop.cov(εi;x1i)=0  ∀

pop.cov(εi;x2i)=0  ∀

…  … … … … 

pop.cov(εi;xki)=0  ∀

 

_{Кіші  квадраттар әдісімен табылған регрессия  теңдеуінің коэффициенттернің  ығыспағандығы. Олардың  тиімділігі.}

мұндағы ухі = а + bх, регрессия теңдеуі бойынша есептелген мәндер; хі,уі - бақылау деректері; а,b - белгісіз параметрлер. S(а,b) функциясы үздіксіз, дөңес және төменгі жағынан нөлмен шектелген, яғни минимумы бар функция. Осы әдісті ең кіші квадраттар әдісі (ЕКӘ) деп атайды. Ең кіші квадраттар әдісі бойынша табылған а және b бағалаулары керекті қасиеттерге ие болуы үшін, мынадай шарттар орындалады дейік: 1) і  шамалары - кездейсоқ айнымалылар; 2) і  қателіктерінің математикалық күтімі нөлге тең, яғни М і  = 0; 3) і  қателіктерінің дисперсиясы тұрақты шама, яғни Dі  = Dі  = 2; 4) і  қателіктері өзара тәуелсіз, яғни