Расчёт статически неопределимых систем

М_Cкр= √ Mс +0,75P₁L₁² =  3,78 кНм

 

3. Опасная точка D

           ______________________________       ___________

М_D= √(P₁L₁-P₂L₂-P₂L₃-P₃L₁)²+(P₃L₃+P₁L₂)² = √ 3,81² + 2,71²   = 2,55 кНм

 

             ___________________

М_Dкр= √ M_D +0,75(P₃L₁+ P₂L₂) ² =  3,98 кНм

 

 

Вычисление из условий прочности  поперечных размеров участков пространственной рамы:

δp = 110 Мпа,  δc = 220 Мпа,      β = 0,7

 

 Участок 1 работает на сжатие, 2 -  растяжение, 3 – сжатие.

 

В расчете используем допускаемые напряжения на растяжение или на сжатие.

 

W_km = M_мах/ δ

 

W_1m = 2,62*10³/220*10⁶ = 1,19*10^-6  м³

 

W_2m = 3,64*10³/110*10⁶ = 33,1*10^-6 м³

 

W_3m = 3,98*10³/220*10⁶ = 1,8*10^-6 м³

 

1. Круглое сечение

       3 ________     3_______________

D= √ 32•W/3,14 = √32*1,19*10^-6/3,14 =  4,7 см 

Выбираем стандартный  размер 4,8 см

 

 

2. Кольцевое сечение

 

Отношение диаметров  d/D= 0,7

       3 ____________     3______________________

D= √ 32•W/3,14(1-β⁴) = √32*3,31*10^-6/3,14(1-0,7⁴)  =  7.5 см

Выбираем стандартный размер 7,5 см

d=0,7• 7,5= 5,25 см

Выбираем стандартный размер 5,3 см

 

3. Квадратное сечение

       3____   3__________

D= √ 6W = √6*1,8*10^-6 =  2,2 см 

Выбираем стандартный размер стороны  D = 2,2 см

 

Вычисление нормальных, касательных и эквивалентных  напряжений в опасных точках каждого  сечения рамы:

 

Площади сечений:

S_АВ = πd²/4= 3,14*4,8²/4= 18 см²

S_ВС = πd²/4= 3,14*(7,5² – 5,3²⁾/4= 22 см²

S_CD = a²= 2,2²= 4,84 см²

 

Нормальное напряжение при растяжении, сжаааатии δ = N/A

δ_AB= P₂/ S_АВ = 1,9*10³/18* 10^-4= 1,05*10⁶ па.

δ_BС = P₃/ S_ВС =0,91*10⁶ па

δ_CD = P₁/S_CD = 2,68*10⁶ па

 

Расчет полярных моментов сопротивления (моментов сопротивления  при кручении)

Для круга Wp = 0,2d³=0,2*4,83*10^-6=22,1*10^-6 м³.

Для кольца Wp = 0,2d³(1-0,7²)=64*10^-6 м³.

Для квадрата Wp = 6d³=63*10^-6 м³.

 

Касательные напряжения от  кручения в опасных точках

δ_B= Mk/Wk = 0

δ_С= Mk/Wk = 11,43*10³/64*10^-6= 22*10⁶ па

δ_D = = 34*10⁶ па

Касательные напряжения от  кручения в опасных  от изгиба

δ_B= M/W= 2,62*10³/22*10^-6= 119 мпа

δ_С=3,78*10³/64*10^-6= 59 мпа

δ_D=3,98*10³/63*10^-6= 63 мпа

 

Эквивалентное напряжение

                                _______   ____________

В 1 сечении δэ_B = √ δ²+3τ² = √1,09 + 3*119² = 120 Мпа

                                _______

В 2 сечении δэ_C = √ δ²+3τ² = 71 Мпа

                              _______    _______________

В 3 сечении δэ_D = √ δ²+3τ² =  √(2,68+63)² + 3*34²   = 88 Мпа.

 

Определение перемещения  сечения К рамы по V

 

Зададим единичное перемещение  в точке К по направлению перемещения V

и построим эпюры моментов от единичного перемещения.

 

По методу Мора-Верещагина перемножим эпюры моментов единичного и нагруженного состояния. Получим  перемещения сечения К.

 

Задан модуль Юнга Е=200 Гпа

 

Δ = (1/EJ₂) * (P₁L₂*L₁/2 * L₂*2/3) + (1/EJ₃) * P₁*L₂*L₃*L₂ + P₃*L₂*l₃/2 *L₂)

 

= 0,72*10³/200*10⁹*9,7*10^-6 + 0,13*10³/200*10⁹* 10,9*10-6  =  0,00037 + 0,00059 = 0,00043 м =  0,43 мм

 

Момент инерции квадрата J = a⁴/6 = 0,022⁴/6=2,3*10-6 м⁴

 

Момент инерции кольца J=(πD⁴/64)* (1-β⁴)=(π*0,075⁴/64)* (1-0,7⁴) =4,7*10^-6м⁴

Перемещение сечения  К  Δ = 0,43 мм

Рис. 4.4 Эпюры моментов от единичной силы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Расчёт вала  при статическом нагружении

 

Исходные данные:

 

Рис. 5.1  Вал при статическом нагружении

 

α = 0 град   R = 12 см    P₁= 7,5 кН   P₂= 5,0 кН

 

P₃= 4,5 кН  L₁ = 30 см  L₂ = 68 см  N_T = 3,5  Теория прочности  - 4  Сталь – 50

 

Найдем реакции опор  Ra=L₂•P₁/(L₁+L₂)=4,19 кНм

 

R_b=L₁*P₁/(L₁+L₂)=0,3*7,5/0,68=3,31 кНм

 

Моменты сил  при изгибе M₁= R_a•L₁= 4,19•0,3 = 1,257 кНм

 

M₂ = P₃•R = 4,5•0,12= 0,54 кНм

 

Момент от вращения  T=P₂•R=5,0•0,12= 0,6 кНм 

Из условия равновесия вала ƩМ=0   М₀=Т

 

Моменты М₁ и М₂ лежат в одной плоскости Х

М_х= М₁+М₂ = 1,257 + 0,54 = 1,797 кНм

              ________       __________

М_экв = √ М_х² + Т²  = √1,797²+0,6² = 1,89 кНм

 

Расчетный момент по четвертой  теории прочности для опасной  точки С:

              ___________       ____________

М_экв = √ М_х² + 0,7•Т²  = √1,797²+0,7•0,6² = 1,86 кНм

 

Для стали марки 50 из таблицы 1 приложения 4 находим δ_т= 380 Мпа

   τ_т   =  215  Мпа    

 

δ= δ_т/N= 380/3,5 = 108 Мпа 

                                                              _________

τ= τ_т/N=  215/3,5 = 61 Мпа     δ _экв = √ δ ² +3* τ ²    = 151 Мпа

 

                                                   3______________

Найдем диаметр вала D =√ М_экв /(0,1* δ _экв)   =                                          3_________________

=√ 1,86*10³ /(0,1* 151) = 0,049 м = 4,9 см

 

 

Рис. 5.2 Эпюры изгибающих и крутящих моментов

 

Рис. 5.3 Силовые факторы в опасном сечении С

 

Максимальные нормальные, касательные и эквивалентные напряжения в опасной точке вала.

 

δ_{норм макс} = М/0,1D³= 160 Мпа

 

δ_τ1 = М_к/0,2D³= 0,54*10³/0,2 *(4,9 * 10^-2 )³= 23,6 Мпа - кружение

 

δ_τ2 = М_к/0,2D³ = 0,6*10³/0,2 *(4,9 * 10^-2 )³ = 26,0 Мпа - сдвиг

              _________

δ_τмакс = √ δ_τ1²+ δ_τ2²   = 35 Мпа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Расчёт вала  при циклически изменяющихся  напряжениях

 

 

Исходные данные:

Вал с параметрами  из предыдущего задания.

Принять, что при вращении вала нормальные напряжения σ и касательные напряжения τ в опасном сечении изменяются по гармоническому закону

 

σ(t) = σ_m + σ_asin ωt,                 τ(t) = τ_m + τ_asin ωt

 

с коэффициентами асимметрии Rσ и Rτ соответственно.

 

При этом за максимальные напряжения циклов (σ_max и τ_max) принять соответствующие наибольшие напряжения в опасной точке, полученные при статическом расчете.

 

Значения коэффициентов  асимметрии циклов напряжений (Rσ, Rτ), вид обработки поверхности вала и тип концентратора выбрать из табл. 2.8, 2.9 по четвёртой и пятой цифре индивидуального шифра задания.

Допускаемое значение коэффициента запаса усталостной прочности принять равным [n] = 1,5−2,5.

Если полученные в п.2 или п.3 значения коэффициентов запаса n_σ ≤ 1,0 или

n_τ ≤ 1,0, то повторить их вычисление, используя дополнительно для вала какой-либо метод поверхностного упрочнения.

 

Расчет параметров циклов изменения нормальных и касательных  напряжений.

 

 

Рис.  6.1 График нормальных напряжений в опасном сечении вала.

 

δ_{норм макс} = 160 Мпа и   δ_τмакс = 35 Мпа.    – из предыдущей задачи

 

δ_min = R_δ* δ_max = 0,2*160=32 Mпа

 

δ_а = (δ_max – δ_min)/2 = (160 - 32)/2 = 64 Мпа

δ_m = δ_max – δ_a = 160-64= 96 Мпа

 

σ(t) = σ_m + σ_asin ωt = 96 + 64sin ωt    Мпа

         

Рис. 6.2 График касательных напряжений в опасном сечении вала.

 

τ_min = R_τ• τ _max = - 0,4*35= - 14 Mпа

 

τ_а = (τ _max – τ _min)/2 = (35+14)/2 = 24,5 Мпа

 

τ_m = τ _max – τ _a = 35-24,5= 10,5 Мпа

 

τ (t) = τ_m + τ_asin ωt =  10,5 + 24,5sin ωt  Мпа

       

Коэффициент запаса усталостной  прочности  вала при изгибе для  асимметричных циклов:

 

                                            (6.1)

где К – коэффициент  снижения предела выносливости,  при изгибе и растяжении (сжатии)  K=Kδ /(ε_δ •β)

δ_{а ,} δ_m - нормальные напряжения при изменении по гармоническому закону.

 φ_δ – коэффициент , отражающий влияние асимметрии цикла на величину предела выносливости.   φ_δ = (2δ_-1- σ₀) / σ₀

 

Коэффициент запаса усталостной  прочности вала при кручении для асимметричных циклов:

 

 

                                             (6.2)

где К – коэффициент  снижения предела выносливости,  при кручении

K=Kτ /(ε_τ •β)

τ_{а ,} τ_а  -  касательные напряжения при изменении по гармоническому закону.

 

Общий коэффициент запаса усталостной прочности n_R  определяется по формуле

 

Определим коэффициенты, входящие в формулы коэффициента запаса прочности вала для стали 50.

Таблица 1

 

Для заданных параметров концентратора t/r=3,0 и r/d=0,02 найдем диаметр концентратора d:

 

t = 3r = 3•0,02d = 0,06 d      D=d+2t = 1,12d

Диаметр вала, найденный  в предыдущем задании составляет  D = 49мм

Для галтели  диаметр d=D - 2t    d=D/1,12 = 43,75 мм

 

Из таблицы 2 приложения 4 по известному диаметру d для стали марки 50 (Класс: Сталь конструкционная углеродистая качественная) найдем коэффициенты влияния абсолютных размеров деталей:                                                                              

   ε_δ = 0,84     ε_τ =  0,78

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По графику зависимости коэффициента качества поверхности β от предела прочности материала σ_вр  и качества обработанной поверхности, см.  рис. 1 (кривая 5 - при наличии окалины) - Приложения 4 находим при заданном суммарном пределе прочности материала – сталь 50 в таблице 1 коэффициент   β=0,4

 

По таблице 1 для заданной марки стали 50 находим:

 

Таблица 1

 

Δ_-1изгиб = 290 Мпа           Δ_-1круч = 175 Мпа

 

По таблице 4 для заданного  предельных напряжений находим коэффициенты концентрации напряжений вблизи галтели:

K_δ = 2,1   -   при изгибе           K_τ = 1,72 -   при кручении

Из таблицы 6 приложения 4  для σ_в = 640 МПа находим коэффициенты

φ_δ = 0,1  и φ_τ  = 0,05

     

Тогда коэффициент снижения предела выносливости

 

К = K_δ/(ε_σ•β) = 2,1/0,84• 0,6 = 4,16 - при изгибе

 

K= K_τ/(ε_τ•β) = 1,72/0,78•0,6 = 3,67 - при кручении

По формулам 6.1 и 6.2 находим  коэффициенты запаса усталостной прочности  вала при изгибе и кручении для  асимметричных циклов:

 

n_δ = 290/(4,16•64 - 0,1•96) =1,13            n_τ = 175/(3,67•24 - 0,05•10) =2,1

 

Общий коэффициент запаса:

                  _________                     ____________

N = n_δ•n_τ/√( n_δ ² + n_τ²) = 1,13*2,1/√( 1,13 ² +2,1²)  = 0,98 < 1,0

 

Для увеличения коэффициента запаса используем метод поверхностного упрочнения – обкатка роликом.

 

Из таблицы 3,  при использовании технологических методов поверхностного упрочнения вала (обкатка роликом), находим коэффициент упрочнения

 β_упр = 1,3.

 

Пересчитаем коэффициенты запаса прочности:  

K= 1,92 – на изгиб,     К = 1,69 – кручение

 

Получим коэффициенты запаса усталостной прочности  вала при изгибе и кручении для асимметричных циклов с поверхностным упрочнением – обкаткой роликом.

 

n_δ = 290/(1,92•64-0,1•96) =2,56              n_τ = 290/(1,69•64-0,1•96) =5,00

                  _________                     ___________

N = n_δ n_τ/√( n_δ ² + n_τ²) = 2,56*5,0/√( 2,56 ² +5,0²)  = 2,2 - допустимое значение, в интервале 1,5 – 2,5

 

Вычисление коэффициентов  запаса графическим способом.

Построим диаграмму  предельных амплитуд для нормальных напряжений и диаграмму предельных амплитуд для касательных напряжений при изменении напряжений по асимметричному циклу для детали с поверхностным упрочнением - обкаткой роликом.

На диаграммах точки  σ_a – амплитуда асимметричного цикла,   σ_м – среднее напряжение асимметричного цикла. 

 

 

 

Рис. 6.3 Вычисление коэффициентов запаса графическим способом.

 

Область безопасных циклов ОA₁C₂B₁ ограничена прямыми А₁С₂ и прямой С₂В₁ , соответствующей предельным циклам статической прочности (при возникновении пластической деформации).

 

Прямая С₂В₁ описывается уравнением предельных циклов, характеризующихся появлением пластической деформации по линии С₂В₁

     σ_а = - σ_м +σ_Т и лежит под углом - 45^о_.

 

Прямая линия А₁С₂  описывается уравнением предельных циклов усталостного разрушения для детали:

σа = (−ψσσ_m + σ−1)/K

 

Угол наклона прямой для предельных циклов усталостного разрушения для детали при изгибе: