Расчёт статически неопределимых систем

 

 

Курсовая  работа

 

 

по дисциплине __Сопротивление материалов_________________

 

 

 Расчёт  статически неопределимых систем

 

1. Статически  неопределимая шарнирно-стержневая  система

Исходные данные:

 

Рис. 1.1 Статически неопределимая шарнирно-стержневая система

 

 

Fi=2,6F  - площади стержней    Li=2,5F – длины стержней

Нумерация стержней в  системе произвольная.

Стержни выполнены из одного материала. Балку считать абсолютно жёсткой.

 

Под действием силы Р  брус повернется вокруг точки К.

 

Шарниры А и В переходят в положение А2 и В2, см. рис. 1.2.  Из-за малости перемещений перемещения по дугам заменим на перемещения по вертикальным прямым.

 

Найдем усилия N₁ и N₂:

 

ΣМк=-N₁*h +-N₂*a +P*a = 0

 

P=N₁+N₂

 

Из подобия треугольников АА₂К и ВВ₂К рис. 1.2 находим:

 

ВВ₂/а=АА₂/2а

 

АА₁=ΔL1/cos60^o      ВВ₂ = ΔL2    ΔL₁ = ΔL₂* cos60^o

 

 

 

Из закона Гука:

 

ΔL₁= N₁L₁/E*F

 

ΔL₂ = N₂L₂/E*F

 

N₁L₁/EF= N₂L₂/EF * cos60^o      N₁=N₂* cos60^o        2* N₁=N₂

 

P=3N₂

 

Напряжение в стержне 2:

Допускаемое значение напряжения в стержне  δ = N2/F= 360/2=180 МПа, где F – площадь сечения стержня

 

Усилие в стержне 2 :  N2=180*А    где А – сечение стержня

Допускаемое значение силы Р

Р=3*180*2,6*1 = 140,4 кН

 

По закону Гука удлинение в стержне 2:

 

ΔL = NL/EF= 140,4*2,5*0,8*10³/200*10⁹*1*10^-4 = 0,0093 м

 

Угол поворота жесткой  балки: sin ΔL/L = 0,0093/0,5 = 0,0186

 

α = arcsin0,0186 = 1,06^o

 

 

 

Рис. 1.2 Статически неопределимая шарнирно-стержневая система

 

 

 

2. Статически  неопределимая балка

 

Исходные данные:

1. Построить эпюры  поперечных сил Q и изгибающих момен-

тов M.

2. Для балки стандартного  двутаврового профиля из расчёта

на прочность подобрать  сечение по сортаменту прокатной  стали

(см. приложение 3).

3. Определить прогиб  сечения К.

Рис. 2.1 Статически неопределимая балка

При расчётах принять: σ_т = 650 МПа; [n_т] = 2,5; Е = 200 ГПа.

L₁=0,3         P₁=8 kH     L₂=0,9    M₁=4,8 kHм   L₃=1,2 м     M₂ =18 кНм   

 

Обозначим реакции опор R в т. В,  реакции D, H и  момент Mo в т. С.

Задача статически неопределимая. Лишних неизвестных – одна.

Уравнения статики:

Н=0      R+P1=D

P₁(L₁+L₂+L₃) + R(L₂+L₃) – M₂ +Mo = 0

За лишнюю неизвестную примем реакцию  опор R

 

Рис. 2.2  Расчетная схема статически неопределимой балки

Добавим условие вертикального  перемещения в точке действия опоры R fr=0.

 

 

Раскрываем условие при помощи теоремы Кастильяно:

По теореме Кастильяно – перемещение  точки приложения обобщенной силы по направлению ее действия равно частной  производной от потенциальной энергии  этой силы.

 

                    L₁                            L₂                            L₃

 f_r = 1/ЕJ* [ ЅМ₁ * δ М₁/δR + ЅМ₁ * δ М₁/δR + ЅМ₁ * δ М₁/δR]=0

                    0                               L₁                          L₂  

 

 

 

Вычислим подынтегральные  выражения используя:

 

М₁=Р₁*L₁                                                                        δМ₁/δR=0

 

М₂=Р₁*(x2 +L₁) + R*x2                                                  δМ₂/δR= х2

 

М₃= Р₁*(x3 +L₁) + R*x3 – М₂                                       δМ₃/δR= х3 

 

L2                                           L2+L3

Ѕ[p₁(x+L₁) +Rx]dx + Ѕ[p₁(x+L₁) +Rx-M₂]dx

0                                               L2

 

L2                                           L2+L3                                        L2+L3 

Ѕ[p₁(x+L₁) +Rx] dx+ Ѕ[p₁(x+L₁ ) +Rx]dx + Ѕ[-M2]dx =

0                                                L2                                             L2

 

 

L2+L3                                    L2+L3 

Ѕ[p₁(x+L₁) +Rx] dx+ Ѕ[-M2]dx =

0                                                L2   

 

                                       

    2,1                                            2,1 

= Ѕ[p₁x+p₁L₁ +Rx] dx+ Ѕ[-M2]dx =

0. 0,9

 

                                               2,1       2,1

= P₁x² +p₁0,3x +Rx² |- m₂x|=  0   Находим R.      R= -0,45  

                                               0         0,9

 

D= P + R = 8-0,45=7,55 кН

 

Момент сил относительно т. С

 

Mo  = -P₁(L₁+L₂+L₃)-R(L₂+L₃) + M₂ = -8*2,4+0,45*2.1+18 = 0,245 кHм

Mo = 0,245 кHм

Эпюра моментов в т. В 8*0,3= 2,4 кнм  

В т. К  8*1,2 -0,45*0,9 = 9,19

В т. К  9,19-18 = -8,81 кнм

В т. D 8*2,4 – 0.45*2,1 – 18= 0,255 кнм

 

Рис. 2.3 Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов балки

 

Максимальный изгибающий момент в т. К   Мк=9,19 кНм 

 

W= Мк/δ = 9,19*10³/[(650:2,5)*10⁶] = 35,34 см³

 

По таблице 1 приложения 3 выбираем стандартный двутавровый профиль №11 из горячекатаной стали.

 

Определение прогиба  в точке К.

Рис. 2.4  Эпюры моментов от действия единичной силы и в нагруженном состоянии

Используем табличные формулы для перемножения эпюр трапеции и треугольника

Рис. 2.5 Эпюры моментов сил

AМ = h3*L(2h₁-h)/6   

Из построения находим  параметры и площади трапеция, треугольников, центры их тяжести, ординаты единичной силы в положениях центров  тяжести  по Методу Верещагина. Подставим  в формулу для нахождения перемещений по методу Верещагина

 

Нагрузочную эпюру разобьем на 3 части.  Единичная эпюра представлена на рис. 2,5

 

Перемножив площади  нагрузочных эпюр на ординаты единичной  в центре тяжести нагрузочной  эпюры и используя табличные  формулы получим

Δ= AМ/EI = 0,51*0,9(2*2,4+9,19)/6 – 0,51*9,06*1,2/3 +0,51*0,255*1,2/2) /(200*10⁹*198*10^-8

 

Перемещение найдем по формуле, зная Jx=198 см⁴

Δ= AМ/EI = 0, 77*10³/(200*10⁹*198*10^-8) = 0,19*10^-2 м= 1,9 мм

 

 

3. Статически  неопределимая рама

 

Исходные данные:

Рис. 3.1 Статически неопределимая рама

 

При расчётах принять: [σ] = 180 МПа; Е = 200 ГПа.

 

L₁=0,3 м   P1=8 kH     L₂=0,9 м    M₁=4,8 kHм   L₃=1,2 м  M₂ =18 кНм  

 

Р₂=20 кН

 

Рама один раз  статически неопределима. Рама состоит  из участков различной жесткости. Горизонтальные участки выбраны из одинарного швеллера, вертикальные – из двойного швеллера.

 

За основную систему принимаем систему, показанную на рис.  , которая получилась из заданной путем удаления левой опоры. Удаленную  связь компенсирует неизвестная величина R.

 

Строим эпюры моментов сил в раме от действия сил , моментов сил, единичной силы, см. рис. 3.2.

Рис.  3.2 Статически неопределимая рама

 

Каноническое уравнение имеет вид:

 

δ₁₁ * X₁ + Δ₁₂ = 0

 

δ₁₁  - перемещение по направлению неизвестного от единичного значения этого же неизвестного;

Δ₁₂ – перемещение по направлению первого неизвестного от нагрузки.

 

Для определения перемещений используем метод Мора-Верещагина (перемножение эпюр).

Перемножаем эпюру 2 на саму себя. Получим  δ₁₁ .  Перемножаем эпюры 1 и 2.   Получим  Δ₁₂.

 

Рис. 3.3 Эпюры изгибающих моментов от нагрузок и от единичной силы

 

С учетом, того, что горизонтальные участки выбраны из одинарного швеллера, вертикальные – из двойного швеллера с двойным моментом сопротивления

Из рис. 3.3     L₃₁=0,24 м     L₃₂=0,96 м    

 

δ₁₁ = 1/EJ (1/2* L₁*L₁*2/3 +1/2 *(L₁+L₂)*L₁*L₁ =

 

= 1/EJ (1/2*0,3³* 2/3 +1/2 *(0,3+0,9)*0,3*0,3 = 0,112 /EJ

 

Δ₁₂ = 1/EJ[M₁*L₁*L₁/2 +1/2*M₁*L₂*L₁ +1/2*1/2M₁*L31*L₁-1/2*(P₂L₃-M₁)*L₃₂*L₁]=

 

= 1/EJ[4,8* 0,3² +1/2*4,8*0,9*0,3 +1/2*4,8*0,24*0,3-1/2*(20*1,2-4,8)*0,96*0,3]  = -1,593/EJ

 

Размеры L₃₁ и L₃₂ выбраны из построения изгибающих моментов от нагрузок на рис. 3.3

 

  X1= - Δ₁₂/ δ₁₁ = 1,593/0,112= 14,22 кНм

Ординаты эпюры от единичного момента  М1 умножим на 14,22 кНм и сложим с эпюрой M_f , получим окончательную эпюру

Рис. 3.4 Окончательная  эпюра изгибающих моментов рамы

 

Из условия прочности  δ_макс=М_макс/Wx < δ

Находим W_x = М_макс/ δ = 14940/180*10⁶= 82 см³

 

По таблицу для швеллеров  находим большие значение Wx , выбираем швеллер №16  с Wx = 93,4 см³

 

Момент инерции для  швеллера №16   Jx = 747 см⁴

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Расчет угла поворота сечения А:

 

 

Рис. 3.5 Эпюры от единичного момента  в сечении А

 

Для расчета угла поворота сечения  А перемножим по методу Мора-Верещагина эпюры от единичного момента в сечении А на эпюры с нагружением для 4 сечений стержня с учетом разного количества швеллеров в вертикальном и горизонтальном участках .

Рис. 3.6 Положения центров тяжести  эпюр для расчета углового перемещения  сечения А

 

Рис. 3.7 Расчет углового перемещения  в сечении А

Подставив значения моментов, сил  и длин рамы и использую табличные значения готовых формул произведений разного вида эпюр (Таблица 3.1)

 

 

 

На участке L₁ разделим эпюру от нагружения на прямоугольник и треугольник и раздельно перемножим на единичную эпюру.

 

По методу Мора-Верещагина перемножаем  площадь фигуры момента сил от нагруженной эпюры на ординату соответствующего единичного момента силы в центре тяжести нагруженной эпюры:

 

L₁*M₁*L₁/2 + 4,27*10³*L₁/2 * 2/3*L₁ + 9,06*10³*L₂*L₁ +

 

9,06*10³*L₃₁/2*L₁- 14,94*10³*L₃₂/2*L₁ = 0,3*4,8*10³*0,3/2 +

 

4,27*10³*0,3/2 * 2/3*0,3 + 9,06*10³*0,9*0,3 + 9,06*10³*0,24/2*0,3 +

 

14,94*10³*0,96/2*0,3 = 27,2*10³

 

Находим угол поворота сечения А 

 

Δφ = 27,2*10³/EJ = 27,2*10³/200*10⁹*747*10^-8 = 0,018 рад

 

Δφ = 0,018*180/3,14 = 1,04 град.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Расчёт упругих систем на изгиб с кручением

 

4. Расчёт пространственной рамы

 

Исходные данные:

 

При расчётах принять: Е = 200 ГПа; G =80 ГПа.

 

 

Рис. 4.1  Пространственная рама

 

 

L₁ = 1,1 м   P₁ = 1,3 кН  L₂ = 0,7 м   P₂ = 1,9 кН   L₃ = 0,9 м  P₃= 2,0 кН

 

d/D = 0,7   δp = 110 МПа    δс = 240 МПа  Перемещение т. В  по V

 

Участок АВ работает на изгибы в 2 плоскостях с моментом P₁L₁ и P₃L₁ и на сжатие Nab=P₂.

Участок ВС работает на растяжение с силой Nbc=P₃ , на изгиб с моментами

P₁L₂, P₂L₂, P₃L₁,  на кручение P₁L₁ .  Моменты P₂L₂ и P₃L₁ – в одной плоскости.

 

Участок CD работает на сжатие с силой Ncd = P₁, на изгиб с моментами P₁L₂, P₁L₁, P₃L₃, P₂L₃   и кручение P₃L₁, P₂L₂ . Моменты P₁L₁, P₃L₁, P₃L₃, P₂L₂- в одной плоскости.

 

 

              Эпюры на изгиб                                           Эпюры на кручение

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.2 Эпюры изгибающих и крутящих моментов от действия сил P₁, P₂, P₃

 

 

Рис. 4.3  Эпюры сил от действия сил P₁, P₂, P₃

 

Рассчитаем значения моментов сил:

P₁L₁ =  1,43 кНм          P₂L₁ = 2,09 кНм            P₃L₁ = 2,20 кНм                

P₁L₂ =  0,91 кНм          P₂L₂ = 1,33 кНм            P₃L₂ = 1,40 кНм              

P₁L₃ =  1,17 кНм      P₂L₃ =  1,71 кНм           P₃L₃ = 1,80 кНм  

 

Определим максимальные моменты сил в каждом сечении  рамы:

1. Сечение АВ   P₁L₁ = 1,43 кНм      P₃L₁ = 2,2 кНм  
2. Сечение ВС  P₁L₂ =  0,91 кНм    P₂L₁ = 2,09 кНм      P₃L₁ = 2,20 кНм

 

 P₁L₁ =  1,43 кНм   - кручение                   

 

3. Сечение СD  P₁L₂ =  0,91 кНм   P₂L₂ = 1,33 кНм     P₂L₃ =  1,71 кНм   

 

P₃L₁ = 2,20 кНм     P₂L₂ = 1,33 кНм  - кручение    P₃L₁ = 2,20 кНм  - кручение                                               

Сложим моменты сил в опасных точках кажого участка рамы:

1. Опасная точка В

           ____________   ___________

М_B= √P₁L₂²+P₃L₁² = √ 1,43² + 2,2²   = 2,62 кНм

2. Опасная точка С

           _________________       ___________

М_C= √P₁L₂²+(P₂L₂ + P₂L₁ )² = √ 0,91² + 3,53²   = 3,64 кНм

 

             _______________