Аэродинамика

    Так называемые кажущиеся напряжения турбулентного  движения остаются неизвестными.

    Теории, позволяющей выразить неизвестные  члены, сейчас нет. В этом состоит  физическая сторона проблемы. Поэтому  систему уравнений (1.9) – (1.12) можно решить с помощью количественных соотношений для определения составляющих тензора кажущихся напряжений. Эти соотношения получают, привлекая экспериментальные данные, выявляющие дополнительные связи между осредненными и пульсационными составляющими.

    Чтобы недостающие связи получить из эксперимента, необходимы теоретические предпосылки или разработка модели турбулентности.  

Модель  пути смешения Прандтля и её модификации 

    Турбулентные  пульсации, накладывающиеся на осредненное  движение, вызывает дополнительный обмен теплом, массой, импульсом. Буссинеск Ж. В 1877 г. выдвинул концепцию, в которой связал коэффициент турбулентного переноса с турбулентным касательным напряжением

     , (1.13)

где μ_Т – коэффициент турбулентного переноса количества движения; τ_Т – турбулентное касательное напряжение.

    Усовершенствованную зависимость μ_Т от поля скоростей предложил Прандтль в 1925 году. Он ввел понятие длины пути смешения и математическое его определение.

     , (1.14)

    Под длиной пути смешения l подразумевается некоторое расстояние, проходя которое, турбулентное образование (структура) теряет свою индивидуальность. По мнению Прандтля, величина l может быть пропорциональна расстоянию по нормали к поверхности пристенной области и определяется, прежде всего, геометрическими характеристиками.

    Для пристенного пограничного слоя широкое  применение нашло выражение для определения l :

     , (1.15)

где æ – постоянная, равная 0,39 – 0,41, характеризующая интенсивность турбулентного переноса количества движения; η – безразмерная координата, определяемая как ρv_*y/μ; A^* – постоянная, равная 25 – 27; v_*=(τ/ρ)^1/2 – динамическая скорость, τ – касательное напряжение.

    Следует отметить, что формула (1.15) может применяться для случаев, когда отсутствует пространственно-временная перестройка профиля скорости, а для более сложных случаев, то есть при наличии пространственно-временной перестройки профиля скорости, модель пути смещения Прандтля должна быть модифицирована.

    В частности, при определении длины  пути смешения l в формуле (1.15) коэффициент æ уже будет не постоянной, а изменяющейся величиной, для определения которой предлагаются различные выражения, в зависимости от рассматриваемых условий.

    Г. Шлихтинг отмечает, что коэффициент  æ можно выделить только опытным путем.

    В работе [1] приводится зависимость для определения æ в стационарном пограничном слое при наличии продольного градиента давления

    æ  (1.16)

где δ* – толщина вытеснения; τ_w – касательное напряжение на стенке.

    Ковальногов Н.Н. выводит следующую зависимость  для нестационарного пристеночного пограничного слоя с неоднородным полем давления:

            (1.18)

    Следует отметить, что все зависимости для æ основываются на экспериментальных данных и их теоретическом анализе.

    Широкое распространение получили “е – ε” модели, в которых за основу берется кинетическая энергия турбулентного пульсационного движения e и скорость ее диссипации ε. Энергия определяется как:

      (1.19)

    для единицы массы среды:

     . (1.20)

    Дифференциальное  уравнение энергии турбулентного  пульсационного движения  можно записать в виде: 

      (1.21)

где ε – скорость диссипации кинетической энергии турбулентности, определяемая как:

 (1.22)

    При определении неизвестных членов для системы уравнений (1.21), (1.22) также  используются эмпирические зависимости. Для определения корреляции широкое применение получила модель Колмогорова [1].

     , (1.23)

где C’_μ –эмпирическая константа, равная 0,09; L – масштаб турбулентности.

    Следует отметить, как и все эмпирические зависимости, формула (1.23) имеет границы применения и справедлива в случае, когда вклад пульсационных составляющих в энергию е во всей области исследования изменяется незначительно или не меняется совсем.

    В литературе имеется много модификаций  для пристеночной области  С.В. Патанкар и Д.В. Сполдинг [136] для целей обобщения выбрали гипотезу Ван-Дриста. А Джонс и Лаундер модифицировали уравнения (1.22) и (1.23) как :

     ; (1.24)

 (1.25)

    Такая система уравнений позволяет  рассчитывать коэффициенты турбулентного переноса  μ_Т  по всей толщине пограничного слоя. При этом проблем с формулированием граничных условий на стенке также не возникает, так как для ε у=0 и ε=0.

    Полученные  Ковальноговым Н.Н. и другими результаты позволяют критически оценить возможность использования известных подходов к математическому моделированию турбулентного обмена в условиях ламинаризации. Ограничивается возможность использования модели Джонса-Лаундера, которая является одной из наиболее простых моделей, учитывающих эффект ламинаризации пограничного слоя. Определение коэффициентов турбулентного переноса в рассматриваемых условиях становится возможным либо на основе значительно более сложных моделей, включающих дифференциальные уравнения для всех составляющих тензора напряжений Рейнольдса, либо на основе моделей при условии модификации соотношений для кореляций. Привлечение большого числа дополнительных транспортных уравнений для компонентов тензора напряжений Рейнольдса не только значительно усложняет вычисления, но и приводит к существенному увеличению количества эмпирических констант, усложнению определения их численных значений, а также к возрастанию погрешностей, обусловленных моделированием неизвестных членов в транспортных уравнениях. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Моделирование реакции пограничного слоя на управляющие воздействия и расчет течений при наличии воздействий 

    Непосредственное  воздействие того или иного фактора  на параметры течения моделируется самими уравнениями, записанными для  осредненных параметров, путем введения дополнительных членов. Опосредованное же влияние (через турбулентность) должно быть учтено использованием адекватной модели турбулентности.  

Математическая  формулировка задачи течения и теплообмена потока  

     Систему уравнений, описывающих стационарный процесс движения и теплоотдачи турбулентного потока в осесимметричной трубе на начальном и основном участках, можно представить в виде:

        – дифференциальное уравнение теплоотдачи

         ; (1.26)

        – дифференциальное уравнение энергии  пограничного слоя

         ; (1.27)

        – дифференциальное уравнение движения пограничного слоя

         ; (1.28)

        – дифференциальное уравнение неразрывности

         ; (1.29)

        – уравнение состояния

         . (1.30)

где – коэффициент теплоотдачи; – температура; – продольная (вдоль осевой координаты ) и поперечная (вдоль координаты ) составляющие скорости потока соответственно; – радиус анализируемой точки;  – плотность, удельная изобарная теплоемкость, коэффициент теплопроводности и динамический коэффициент вязкости потока соответственно; – коэффициенты турбулентного переноса теплоты и количества движения соответственно; – давление; – газовая постоянная; индексы: – характеризует параметры на оси трубы; . – на поверхности проточной части.

        Граничные условия:

          (1.31)

Здесь ₁ – радиус проточной части трубы; индекс характеризует параметры на входе в трубу.

        Скорость  в каждом сечении трубы определяется соотношением

         , (1.32) 
где толщина вытеснения выражается формулой

. (1.33)

    При анализе изотермического течения  можно принять  .

    Из-за неопределенности величин λ_Т, μ_Т математическая формулировка задачи является незамкнутой. Подход к их определению представляется следующим. По формуле Прандтля (1.14) определяется μ_Т, для чего необходимо получить эмпирическую зависимость для коэффициента æ, то есть разработать адекватную модель турбулентности. 

    Предполагая, механизм переноса веществ и количества движения одинаковым, и имея в виду соотношение 

    Pr_T=μ_Тс_P/λ_Т ≈ 0,9 , (1.34)

количество  неизвестных в математической формулировке задачи сократим до одного. 
 

Численные методы решения уравнений  пограничного слоя 

    Система уравнений (1.26) – (1.30), описывающих течение  и теплообмен в турбулентном пограничнном слое, незамкнута, что не позволяет  решить её напрямую. Замыкают систему  уравнений с помощью эмпирических зависимостей (см. предыдущий параграф), но и тогда получить точное решение аналитическими методами не представляется возможным. Только численные методы позволяют получать приближенные решения уравнений пограничного слоя.

    Наибольшее  распространение получили метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ).

    В рамках МКР существуют 3 основных подхода. Первый подход С. Патаккар и Д. Сполдинг идентифицируют как метод последовательного  интегрирования, который еще называют методом прогонки.

    Другой  метод решения параболических уравнений  был предложен Хартри и Вомерсли. Вначале с помощью конечных разностей параболические уравнения приводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для совокупности последовательно взятых сечений пограничного слоя, расположенных перпендикулярно к основному направлению течения.

    Каждый  из рассмотренных методов обладает как достоинствами, так и недостатками. Однако, все-таки необходим метод, применимый с минимальным числом модификаций к максимальному числу задач, поставленных практикой. Метод должен отличатся экономичностью, простотой обращения и давать адекватный результат, то есть совпадающий в целом с экспериментальными данными. Вычислительный аппарат должен обеспечить точные результаты, которые можно было бы использовать на практике.

    При выборе системы уравнений исследователи  руководствуются поставленной задачей и рациональностью ее решения. Важным моментом также является замена области определения (наложение на область определения) разностной сеткой. Различные авторы по-разному подходят к этому вопросу.

    Метод, применяемый С. Патанкаром, Д. Сполдингом, подходит для достаточно широкого круга задач: плоский турбулентный слой смешения, ламинарный сжимаемый пограничный слой на плоской пластине, турбулентный сжимаемый пограничный слой на плоской пластине.

    Данный  метод обладает следующими достоинствами. Неявная схема обеспечивает стабильность, линеаризация разностных уравнений  избавляет от необходимости итераций, конечная система уравнений легко  решается методом подстановок. Включение в расчет интегрирования для одномерной области слоя, прилегающей к стенке, позволяет использовать точные решения для этой области.