Планирование и обработка результатов эксперимента на основе факторного анализа

Таблица 4 – Экстремальные значения критерия Стьюдента

Номер серии опытов	1	2	3	4	5	6	7	8
tmin	-1,12	-1	-1,00	-1,14	-0,89	-1,14	-1,10	-1,13
tmax	0,79	0,99	2,36	0,71	1,08	0,68	0,83	0,77

 

По таблице распределения Стьюдента, при двух степенях свободы получаем tтабл=4,3.

Так как во всех сериях опытов условие tрасчtтаблне выполняется, то нельзя считать результаты повторных опытов ошибочными.

Наилучшая оценка воспроизводимости эксперимента рассчитывается по формуле:

 

                                       (8)

 

Вычислим наилучшую оценку воспроизводимости для нашего случая:

 

.

 

Проверку однородности дисперсий можно выполнить по критерию Фишера. В данном случае проверка будет выглядеть следующим образом:

 

                                                    (9)

 

Из формулы (9) имеем:

 

.

Так как число степеней свободы для большей дисперсии будет равно 8, а для меньшей дисперсии 3-1=2, то . Следовательно, условие однородности дисперсий выполняется.

Существенным недостатком критерия Фишера является игнорирование всех оценок дисперсии воспроизводимости, кроме максимального и минимального значения.

При одинаковом объеме опытов в различных точках плана лучше применять критерий Кохрена.

Итак, если не выявлена неоднородность дисперсии воспроизводимости, то обработку результатов экспериментов можно продолжать дальше. В противном случае следует выявить и устранить причины неоднородности. Обычно неоднородность является следствием принятых решений по организации и проведению экспериментов.

Во-первых, в экспериментальном исследовании, возможно, не учтен некоторый существенный фактор (факторы), который изменялся в ходе опытов. Такой фактор (факторы) следует выявить, включить в модель или обеспечить его стабильность в ходе исследований и повторить опыты.

Во-вторых, количество повторных опытов в точках плана с большой дисперсией функции отклика проведено недостаточно. Действительно, дисперсия функции отклика может существенно различаться в разных точках плана.

Неоднородность можно снизить за счет уменьшения интервала варьирования факторов или увеличения количества опытов в соответствующих точках плана. Изменение интервалов варьирования влечет необходимость повторения опытов во всех точках плана. Поэтому из указанных способов снижения неоднородности следует выбрать тот, который требует меньшего количества новых опытов.

После того, как установлена однородность дисперсии воспроизводимости, можно приступать к вычислению оценок коэффициентов функции отклика.Результаты вычислений этих оценок всегда отличаются от нуля. Но это не значит, что они являются значимыми, то есть сами коэффициенты не равны нулю. Проверку значимости оценок обычно осуществляют после проверки адекватности модели.

 

2. Получение математической модели объекта

 

При ПФЭ получаются независимые оценки соответствующих коэффициентов модели ,т.е. Эти оценки легко находятся по формулам

Коэффициенты регрессии:

 

;                                                                 (10)

 

;                                                              (11)

 

.                                                        (12)

Для нашего примера, используя данные таблицы 3, получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С учетом дисперсии воспроизводимости, найдём границы доверительных интервалов для вычисленных коэффициентов регрессии по формуле (13):

 

;                                                  (13)

 

 

 

После сравнения вычисленного доверительного интервала с ранее полученными значениями коэффициентов регрессии, можно сделать вывод о том, что коэффициенты b1, b2, b3, b12, b13иb123не значимы, но так как коэффициенты b1, b2иb3линейные, их решено не исключать. Таким образом, уравнение математической модели имеет вид:

 

Теперь вычислим значения параметра оптимизации и , а полученные данные занесём в таблицу4.

Таблица 4 - Значения параметра оптимизации

Номер опыта	1	2	3	4	5	6	7	8
	60,53	64,84	64,44	68,75	64,92	69,23	68,83	73,14
	-2,08	0,93	-0,54	1,69	1,21	-0,05	1,41	-2,57
	4,36	0,87	0,29	2,88	1,47	0,003	2,01	6,63

 

Чтобы получить математическую модель объекта, мы вычислили коэффициенты регрессии, для нахождения интервалов варьирования, с учетом дисперсии воспроизводимости. После сравнения вычисленного доверительного интервала с ранее полученными значениями коэффициентов регрессии, делаем вывод о их значимости. И строим уравнение математической модели. После составления математической модели, вычисляем значения параметра оптимизации и заносим данные в таблицу 4. Данные из таблицы будем использовать для проверки адекватности полученной математической модели.

 

2.3Проверка адекватности математической  модели

 

После вычисления коэффициентов необходимо провести проверку модели. Такую проверку называют проверкой адекватности моделей.Проверка адекватности математической модели по данным эксперимента проводится только в случае ненасыщенного планирования на основе сопоставления дисперсии воспроизводимости среднего значения функции отклика s2(y) и дисперсии адекватности.

Проверка адекватности сводится к проверке гипотезы об однородности оценки дисперсии воспроизводимости S2(y) с количеством степеней свободы j(y) и оценки дисперсии адекватности. Проверка осуществляется по критерию Фишера аналогично рассмотренной выше проверке однородности дисперсий воспроизводимости. Оценки дисперсий в формуле расчета критерия расставляются так, чтобы его величина была больше единицы, критическая область является двусторонней.

Если вычисленное значение критерия меньше критического, то нет оснований для сомнений в адекватности модели. Однако положительный исход статистической проверки не гарантирует достоверной адекватности, а тем более истинности модели (хотя и не противоречит такому предположению). Когда гипотеза отклоняется, следует вывод о неадекватности модели, следовательно, она заведомо не является истинной. Дальнейшее применение неадекватной модели обычно нецелесообразно, и надо принять меры по ее совершенствованию.

Причиной неадекватности могут являться: ошибки в организации и проведении опытов, например неконтролируемое изменение неучтенных в модели факторов; погрешности в задании исходных данных и в измерении результатов; большой размах варьирования факторов и другие причины. Иначе говоря, анализ причин неадекватности требует серьезного изучения сущности исследуемого процесса и методов его исследования.

Проведем проверку адекватности математической модели, для этого сначала рассчитаем:

.                                                (14)

 

 где .

Тогда .

Адекватность математической модели определяем по критерию Фишера:

 

.                                                (15)

 

Рассчитаем адекватность нашей математической модели по формуле (15)

.

Табличное значение критерия Фишера для данного сочетания степеней свобод . Так как главным условием адекватности математической модели является мы можем утверждать, что полученная математическая модель адекватна.

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

В результате проделанной работы мы познакомились с основными методами планирования эксперимента. На первоначальном этапе была собрана априорная информация, необходимая для дальнейшего исследования. Во второй части работы выяснялась зависимость между факторами, действующими на исследуемую величину, и изменение этой величины. Для построения регрессионной математической модели определения влияния факторов используется полный факторный эксперимент. Эта модель позволяет нормировать измерения вне зависимости от влияющих факторов или указывает на влияющее воздействие, которое необходимо устранить. Кроме того была проведена проверка модели объекта на воспроизводимость и адекватность, при этом использовались следующие критерии:

1. критерий Кохрена;
2. критерий Стьюдента;
3. критерий Фишера.

Максимальное значение функции отклика 70,57 было достигнуто в опыте номер восемь при следующем сочетании факторов: , , . Это говорит о том, что при данном сочетании значений факторов результат эксперимента наиболее удовлетворяет заданным требованиям.

Исходя из уравнения математической модели, которое имеет вид , можно сделать вывод о том, что наиболее значимыми являются первый и третий факторы, а наименее значимым является второй фактор. Для увеличения значимости второго фактора следует уменьшить размах или понизить шаг варьирования.

 

 

 

 

Несмотря на простоту методов, они представляют собой мощный механизм повышения качества продукции и могут использоваться для решения весьма обширного круга задач, когда приходится принимать решения в условиях действия многочисленных влияющих на процесс факторов.

Преимущество простых статистических методов здесь выражается в том, что появляется возможность проведения корректировки производственного процесса еще тогда, когда в нем возникают некоторые отклонения, которые еще не приводят к браку, но уже создают угрозу появления дефектной продукции.

Такое управление качеством процессов, называемое управлением по отклонениям, неизмеримо эффективнее, чем применяемый в настоящее время контроль качества продукции по результатам, при котором контролируется не процесс, а продукция на разных стадиях ее изготовления путем применения либо сплошного, либо выборочного статистического контроля.

Подводя итоги по проделанной работе, можно сделать вывод о значимости факторов. Значимость факторов определяют по полученным значениям уравнений регрессии, которые входят в модель факторных признаков. Чем больше величина коэффициента регрессии, тем значительнее влияние данного признака на технологический процесс.

 

 

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

 

1. Статистические методы обработки эмпирических данных / В.А. Грешников, Б.Н. Волков, А.И. Кубарев - М.: Изд-во стандартов. – 2008. - 232с.

2.Барабашук В.И. Планирование эксперимента в технике. - К.: Техніка. – 2009. - 200с.

3. Эрнесто Рафалес-Ламарка. Методология научно-технического исследования. – Луганск. – 2012. – 218с.

4. Волченко В.Н. Статистические методы управления качеством по результатам неразрушающего контроля. – М.: Машиностроение. – 2011 – 64с.

5.Ноулер Л., Хауэлл Дж., Голд Б. Статистические методы контроля качества продукции. – М.: Изд-во стандартов. – 2013. – 104с.

6. Новик Ф.С., Арсов Я.Б. Оптимизация процессов технологии металлов методами планирования экспериментов. – М.: Машиностроение. – 2010. – 304с.

7. Розанов Ю.Н. Методы математической статистики в материаловедении. – Л.: Машиностроение. – 2010. – 232с.

8. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. MathCAD в математике, физике и в Internet. – М.: Нолидж, 2009. – 352с.