Планирование и обработка результатов эксперимента на основе факторного анализа

В последний столбец матрицы заносятся экспериментальные значения функции отклика, полученные в результате проведения каждого опыта. Матрица планирования для двух факторов приведена в таблице 1.

Таблица 1 Матрица планирования ПФЭ типа22

Номер опыта					Y
1	+	-	-	+	Y1
2	+	+	-	-	Y2
3	+	-	+	-	Y3
4	+	+	+	+	Y4

Такую матрицу называют матрицей планирования ПФЭ типа 22 (два фактора варьируются на двух уровнях).

Если в эксперименте используются три фактора, а предполагаемая математическая модель линейна, то она соответствует виду

 

Y=b0+b1X1+b2X2+b3X3+b12X1X2+b13X1X3+b23X2X3+b123X1X2X3(1).

 

При варьировании каждым из трех факторов (k=3) на двух уровнях число опытов N будет составлять N=23=8. В этом случае опытные точки располагаются в вершинах куба, центр которого находится в начале координат (0,0,0).

Матрица планирования ПФЭ 23 составляется по описанным ранее правилам, и будет иметь вид, приведенный в таблице 2.

Таблица 2 – Матрица планирования ПФЭ типа 23

Номер опыта									Y
1	+	–	–	–	+	+	+	–	Y1
2	+	+	–	–	–	–	+	+	Y2
3	+	–	+	–	–	+	–	+	Y3
4	+	+	+	–	+	–	–	–	Y4
5	+	–	–	+	+	–	–	+	Y5
6	+	+	–	+	–	+	–	–	Y6
7	+	–	+	+	–	–	+	–	Y7
8	+	+	+	+	+	+	+	+	Y8

 

Руководствуясь изложенным ранее правилом можно построить матрицу и для большего числа рассматриваемых в эксперименте факторов, число опытов в котором равно:

N=2k,                                                               (2)

 

где k – число учитываемых в эксперименте факторов.

При статистическом методе планирования эксперимента существуетправило: число уровней варьирования, учитываемых в эксперименте факторов, должно быть, по крайней мере, на единицу больше порядкаполинома, для построения которого планируется эксперимент. Планирование эксперимента началось с предположения, что математическая модель исследуемого процесса соответствует полиному первого порядка, поэтому достаточно проводить варьирование каждого из k факторов на двух уровнях, а необходимое число проводимых опытов можно определить с помощью выражения (2).

Если анализ результатов эксперимента показывает, что линейная модель, соответствующая полиному первого порядка, не адекватна исследуемому процессу, то переходят к планированию и проведению следующего эксперимента, исходя уже из предположения, что математическая модель соответствует полиному следующего порядка и так далее.

Необходимо обеспечить варьирование по каждому из факторов уже на трех уровнях. Тогда необходимое число опытов, которое нужно провести в эксперименте, должно быть не менее N=3k, для полинома третьего порядка N=4k и так далее.

Достоинства многофакторного планирования ПФЭ:

1. Опытные точки находятся в оптимальном положении, то есть математическое описание исследуемого процесса оказывается более точным, чем при проведении опытов в точках, расположенных каким-либо другим образом.

2. Планирование и проведение ПФЭ сравнительно просто, что объясняет его широкое применение на практике.

3. Все факторы и соответственно коэффициенты полинома оцениваются независимо друг от друга, что обеспечивается независимостью и ортогональностью столбцов матрицы планирования.

 

1.2 Проведение эксперимента на объекте исследования

 

Так как изменение отклика y носит случайный характер, то в каждой точке g приходится проводить т параллельных опытов и результаты

наблюдений yg1, yg2, ..., ygm усреднять:

 

g=(3)

 

Пусть в рассматриваемом случае число параллельных опытов в каждой строке матрицы планированияm=3. Перед реализацией плана на объекте необходимо рандомизировать (расположить в случайном порядке) варианты варьирования факторов, то есть с помощью таблицы равномерно распределенных случайных чисел или компьютерной программы для проведения процесса рандомизации определить последовательность реализации вариантов варьирования плана в N×m опытах.

Далее проводят эксперимент, и результаты наблюдений эксперимента соответственно вариантам варьирования плана записывают в столбцы yg1, yg 2,yg3, а в столбце записывают осредненныезначения.

 

1.3 Составление сводной  таблицы, включающей рабочую матрицу

 

Рассматривался полный факторный эксперимент (ПФЭ) типа 23, матрица планирования которого и результаты эксперимента приведены в таблице 1.Используя данные, заполним матрицу планирования эксперимента

Таблица 3 – Сводная таблица, включающая рабочую матрицу

Номер опыта	Матрица планирования								Рабочая матрица
									X1	X2	X3
1	+	–	–	–	+	+	+	–	30	42	64	68,16 44,69 62,48	58,44
2	+	+	–	–	–	–	+	+	40	42	64	89,74 41,57 66	65,77
3	+	–	+	–	–	+	–	+	30	58	64	63,91 56,58 71,21	63,9
4	+	+	+	–	+	–	–	–	40	58	64	77,94 58,42 74,98	70,44
5	+	–	–	+	+	–	–	+	30	42	86	62,41 48,9 87,09	66,13
6	+	+	–	+	–	+	–	–	40	42	86	82,51 46,86 78,16	69,18
7	+	–	+	+	–	–	+	–	30	58	86	74,59 52,86 83,3	70,25
8	+	+	+	+	+	+	+	+	40	58	86	83,59 51,4 76,71	70,57

 

Далее проводим эксперимент, и результаты наблюдений эксперимента соответственно вариантам варьирования плана записываем в столбцы, а в столбце записываем осредненные значения.

Данные из сводной таблицы рабочей матрицы и матрицы планирования будем использовать для проверки воспроизводимости эксперимента, получения математической модели и проверки адекватности математического описания.

 

2. ПРОВЕРКА МОДЕЛИ ОБЪЕКТА НА ВОСПРОИЗВОДИМОСТЬ И АДЕКВАТНОСТЬ

 

1. Проверка воспроизводимости эксперимента

 

Воспроизводимость–свойство результатов воспроизводиться, когда устойчиво получают одинаковые результаты при воспроизведении и одних и тех же условий. Воспроизводимость – это главное условие объективности, контролируемости и достоверности.

Существуют разные причины плохой воспроизводимости. Во-первых, при отсутствии уверенного контроля над системой данные могут быть получены случайно, и при попытке повторить эксперимент не воспроизводятся уже никогда. Во-вторых, в протоколе могут быть подводные камни, то есть непредусмотренные в описании условия, которые воспроизводятся, но не всегда, не везде и не у всех. В-третьих, неопытный экспериментатор может не получить даже стабильно воспроизводимые результаты просто из-за отсутствия необходимой квалификации.

В первом случае протокол не имеет никакой практической значимости, во втором он требует доработки, в третьем претензии предъявляют к квалификации экспериментатора, неспособного воспроизвести ранее полученные результаты. Поэтому любой протокол вначале должен быть проверен на воспроизводимость его автором, а затем апробирован другими опытными экспериментаторами. Для обучения неквалифицированных работников применяют только стабильно воспроизводимые протоколы

Необходимым условием применения метода наименьших квадратов для расчета оценок коэффициентов модели является однородность оценок

 

 

 

дисперсии воспроизводимости среднего значения функции отклика во всех точках плана. Поэтому обязательным этапом обработки должна быть проверка статистической гипотезы об однородности совокупности дисперсий воспроизводимости. В условиях различного количества опытов в точках плана применяют критерии Фишера.

Если количество повторных опытов в каждой точке плана достаточно велико (больше 7), то средние значения функции отклика можно считать распределенными по нормальному закону. Проверка однородности по критерию Фишера сводится к проверке гипотезы о равенстве дисперсий двух нормально распределенных случайных величин:

Из совокупности оценок дисперсии среднего значения функции отклика, выбирается минимальное Du min и максимальное Du max значения с числом степеней свободы соответственно ju min и ju max;вычисляется значение критерия Фишера F=Du max/Du min, которое сравнивается с критическим значением Fкр=F(a; ju max; ju min), где a–уровень значимости (обычно «a» выбирают в пределах от 0,01 до 0,1). Критическая область является односторонней (альтернативная гипотеза допускает между проверяемыми оценками дисперсии соотношение Du max>Du min). Критическое значение определяют по специальным таблицам или с использование стандартных функций математических пакетов.

Гипотеза об однородности оценок дисперсии воспроизводимости в различных точках плана принимается, если условие F≤Fкр выполняется, и отвергается в противном случае.

Опыт считается воспроизводимым, если дисперсия Dyi выходного параметра yi однородна в каждой точке факторного пространства. Оценка Syi дисперсии Dyi определяется для каждой точки факторного пространства по формуле (4):

 

.                                        (4)

.

Аналогично вычисляем остальные значения. Полученные данные сводим в таблицу 3.

Таблица 3 – Оценки дисперсий

Номер опыта	1	2	3	4	5	6	7	8
	149,93	580,12	53,50	110,67	375,01	378,25	245,77	287,35
	12,24	24,08	7,31	10,52	19,36	19,44	15,67	16,95

 

Для определения ошибочности повторных опытов используем критерий Стьюдента:

 

.                                                   (5)

 

Экстремальные значения tвычислим по формулам:

 

;                                    (6)

 

                                     (7)

 

Для каждого из опытов по формулам (6) и (7) рассчитаемtmax, tminи полученные значения занесем в таблицу 4.