Математическое моделирование процессов в машиностроении

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Пермский государственный технический университет

Кафедра «Технология машиностроения»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

 

По дисциплине «Математическое моделирование

процессов в машиностроении»

    

 

 

 

 

 

 

                                                                                           Студента гр. ТМСу – 05

                                                                          Фомина О. Ю.                                                

                                                                           Руководитель            

                                                                          Донсков А.С. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пермь 2008

Задача

Определить угол закручивания участков круглого сечения вала (Рис.1).

 

 

 

Рис. 1

Решение

 

1. Содержательная постановка задачи.

 

Требуется построить математическую модель определения угла закручивания в любом поперечном сечении вала в зависимости от данной системы нагрузки.

Исходные данные:

· крутящие моменты Мк в сечении вала;

· длины участков поперечных сечений вала;

 

2. Концептуальная постановка задачи.

Концептуальная модель. Может быть представлена в виде следующих гипотез:

1) Объектом моделирования является вал с действующими на него нагрузками. Вал рассматриваем как твердое тело;

2) В поперечном сечении  вала возникает единственный  силовой фактор – крутящий  момент Мк ;

3) кручение возникает  под действием внешних моментов, действующих в плоскостях, перпендикулярных продольной оси вала;

4) Относительный угол  закручивания – θ зависит от  крутящего момента и жесткости  поперечного сечения вала:

,

где - жесткость поперечного сечения вала круглого сечения при кручении.

Величина абсолютного угла закручивания:

3. Математическая постановка задачи.

Вычислить угол закручивания по формуле в зависимости от крутящего момента Мкр и момента инерции

Мк=f(х) ; .

 

 

Задача 18

 

Конструкция датчика представляет собой цилиндрический стакан 1 с поршнем 2 (Рис.2). поршень через шток 3 связан с исполнительным органом, который непосредственно регулирует давление жидкости в гидравлической системе. Изменение давления р в системе вызывает перемещение поршня датчика. Датчик через шток приводит исполнительный орган в состояние, возвращающее давление жидкости в системе на заданный уровень.

Выполнить подготовку задачи моделирования колебательного движения поршня в период неустойчивого режима работы системы, если в момент времени t=t0 поршень начал движение со скоростью v=v0. При моделировании полагать, что поршень жестко связан со штоком и движущимися элементами исполнительного органа, приведенная масса которых вместе с массой штока равна т2. Исследование колебательного движения произвести при отсутствии трения уплотнительных колец поршня о стенки цилиндра (т1=0,1 кг; т2=0,7 кг; t0=0; v0=1 м/с).

Рис.2

Рис.3

Решение

 

1. Содержательная постановка задачи.

 

Требуется выполнить подготовку задачи моделирования колебательного движения поршня в период неустойчивого режима работы системы, если в момент времени t=t0 поршень начал движение со скоростью v=v0.

 

2. Концептуальная постановка задачи.

 

Примем следующие предположения:

1. Объектом исследования  является поступательно движущееся  тело массой т (Рис.3), принимаемое за материальную точку.

2. Движение тела подчиняется  второму закону Ньютона,  

3. При малом сжатии  пружины возникающая в ней сила упругости определяется в соответствии с законом Гука, F=k·x, где x – величина сжатия пружины.

4. Тело находится под  действием двух сил: силы тяжести mg, силы упругости пружины.

5. В уравновешенном состоянии центр масс тела находится в положении с координатами (хр,ур).

6. При малом растяжении  пружины величину возникающей  в ней силы упругости можно  представить линейной зависимостью (закон Гука) Fe=cΔx, где Δх=х-хр – растяжение пружины (отклонение тела от положения равновесия хр), с – жесткость пружины. Направлена сила в сторону положения равновесия.

Принимая, что в некоторый момент пружину растянули на величину х0 и сообщили телу скорость v0 требуется определить координату и скорость тела как функцию времени.

Входные (исходные) данные:

• приведенная масса поршня со штоком m, кг;
• жесткость пружины k, Н/мм.
• момент времени t0=0;
• начальная скорость v0=1 м/с.

3. Математическая постановка задачи.

С математической точки зрения имеем задачу Коши с начальными условиями:

 

при начальных условиях: t(0)=x0; v(0)=v0.

Требуется найти решение данной задачи.

Решение задачи.

Введем обозначение для производных по времени:

            Тогда, принимая хр=0, обыкновенное дифференциальное уравнение можно переписать в виде:

,

Где - квадрат частоты свободных колебаний тела около положения равновесия. Период свободных колебаний выражается через циклическую частоту .

Уравнение называется дифференциальным уравнением свободных колебаний материальной точки. Точка совершает гармонические колебания. Решение данного однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами можно представить в виде:

,

Где а – амплитуда свободных колебаний, β – начальная фаза колебаний, определяемые из начальных условий.

,

Из выражений найдем а и :

, .

Решение рассматриваемой задачи можно получить численно, заменяя производные их приближенными разностными аналогами и переходя к системе разностных уравнений:

 

 

 

 

 

 

Задача 28

 

Приведен размеченный граф состояний системы S (Рис. 4). Написать систему дифференциальных уравнений Колмогорова и начальные условия для решения этой системы, если известно, что в начальный момент система находилась в состоянии S1.

Рис. 4

Решение

1. Содержательная постановка задачи.

 

Написать систему дифференциальных уравнений Колмогорова и начальные условия для решения этой системы.

 

2. Концептуальная постановка задачи.

 

Представим, что в данной задаче все переходы системы S из состояния в состояние происходят под действием каких-то потоков событий (поток вызов, поток отказов, поток восстановлений и т.д.). Процесс, протекающий в системе простейший. Он не обладает последствием: в нем «будущее» не зависит от «прошлого».

 Если система S находится в каком-то состоянии Si, из которого есть непосредственный переход в другое состояние Sj, то мы себе это будем представлять так, как будто на систему, пока она находится в состоянии Si, действует простейший поток событий, переводящий ее по стрелке  Si→ Sj. Как только появится первое событие этого потока, происходит «перескок» системы из Si в Sj.

На графе состояний у каждой стрелки проставлена интенсивность того потока событий, который переводит систему по данной стрелке.

λij – интенсивность потока событий, переводящего систему из состояния Si в Sj. Мы имеем размеченный граф.

 

3. Математическая постановка задачи.

Имея размеченный граф состояний системы, строим математическую модель данного процесса.

Рассмотрим систему S, имеющую 5 возможных состояний S1, S2, S3, S4, S5. Назовем вероятностью i - го состояния вероятность pi(t) того, что в момент времени t система будет находиться в состоянии Si. Очевидно, что для любого момента сумма всех вероятностей состояний равна единице:

Имея размеченный граф состояний, можно найти все вероятности состояний pi(t) как функции времени. Для этого составляем и решаем так называемое уравнение Колмогорова – особого вида дифференциальные уравнения, в которых неизвестными функциями являются вероятности состояний.

Рассмотрим вероятность состояния  p1(t). Это вероятность того, что в момент t система будет в состоянии S1. Придадим t малое приращение Δt и найдем p1(t+Δt) – вероятность того, что в момент t+Δt система будет в состоянии S1. Это может произойти следующим способом: в момент t система была в состоянии S1, а за время Δt не вышла из него.

Вероятность того, что в момент t система была в состоянии S1, равна p1(t). Эту вероятность нужно умножить на вероятность того, что находившись в момент t в состоянии  S1, система за время Δt не перейдет из него ни в S2, ни в S3. Суммарный поток событий, выводящий систему из состояния S1 будет простейшим, с интенсивностью λ12+λ13. Значит вероятность того, что за время Δt система выйдет из состояния S1 равна (λ12+λ13)Δt; вероятность того, что не выйдет 1-(λ12+λ13)Δt. Отсюда вероятность первого варианта  p1(t)[1-(λ12+λ13)Δt].

p1(t+Δt)= p1(t)[1-(λ12+λ13)Δt].

Раскроем квадратные скобки, перенесем  p1(t) в левую часть и разделим обе части на Δt:

Устремим Δt к нулю; слева получим в пределе производную функции p1(t). Таким образом, запишем дифференциальное уравнение для p1(t):

Отбрасываем аргумент t у функции p1:

.

Рассмотрим вероятность состояния p3(t).

Это может произойти двумя способами: либо 1) в момент t система была в состоянии S3, а за время Δt не вышла из него; либо 2) в момент t система была в состоянии S1 или в S5, а за время Δt перешла из него в состояние S3.

1. p3(t)[1-(λ34+λ32)Δt].
2. p1(t)λ13 Δt+ p5(t)λ53)Δt].

Аналогично для всех остальных состояний, напишем еще три дифференциальных уравнения. Соединив все уравнения, получим систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний:

Это – система пяти линейных дифференциальных уравнений с пятью неизвестными функциями р1, р2, р3, р4, р5.

Чтобы решить уравнения Колмогорова и найти вероятности состояний, задают начальные условия.

Начальное состояние системы S1, то в начальный момент (при t=0), р1(0)=1, а все остальные начальные вероятности равны нулю.

р1(0)=1, р2(0)= р3(0)= р4(0)=р5(0)=0.