Теория электрической связи

 
 

Рис.3. Кривые плотностей распределения W(x), W(z/0) и W(z/1). 
 
 

3.4. Вероятность ошибки  на выходе приемника 

     Рассчитаем  вероятность неправильного приема сигнала в рассматриваемом приемнике  для заданного вида сигнала и  способа приема, а также зависимость  Р_{ош ср}(h) с учетом реальной полосы пропускания приемника.

h²=P_c/P_ш=A²/(2·σ²)=(3·10^-3)²/(2·1,116·10^-6)=4,032;

 отсюда h=2,008;

Р_{ош ср}(h)=0,5·[1-Ф(Ö2·h)]=0,5·[1-Ф(2,84)]=0,002555; 

    Таблица зависимости 

.

 

      

Рис. 4. Зависимость 

. 
 

3.5.  Выигрыш в отношении  сигнал/шум при  применении оптимального  приемника 

     При оптимальной фильтрации основная задача – обеспечение максимального  отношения мощности сигнала к  мощности помехи на выходе. Максимально возможное отношение сигнал/шум: 

h₀²=A²·T/2·N₀=A²/2·N₀·V;

N₀ – спектральная плотность помехи.

Рассчитанное  соотношение сигнал/шум для данного  приема:

h₀²=A²/2·σ²;

σ²=N₀·Δf_0пт ;  N₀=Δf_0пт/σ²;

В нашем случае :

Δf_{0пт ДФМ}= 2/Т; Т=1/V;

h₀²/h²=(A²/2·N₀·V)/(A²/2·N₀·Δf_0пт)=Δf_0пт/V=2·V/V=2;

     Энергетический  выигрыш в отношении сигнал/шум  оптимального приемника по сравнению  с рассчитываемым энергетическим выигрышем  больше в 2 раза.

h₀²=2·h²=2·4,032=8,064;

h₀=2,839; 
 
 
 

3.6.  Максимальная возможная помехоустойчивость при заданном виде сигнала 

     Помехоустойчивостью системы связи называется способность  системы различать (восстанавливать) сигналы с заданной достоверностью. Задача определения помехоустойчивости всей системы в целом сложна. Поэтому часто определяют помехоустойчивость отдельных звеньев системы: приемника при заданном способе передачи, системы кодирования, или системы модуляции при заданном способе приема и т.д.

     Предельно достижимая помехоустойчивость называется, по Котельникову потенциальной помехоустойчивостью. Сравнение потенциальной и реальной помехоустойчивости устройства позволяет дать оценку качества реального устройства и найти еще неиспользованные резервы.

     Условия достижения:

Приемник должен быть оптимальным (воспроизводящий передаваемое сообщение наилучшим образом в смысле выбранного критерия, отношение сигнал/шум должно быть максимальным). Оптимальный приемник - это приемник с оптимальным фильтром и когерентным способом приема.

    Так как количественной мерой помехоустойчивости для данного вида сигнала является вероятность ошибочного приема, то нужно определить среднюю вероятность ошибки при оптимальном приеме: 

P_{ош.ФМ.мин}=0,5·[1-Ф(Ö2·h_о)]=0,5·[1-Ф(4,014)]=0,000039; 

S₁(t)=Acosω₀t;         S₂(t)=-Acosω₀t; 

Алгоритм z(t)·S₁(t) > σ² ·ln[p(S₁)/p(S₂)], то S₁ 

                       

Рис. 5. Схема, реализующая алгоритм оптимального приема 

           Если x(t) содержит сигнал S₁(t) = A cos w₀t, на выходе интегратора имеем напряжение, равное B_xUг (0) > 0 . Если же x(t) содержит  сигнал   S₂(t) = - A cos w₀t, то на выходе интегратора имеем напряжение, равное  B_xUг (0) < 0.  Напряжение на выходе интегратора сравнивается с пороговым напряжением, равным нулю, и в зависимости от результатов сравнения выдает сигналы S₁ или S₂.

      В рассмотренных здесь корреляционных  приемниках осуществляется  когерентный  прием сигналов, поэтому применяемые  в приемниках генераторы должны выдавать опорные сигналы S₁(t) и S₂(t), совпадающие с аналогичными принимаемыми сигналами с точностью до фазы. Поэтому для работы рассмотренных здесь корреляционных приемников требуется синхронизация местных генераторов сигналов. На рис. 5, например, пунктиром показана цепь синхронизации опорного генератора Г входным сигналом x(t) с помощью специального устройства фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ). 
 
 

3.7.  Принятие решения  приемником по  трем независимым  отсчетам 

     Для повышения помехоустойчивости приема дискретных двоичных сообщений, решение  о переданном символе принимается  не по одному отсчету на длительности элемента сигнала 0<t<T, а по трем некоррелированным отсчетам:

Z(t₁)=0,753 мВ.

Z(t₂)=0,452 мВ.

Z(t₃)=0,828 мВ.

     Для принятия решения о переданном символе, должна быть определена совместная трехмерная плотность распределения вероятностей для заданных трех отсчетов, т.е. W₃(Z/1) и W₃(Z/0). Для случая Гауссовского стационарного шума некоррелированные отсчеты смеси сигнала и шума будут независимыми. Следовательно, трехмерная плотность распределения вероятности будет равна произведению одномерных плотностей распределения каждого из отсчетов:

λ ₀=P(0)/P(1)=0,73/0,27=2,704; 

W(Z_i/S₁)=(1/√2πσ²)exp(-(Z_i-A)²/2σ²);

W(Z_i/S₂)=(1/√2πσ²)exp(-(Z_i+A)²/2σ²);

λ_Σ=W(Z₁Z₂Z₃|S₁)/W(Z₁Z₂Z₃|S₂)=W(Z₁|S₁)·W(Z₂|S₁)·W(Z₃|S₁)/ /W(Z₁|S₂)·W(Z₂|S₂)·W(Z₃|S₂)=

exp[(-(Z₁-A)²-(Z₂-A)²-(Z₃-A)²)/2σ²] /exp[(-(Z₁+A)²-(Z₂+A)²-(Z₃+A)²/2σ²]=

exp[(-(0,753·10^-3-3·10^-3)²-(0,452·10^-3-3·10^-3)²-(0,828·10^-3-3·10^-3)²)/2·1,116·10^-6]/    exp[(-(0,753·10^-3+3·10^-3)²-(0,452·10^-3+3·10^-3)²-(0,828·10^-3+3·10^-3)²/2·1,116·10^-6]=    exp(-7,284)/exp(-18,215)=55846,776>>2,704; 

     Так в нашем случае λ>>λ₀ и приемник зафиксирует сигнал “1” 
 
 

3.8.  Вероятность ошибки  при использовании  метода синхронного  накопления

    При синхронном накоплении происходит “n” отсчетов, которые суммируются. Этот метод применим в том случае, если на протяжении сигнала длительность t намного превышает интервал корреляции помехи, что в нашем случае применимо.

Отсчеты берутся  на расстоянии, равном интервалу корреляции. Решения приемником принимаются  по всей совокупности из N отсчетов. Это позволяет увеличить помехоустойчивость системы, но при этом скорость уменьшается в N раз.

     Рассчитаем  численные характеристики:

N=3;

h_Σ²=3·h²=3·4,032=12,096 следовательно h_Σ=3,478;

Р_ошΣ=0,5[1-Ф(√2∙h_Σ)]=0,5[1-Ф(√2∙3,478)]≈10^-8 
 
 

     В методе синхронного накопления амплитуда возросла в N раза, т.е., в нашем случае, в 3 раза. Помеха в разных сечениях имеет разные фазы и возрастает по мощности в 3 раза. Однако, сигнал накапливается лучше, чем помеха. За счет этого повышается помехоустойчивость системы. 
 
 
 
 
 
 
 
 

3.9.  Применение импульсно-  кодовой модуляции  для передачи аналоговых  сигналов 

    Рисунок 6. Преобразование непрерывного сообщения в сигнал ИКМ. 

     Преобразование  в АЦП состоит из трех операций: сначала непрерывное сообщение  подвергается дискретизации по времени через интервалы ; полученные отсчеты мгновенных значений b(k ) квантуются ,затем полученная последовательность квантованных значений b_кв(k ) передаваемого сообщения представляется посредством кодирования в виде последовательности кодовых комбинаций. Такое преобразование называется импульсно-кодовой модуляцией (ИКМ). Чаще всего кодирование здесь сводится к записи номера уровня в двоичной системе счисления. Преобразование непрерывных сообщений в цифровую форму в системах ИКМ сопровождается округлением мгновенных значений до ближайших разрешенных уровней квантования. Возникающая при этом погрешность  представления является неустранимой, но контролируемой (так как не превышает половины шага квантования). Выбрав малый шаг квантования, можно обеспечить эквивалентность по заданному критерию исходного и квантованного сообщений. Погрешность (ошибку) квантования, представляющую собой разность между исходным сообщением и сообщением, восстановленным по квантованным отсчетам - называют шумом квантования, который является недостатком ИКМ.

     Преимуществом ИКМ над другими видами модуляции  в том, что рост отношения мощности сообщения к мощности шума квантования  значительно быстрее.

  b(t) - непрерывное сообщение;

  ε(t) - погрешность квантования (шум квантования);

  b_кв(t)=b(t)+ε(t) - функция квантованных отсчетов (после фильтрации);

   П=1,8 - пик-фактор входного сигнала;

  n=10 - число разрядов двоичного кода (при передаче сигналов методом ИКМ);

 Число уровней квантования:

L=2ⁿ=2¹⁰=1024

  b_max = 2,9 В - максимальная амплитуда аналогового сигнала на входе АЦП;

  Шаг квантования:

  Δb=2∙b_max/(L-1)=2·2,9/1023=0,00567 В;

  Средняя мощность шума квантования равна:

  ε²(t)=Δb²/12= 0,00567²/12=2,679·10^-6 Вт;

   Мощность  сигнала равна:

  b²(2)=b²_max/П²=2,9²/1,8²=2,596 Вт.

  Отношение сигнал/шум можно рассчитать по формуле:

  h_кв²=b²(t)/ε²(t)=2,596/2,679·10^-6=0,969·10⁶

     Верность  квантованного сообщения зависит  от уровней квантования.    Выбирая  его достаточно большим можно  уменьшить мощность шума квантования, до любой допустимой величины. Добавление каждого двоичного символа в кодовой комбинации (увеличение разрядности кода) улучшает отношение сигнал/шум приблизительно на 6 дБ. С другой стороны, увеличение разрядности требует повышения быстродействия многоразрядных кодирующих устройств, а также соответствующего расширения полосы частот канала передачи.

3.10. Импульсная характеристика  согласованного фильтра

    Импульсная характеристика –  отклик фильтра на очень короткий  импульс (дельта-функцию). Импульсная переходная характеристика согласованного фильтра представляет собой зеркальное отображение временной функции сигнала.

g_опт(t)=(a/2π)∫S(-jω)e^-jω(t-to)dω t₀=nT

g(t)=A·S(T-t)

     Импульсная  характеристика согласованного фильтра  представляет собой зеркальное отображение S(t) с точностью до некоторого постоянного множителя и со сдвигом влево на величину Т.