Проектування вентилю для оптичної системи зв’язку на одновимірному фотонному кристалі

В ідеалізованному разі відсутності поглинання (ν = 0) при ω → Ω компоненти тензора необмежено зростають; взявши V ≠ 0, легко помітити, що цей гіромагнітний резонанс сдіигається та компоненти тензора діелектричної проникності залишаються обмеженими. Величина Ω - не що інше, як кругова частота обертання електронів в постійному магнітному нулі, вона називається гіроскопічною частотою.

 

3.1.4 Гіротропія намагніченого ферита.

 

Магнетикам властива гіротропія, обумовлена ​​прецесією вектора М в постійному магнітному полі [15]. Так звані ферити, володіючи феромагнітними властивостями, за характером діелектрічних втрат можуть бути віднесені до діелектриків: tgΔ « 1. Вони, таким чином, на відміну від феромагнітних металів «прозорі» для електромагнітного поля. Тому гіротропія феритів, що виявляється в діапазоні СВЧ, знайшла численні технічні застосування.

Нехай ферит намагнічений, так що внутрішнє постійне поле характеризується векторами Н₀ = z₀Н₀ и М₀ = z₀M₀. При цьому по відношенню до змінного поля середовище буде виступати як анізотропний магнетик з комплексною проникністю у вигляді тензора:

 

                                               (3.10)

 

де

 

 

 

причому

 

Ω = |γ|H₀                                                                         (3.12)

 

є власна частота прецесії, якщо втратами можна знехтувати. 
Взявши рівняння руху намагніченості [15], відзначимо спочатку, що у випадку постійного поля його ліва частина звертається в нуль, а отже [М, Н] = 0, тобто вектори М і H паралельні - середа ізотропна.

Нехай тепер М = М₀ + М(t) і Н = Н₀ + Н(t), де нульовими індексами відзначені постійні складові. Тоді отримуємо:

 

= γ{[M₀, Н(t)] + (М (t), H₀] + [М₀, H₀] + [М(t), Н(t)]}         (3.13)

 

Якщо, як це часто буває, |М(t)| « |М₀| и |Н(t)| « |H₀|, то квадратичним членом [М (t), H (t)] можна знехтувати, і рівняння (3.13) виявляється лінеаризованим щодо змінної складової.

Розглядаючи гармонійні коливання, застосуємо метод комплексних амплітуд, що означає заміну: М(t) → M_me^iωt и Н(t) → H_me^iωt. Тоді із (3.13) виходить:

 

[М₀, Н₀] = 0, iωМ_m = γ{[М₀, Н_m]+[М_m, Н₀]}.                 (3.14)

 

Взяв М₀ = z₀M₀, Н0 = z₀H₀ і представляючи друге рівняння в коордінатній формі, записуємо:

 

iωM_mx - γH₀M_my = -γM₀H_my,

γH₀M_mx + iωM_my = γM₀H_mx,                                           (3.15)

iωM_mz = 0

 

(γ < 0, компоненти вектора М_m перенесені ліворуч).

Вирішуючи цю систему рівнянь, отримуємо:

 

 

 

 

 

Отже, тензор магнітної проникності фериту μ, як виявилося, має таку ж структуру, як тензор діелектричної проникності плазми ε. Обидва середовища гіротропні, хвильові процеси в обох випадках аналогічні. 
Осмислюючи причину гіротропії намагніченого фериту, треба мати на увазі, що постійне магнітне поле створює виділений напрямок, біля якого відбувається прецесія вектора М. Наближення ω до власної частоти прецесії Ω обумовлює ферромагнітний резонанс середовища. Оскільки в виразах (3.11) нe враховані втрати, μ ┴ і α при резопансе перетворюється в нескінченність. У спрощеному уявленні збіг частот ω і Ω означає, що процесійний рух М робить один цикл синхронно з «хитанням» результуючого вектора Н з положення Н₀ - Н_m в положення Н₀ + Н_m (рис. 3.3). Оскільки H задає миттєву вісь прецесії, її радіус зростає.

 

Рис. 3.3 - Прецессія вектора М

 

Викладена теорія є ідеалізованою вже в силу допущеної лінеаризації рівняння (3.13). Облік втрат можна було б зробити, взявши рівняння Ландау - Ліфшиця; відповідні формули можна знайти в спеціальній літературі. Але і цього для практичних цілей недостатньо. Для визначення компонент тензора μ реального фериту використовуються спеціальні вимірювання. Величини μ_Т, α і μ_L в силу існування втрат комплексні.

На рис. 3.4 показаний характер залежностей цих величин від напруженості постійного поля Н₀, одержуваних шляхом вимірювань.

Рис. 3.4 - Залежності компонент тензора μ та величини α феррита від від напруженості постійного поля Н₀

 

Зауважимо, що для обліку поглинання можна ввести поняття власної комплексної частоти прецесії = Ω’ + iΩ”. При цьому в формулах (3.11) робиться підстановка . У випадку досить вузькою резонансної кривої (рис.3.4) вважають Ω’ = Ω, Ω” = ΔΩ = ΔH₀|γ|, де ΔН₀ півширина резонансної кривої.

 

3.1.5 Поля і хвилі в гіротропних середовищах. Запис рівнянь Максвела

 

Для дослідження різних вільних електромагнітних полів в гіротропних середовищах, які є рішеннями однорідних рівнянь Максвелла:

 

rot _m = iωε₀ε_m,             rot _m = - iωμ₀μ_m                      (3.17)

 

Зробимо докладний запис цих рівнянь в декартових координатах.

Спочатку візьмемо випадок магнетика (фериту), який в постійному магнітному полі Н₀ = z₀Н₀ для поля змінного проявляє себе як гіротропне середовище, що характеризується тензором μ виду (3.10). Таким чином, в (3.17) магнітна проникність μ є зазначеним тензором, а діелектрична проникність ε - скаляр.

Тому рівняння (3.17) приймають таку форму:

 

 

 

 

У разі подібним же чином намагніченої плазми (Но = z₀H₀) μ — скаляр, а ε —тензор вида (3.7), так що тепер отримуемо:

 

 

 

 

Системи рівнянь (3.18) і (3.19) переходять одна в одну при наступній заміні величин:

 

скаляри),

 

 

 

Записані співвідношення узагальнюють принцип подвійності для-однорідних рівнянь Максвелла для гіротропних середовищ.

Існування правил заміни (3.20) означає, що немає необхідності окремо знаходити рішення систем рівнянь (3.18) і (3.19). Можна, наприклад, проводити всі операції тільки з системою (3.18), тобто шукати поля в гіротропному магнетику. Застосовуючи до готових рішень системи (3.18) співвідношення (3.20), ми отримаємо рішення системи (3.19), тобто знайдемо поля в гіротропній плазмі.[15]

 

3.1.6 Поперечні хвилі. Подвійне заломлення

 

Будемо розглядати пласкі одпорідні хвилі, що поширюються в гіротропному магнетику перпендикулярно до напрямку постійного намагнічування z. Всі поперечні напрямки рівноправні, і ми можемо в якості напрямку поширення вибрати вісь х. Тоді всі комплексні амплітуди будуть функціями координати х виду ехр(-iГx), де Г-невідома поки постійна поширення; від координат у і z поле не залежить.

Враховуючи сказане, конкретизуємо систему рівнянь (3.18).

При цьому будемо використовувати  позначення: , и т. д.

В результаті отримуємо:

 

,                              ,

,                ,

  ,                                                  (3.21)

 

Неважко помітити, що ці шість рівнянь утворюють дві незалежні  системи. Одна з них включає другий рядок першого стовбчика і останній - другого. Дійсно, тільки ці два рівняння містять невідомі и  . Знаходячи добуток їх лівих і відповідно правих частин, отримуємо наступне рівняння щодо постійної розповсюдження:

                                                    (3.22)

 

Неважко виписати, наступне рішення даної системи рівнянь:

 

 

де

  

                

Це так звана звичайна хвиля, що розповсюджується вздовж осі х. Дійсно, мова йде про T-хвилю найпростішого виду. 
Решта в (3.21) чотири рівняння складають другу незалежну систему. Із них находимо:

 

 

                                     

и виражаємо поле:

 

 

 

 

де

 

           

 

Ця хвиля, що розповсюджується уздовж осі х, називається незвичайною. Як видно, вона є H-хвилею, так як має поздовжню магнітну компоненту H_x.Відзначимо, що у разі звичайної хвилі в гпротронному магнетику вектор Н коллінеарен напрямку постійного намагнічуваннія, а в разі незвичайної хвилі - вектор Е.

Як приклад, що показує роль цих хвиль, розглянемо так зване подвійне заломлення на кордоні з гіротропних магнетиком. Нехай він займає півпростір заштрихованої на рис. 3.5, а постійне магнітне поле Н₀, що обумовлює гіротропію, направлено перпендикулярно площині креслення.

 

Поляризація падаючої хвилі (промінь 1), яка розповсюджується в ізотропному півпросторі, довільна. Розкладаючи її на хвилі пер-пендікулярної і паралельної поляризації, бачимо, що в одному випадку вектор Е, а в іншому - вектор Н колінеарні Н₀. Етo означає, що одна з виділених падаючих хвиль здатна порушити в гпротропному середовищі тільки незвичайну, а інша - звичайну хвилю. Так як фазові швидкості останніх різні. то відповідні переломлені промені не збігаються. Їх напрями неважко знайти, використовуючи другий закон Спелліуса:

 

 

              

(передбачається що втрати відсутні). показниками заломлення n₁ и n_об,  будуть величини Г_об/(ω/с) и Г_нб/(ω/с).

Переходячи до випадку гпротропной плазми, обмежимося застосуванням принципу подвійності до вже отриманих результатів (3.23) - (3.27).

 

Таким чином:

 

 

 

де

 

 

(звичайна хвиля) і

 

 

 

де

 

 

 (незвичайна хвиля).

У разі гіротропної плазми при вже обговорюваних обставинах також буде спостерігатися подвійне заломлення. Вектор Н_0, як і раніше, повинен бути перпендикулярен площині падіння хвилі. Формули (3.28) зберігають силу; тепер n_об = и n_нб =.

Треба тільки мати на увазі, що в даному випадку звичайна хвиля має електричну компоненту, колінеарну Н₀, а незвичайна хвиля - магнітну. Відповідними компонентами падаючої хвилі породжуються дві заломлені. Більш детально це явище розглянуто нижче.[15]

 

3.1.7 Одноосний кристал

 

В одноосному кристалі п_хх = n_vv = п₀ ≠ п_zz = п_к, тому головна вісь z фізично виділена. Її називають оптичною віссю кристала. Будь-яка світлова хвиля, що розповсюджується вздовж оптичної осі, зберігає свою поляризацію, при цьому швидкість хвилі не залежить від її поляризації [20]. В одноосному кристалі такий напрямок тільки один.

Нехай плоска монохроматична світлова хвиля поширюється в одноосному анізотропному кристалі в деякому напрямку, який характеризується хвильовим вектором k. Допустимі стани поляризації хвилі визначаються наступними обставинами.

 З одного боку, через анізотропію кристалу вектори D і E світлової хвилі, взагалі кажучи, не паралельні один одному. З іншого боку, в силу рівнянь Максвелла вектори D, E і k повинні лежати в одній площині, тобто повинні бути компланарними.

Перша з цих умов (неколінеарність векторів D і Е) математично ви ¬ ражается формулами, які для одноосного кристала можуть бути записані в вигляді:

 

D_x = n₀²E_x, D_y = n₀ ²_y, D_z = n_e²E_z.                   (3.33)

 

Умову компланарності векторів D, E і k можна представити у вигляді рівності нулю змішаного добутку векторів:

 

                                    (3.34)

 

Підкреслимо, що рівняння (3.33) і (3.34) є незалежними: (3.33) являють собою матеріальні рівняння середовища, а (3.34) є наслідок рівнянь Максвелла. Всі разом вони вони можуть виконуватися не для всякої поляризації хвилі, а лише для деяких обраних поляризацій, які і називаються власними поляризаціями світлової хвилі в анізотропному кристалі.

Так як вектор перпендикулярний осі z, то змішаний добуток:

 

 

 

вектори z₀, D и E повинні бути компланарні. Умови (3.34), (3.35) визначають можливі стани поляризації світлової хвилі в одноосному кристалі.

Обидві зазначені умови виконуються в двох випадках. По-перше, якщо вектор D | | E і, отже,

 

 

 

По-друге, якщо вектор D лежить в площині векторів z₀ і k, що математично можна записати у вигляді рівняння:

 

 

 

Обидві отримані умови зручно виразити, якщо ввести поняття головної площини, в якій лежать хвильовий вектор світлової хвилі k і оптична вісь z₀ одноосного анізотропного кристала.

Умова (3.36) виконується для хвилі, поляризованої перпендикулярно главній площині (звичайна хвиля). Вектор поляризації цієї хвилі перпендикулярний оптичній осі кристала, вектори и паралельні, швидкість звичайної хвилі v₀ не залежить від напряму розповсюдження в кристалі.

Звичайні хвилі в кристалах  поводяться, як хвилі в ізотропних середовищах. Тому хвильові поверхні випромінювання точкового джерела є сферами. Звідси і назва - звичайна хвиля.

Умова (3.37) виконується для хвилі, поляризованої в головній площині (незвичайною хвиля). Вектор індукції цієї хвилі не перпендикулярний оптичній осі кристала, а вектори и не паралельні друг другу (Рис. 3.6), швидкість поширення незвичайної хвилі ve залежить від напрямку в кристалі. Вектори и , взаємно перпендикулярні.

Рис. 3.6 - Поляризація звичайної і незвичайної світлових хвиль в одноосному анізотропному кристалі. Головна площину (а), поляризациї звичайної хвилі (б), поляризація незвичайною хвилі (в), взаємна орієнтація звичайної і незвичайної хвиль (г). Пунктирною лінією з'єднані кінці векторів, що лежать в одній площині.

 

Отже, в одноосному анізотропному кристалі для будь-якого напрямку k існує два дозволених ("власних") напряму поляризації світлової хвилі. Одне з них перпендикулярно головній площині, інше їй паралельно. Хвиля з довільним станом поляризації розпадається в кристалі на дві лінійно поляризовані хвилі зі взаємно ортогональними ("власними") напрямами поляризації. Швидкості поширення цих хвиль різні. Швидкість звичайної хвилі не залежить від напрямку поширення і дорівнює v₀ = c/n₀. Швидкість незвичайної хвилі залежить від напрямку поширення в кристалі і лежить в діапазоні між с/n₀ і с/n_e. Останнє означає, що показник заломлення для незвичайної хвилі залежить від напрямку поширення.