Перетворення кодів з однієї системи числення в іншу

Лабораторна робота №2 

Тема:    Перетворення кодів з однієї системи числення в іншу.

Мета: Отримати навички переведення натуральних чисел між системами числення з різними основами.

Завдання:

    Згідно  номера по списку в журналі викладача необхідно вибрати десяткове число K із табл. 1.

    Таблиця 1 – Вихідні дані

Необхідно: перевести взяте з табл. 1 число K між десятковою, двійковою, вісімковою та шістнадцятковою системами числення.

Теоретичні  дані:

    Перш  за все слід відзначити, що найбільш звичною системою числення для людини є десяткова система. Саме вона використовується у повсякденному житті: під час навчання, при розрахунках в магазині, в таксі/маршрутці/трамваї тощо. Крім десяткової системи числення для тих чи інших цілей можуть використовуватися двійкова і кратні до неї – вісімкова та шістнадцяткова – системи числення.

    В теорії інформації, а саме в тій її частині, що стосується перетворення кодів з однієї системи числення в іншу, одним із основних є поняття алфавіту (позначається ) з основою .

    Алфавіт – це множина цифр , за допомогою яких складається число .

    В загальному вигляді поняття алфавіту можна представити у вигляді  виразу:

         (1)

де  – загальна кількість цифр алфавіту .

    Загальна  кількість  цифр алфавіту називається основою системи числення.

    Існують різноманітні алфавіти, що відрізняються загальною кількістю цифр, які можуть використовуватися при складанні числа.

    Для ілюстрації приведемо в табл. 2 вказані характеристики найбільш вживаних систем числення:

    Таблиця 2 – Характеристики алфавітів найбільш поширених систем числення

^* – символи, які позначають в алфавіті цифри, які відповідають десятковим числам 10, 11, 12, 13, 14 та 15 відповідно.

    Таким чином, в якості коректних двійкових чисел можна вказати такі: 100111, 111, 0, 10; тоді як число 100211 неможливе, адже в двійковому алфавіті немає цифри "2". З аналогічних причин можливі шістнадцяткові числа 106, E1F, 1BC, 589, проте неможливі 1I6, O04, 3P24.

    Основа системи числення деякого числа вказується після нього у вигляді нижнього індексу, наприклад, запис 2009₁₀ означає десяткове число 2009.

    Для зручності завдання на перекодування чисел з однієї системи числення в іншу запишемо у вигляді відповідності між їх основами: (пряме перекодування), або (пряме перекодування з подальшою перевіркою).

    Для ілюстрації даного положення розглянемо три вирази:

    1) = 7861₁₀,  = , 

    2) = 7861₁₀,  = ,

    3) = 7861₁₀,  = .

    Перший  вираз слід інтерпретувати так: дано десяткове число 7861, його необхідно перекодувати з десяткової системи числення в двійкову, з якої в вісімкову, а потім число з вісімкової системи – у шістнадцяткову.

    Другий  вираз передбачає те саме, що і перший вираз, за винятком того, що після кожного прямого перекодування необхідно додатково виконати перевірку – зворотне перекодування.

    Третій  вираз вимагає переведення десяткового числа лише з десяткової системи числення у двійкову, вісімкову та шістнадцяткову, відповідно, з виконанням перевірок після кожного перекодування.

    З цифр алфавіту можна скласти велику кількість чисел :

                   ,      (2)

де  –кількість цифр числа .

    Порядковий  номер цифр числа  визначається справа наліво, починаючи з нуля і називається розрядом цифр. Таким чином в числі (2) є розрядів: від 0-го розряду (крайня цифра справа, також називається молодшим розрядом) до –1-го розряду (крайня цифра зліва, також називається старшим розрядом). Наприклад, можна розглядати як п’ятирозрядне двійкове число (нуль в старшому розряді можна не писати, тобто ).

      Враховуючи, що у числі розрядів (цифр), а в алфавіті є цифр, можна визначити загальну кількість -розрядних чисел як:

              (3)

      Таким чином, наприклад, різних чотирьохрозрядних чисел в алфавіті можна отримати (адже , =2 та =4), а за допомогою алфавіту – вже чисел тієї ж розрядності.

    Питання для самоперевірки засвоєння основних теоретичних положень:

• для числа = 2009 вкажіть кількість розрядів , кількість використаних цифр із алфавіту та основу прийнятої системи числення;
• для вісімкового числа 123456 вкажіть цифри, що знаходяться в першому, в останньому та в -му розрядах;
• вкажіть всі коректні числа із наступного списку, враховуючи множини цифр розглянутих вище алфавітів (див. табл. 2): 20₂, 10O₂, 456₁₆, 1011₂, 1011₈, 58₁₀, 58₁₆, 58₈, 15₁₆, 16₁₆, AІ98₁₆, 101₁₆, 1₀, 4СF₁₀, 4GF₁₆ (увага: можуть бути літери, які схожі на десяткові цифри);
• вкажіть коректні чотирирозрядні числа: 0011₂, 210FF₁₆, H₂O, 1021₈, 0222₁₀, H1N1_16, AD1A₈, 5A11F₁₆, 2222₂, 01101₈, 1714₈, 53C7₁₆;

–  визначіть загальну кількість різних трирозрядних чисел, що може бути сформована за допомогою алфавітів , , та .

Вирішення задачі:

    Для ілюстрації вирішення поставленої  задачі, із табл. 1 вибрано десяткове  число 234. З врахуванням викладеного вище матеріалу, умову поставленої задачі можна скорочено зобразити наступним чином:

    Умова задачі:  = 234₁₀, .

    Розглянемо  декілька способів перекодування чисел  з однієї системи числення в іншу.

    1-й  спосіб перекодування чисел.

    Перекодування чисел згідно з даним способом здійснюється за допомогою ділення числа на за допомогою арифметики з основою . Цифрами числа в системі числення з основою будуть залишки від ділення. Зручно користуватися цим способом при переведенні з десяткової системи числення ( ) в будь-яку іншу, оскільки використовується десяткова арифметика.

    Нижче проілюстрований порядок перекодування чисел з десяткової системи числення в двійкову, вісімкову та шістнадцяткову:

    Умова 1:  = 234₁₀, .

    Виконаємо дане перекодування в три етапи, при цьому початкове число  на цих етапах становить  = 234₁₀:

    1) ,              2) ,     3) .