Модели индивидуального риска

Федеральное государственное образовательное  учреждение высшего профессионального  образования «Финансовый университет  при Правительстве Российской Федерации» 

Кафедра «Математическое моделирование экономических процессов» 
 
 
 

Модели  индивидуального риска.

Курсовая работа. 
 
 
 

Выполнил:

 студент  группы МЭК 3-1

Ткаченко  П.В.

      Научный руководитель:                                                                                                                                      к.э.н., доцент Гринева Н.В. 
 
 
 

Москва 2011г.

Содержание.

Введение…………………………………………………………………...3стр.

1. модель индивидуального  риска. ……………………………………..……6стр.

        Пример ……………………………………………………………......8стр.

2. Методы  определения суммы исков. ...………………………………...9стр.

3. Расчет  страховых тарифов по методике Росстрахнадзора. ………..11стр.

               Пример.. ……………………………………………………..….15 стр.

Заключение …………………………………………………….................18стр.

Список литературы ……………………………………............................20стр. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      ВВЕДЕНИЕ.

      Для управления работой страховой компании важную роль играют математические модели, ставящие своей целью описание разных видов деятельности страховой компании. Изучение таких моделей и проведение на их основе расчетов важных характеристик работы страховой компании (таких как расчет тарифной ставки, вероятности разорения, величины страхового резерва в выбранные моменты времени и др.), позволяет предлагать примеры управленческих решений, из которых управляющие компанией могут делать свой выбор.

      Классические  работы по моделям рисков дают следующую классификацию моделей риска:

      А) модель индивидуального риска, если рассматривается совокупность объектов страхования (страховой портфель), сформированных в один момент времени ( практически за очень короткий срок, значительно меньший срока действия договора). Срок действия этих договоров один и тот же. В течение этого срока могут происходить страховые события, приводящие к необходимости делать выплаты по поступающим искам.

      В) Модель коллективного риска, (динамическая модель),в рамках которой рассматривается возможность заключения страховых договоров в моменты времени, образующие некоторый случайный процесс, каждый договор имеет свою длительность действия ,и в течении периода действия договора могут наступать страховые случаи, по которым страховая компания должна делать выплаты по искам.

      Имеется много работ в которых рассматриваются  результаты деятельности страховой  компании на конечном интервале времени, а также работы, в которых бесконечен интервал времени функционирования страховой компании . В таких моделях предполагается наличие начального резерва (капитала) ,роль которого состоит в смягчении последствий необходимости делать выплаты больших страховых выплат (либо из-за большого числа происшедших страховых событий или из-за больших ущербов по поступившим искам. ).

      Типичными решаемыми задачами в рамках этих моделей являются:

      1) вычисление распределения суммарного  иска, т.е. суммы всех выплат (убытков)  страховой компании по всем  страховым договорам, образующих  портфель (в ситуации индивидуальной модели) или по итогам деятельности в течении некоторого интервала времени ( в рамках коллективной модели).

      2) Вычисление или оценка страховых  премий, достаточных для (так называемого  технического) не разорения при  котором у компании хватает средств для погашения всех поступивших исков. Как правило, обычно требуют выполнения не разорения с вероятностью, близкой к 1.

      При вычислении вероятности разорения в условиях модели индивидуального риска, решении задачи сводится к вычислению вероятности превышения уровня суммой всех выплат по всем искам страхового портфеля.

      При вычислении вероятности разорения  в условиях коллективной модели возникают  дополнительные проблемы учета того, чтобы суммарные выплаты по поступающим искам не превосходили в каждый момент времени имеющихся на этот момент резервов.

      Применяемые при этом методы решения задачи основаны на глубоких результатах и методах теории случайных процессов.

      Для анализа задач страхования важным вопросом является анализ и выделение различных видов (классов) так называемых страховых рисков. Суть таких рисков – наличие возможности разного уровня финансовых потерь при наступлении (редких ) неприятных событий для (физических и юридических ) лиц потенциальных клиентов страховых компаний.

      При анализе рисков, при построении математических моделей рисков важными

      проблемами  представляются

      - установление причинных и следственных  взаимосвязей разных рисков,

      - установление и построение модели  вероятностных распределений и  вероятностных характеристик рисков,

      - установление тяжести материальных потерь при наступлении страхового случая, что представляет существенный интерес для страховых компаний с точки зрения оценки необходимости привлечение к страхованию данного риска дополнительно других страховщиков (для использования процедуры перестрахования – при которой несколько страховых компаний берут на себя обязательства по возмещению разных частей ущерба , который может быть следствием наступления страхового случая, примером которого является ущерб в несколько млрд. долларов вследствие происшедшего в 1994 г в Калифорнии землетрясении и 1992 г урагана во Флориде). 

1. модель индивидуального риска.

      Данная  модель используется для определения  страховых тарифов, резервов страхования  и перестрахования. Пусть S- случайные финансовые потери страховой компании в течение некоторого фиксированного интервала времени исполнения страховых контрактов. Тогда S - это СВ, распределение которой необходимо знать для определения рационального ведения дел страховых компаний.

      Модель  индивидуального риска принимается:

где - потери, приходящиеся на i-ый страховой контракт, n-число исполняемых страховых контрактов.

      Потери  , называются суммами индивидуальных исков, S наз. совокупным иском. Положим, что - независимые СВ. Кроме того, рассматриваемая модель не учитывает изменения стоимости денег во времени.

      Пусть n - известно и фиксировано к началу рассматриваемого периода времени, n – число застрахованных.

      В качестве примера рассмотрим модель страхования жизни. При страховании  жизни на один год, страховая компания соглашается заплатить сумму  кратную b рублей, если застраховавшийся умирает в течение срока исполнения контракта, и ничего не платит, если застраховавшийся проживет этот год.

      Пусть q - вероятность выплаты в течение года. СВ иска X может быть описана с помощью своего распределения, которое определяется распределением вероятности или функцией распределения.

      Распределение вероятности имеет вид:

      

и соответственно функция распределения имеет  вид:

      

      Сумма индивидуального иска X может быть  представлена в виде:

      

,                            (*)

      где b – сумма, выплачиваемая в результате смерти,

            I – индикатор события,

      

      Вероятно, что

      

,

      

.

      Найдем  характеристики этой СВ:

      

,

      

,

      

,

      тогда

      

      

      Построим  более общую модель, в которой  сумма выплаты по контракту является также СВ и в течение контрактного срока может произойти несколько  выплат по одному контракту. Речь идет о контрактах, связанных со страхование  здоровья, автомобиля и др. собственности. Общую формулу (*) тогда можно переписать в виде:

      

,

      где X – СВ выплат за рассматриваемый период,

             B – полная сумма выплат по контракту в течении этого срока,

             I – индикатор события, что хотя бы одна выплата произойдет.

     Распределения I и B находятся в зависимости от рассматриваемой ситуации.

     Пример.

     Рассмотрим  пример: рассмотрим одногодичный срок страховой жизни, оплачивающего  увеличенное пособие в случае непредвиденной смерти. Если смерть непредвиденная, то пособие равно 50 000, во всех остальных случаях смерти пособие равно 25 000. пусть для конкретной личности, учитывая ее возраст, профессию и здоровье, вероятность непредвиденной смерти рана 0,0005, а вероятность смерти в других случаях равна 0,002. исходя из этого:

,

тогда

пользуясь формулами  для условных вероятностей:

 

2. Методы определения суммы исков.

     Модели  индивидуального риска, иски страховых  организаций представляются как  сумма исков множества отдельных  страхователей. Естественной задачей  является определение распределения  суммы исков.

     Существует  два метода определения этой суммы, основанные на распределении суммы независимой СВ.

     Первый  метод носит название «МЕТОД СВЕРТОК»:

,

- для дискретных СВ.

- для непрерывных СВ.

     Операция, описанная данными формулами, называется сверткой пары функций распределения  .

     Операция  свертки может быть очень громоздкой при вычислении.

Второй  метод вычисления распределения  суммы независимой СВ основан  на единственности производящей функции  моментов:

,

,

  (**)

Единственность  распределения (**) позволяет вычислить распределение S.