Задачи по эконометрике

 

Требуется:

1. Построить  линейное уравнение парной регрессии  у от х.

2. Рассчитать  линейный коэффициент парной  корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.                          

3. Оценить  статистическую значимость параметров  регрессии и корреляции.

4. Выполнить  прогноз заработной платы у при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума х, составляющем 107% от среднего уровня.

5. Оценить  точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал. 

Решение:

1. Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу 6.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

             Таблица 6

 
 

Находим параметры  регрессии

 

     

Уравнение регрессии: у = 71,472+0,9793х.

     

Параметр регрессии  позволяет сделать вывод, что  с увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 0,98 руб. (или 98 коп.).

     

2. Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции:

     

     

Значение коэффициента корреляции 0,61, говорит о наличии заметной линейной связи между признаками.

     

Коэффициент детерминации:

     

     

Это означает, что  37,2% вариации заработной платы (y) объясняется вариацией фактора x – среднедушевого прожиточного минимума.

     

Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

     

     

Качество построенной  модели оценивается как хорошее, так как A не превышает 10%.

     

3. Оценку статистической значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью F -критерия Фишера. Фактическое значение F -критерия составит:

. 

     

Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы k₁ =1 и k₂ =12 - 2 =10 составляет F_табл = 4,96. Так как F_факт=5,92> F_табл = 4,96, то уравнение регрессии признается статистически значимым.

     

Оценку статистической значимости параметров регрессии и корреляции проведем с помощью t -статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из параметров.

     

Табличное значение t -критерия для числа степеней свободы df =n-2=12-2=10 и уровня значимости a=0,05 составит t_табл = 2,23.

     

Определим стандартные  ошибки (остаточная дисперсия на одну степень свободы  ):

     

Тогда

     

     

     

     

Фактические значения t –статистики и

превосходят табличные значение поэтому статистически значимы. Фактическое значение t –статистики меньше табличного поэтому статистически незначимо.

     

Рассчитаем доверительные  интервалы для параметров регрессии  a и b. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя: 

 

     

Доверительные интервалы 

 

     

Анализ верхней  и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью p =1-a = 0,95 параметр b, находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. являются статистически значимыми и существенно отличны от нуля. 

     

4. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение прожиточного минимума составит:

тогда индивидуальное прогнозное значение заработной платы составит:

= 71,472+0,9793*91,6=161,1 руб. 

     

5. Ошибка прогноза составит:

     

     

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:

     

 

     

Доверительный интервал прогноза:

     

 

     

Выполненный прогноз  среднемесячной заработной платы является надежным ( p =1-a =1- 0,05 = 0,95) и находится в пределах от 125,42 руб до 196,78 руб. 

Задача  №3 

     

По 30 территориям  России имеются данные, представленные в табл. 3.

            Таблица 3

Признак	Среднее значение	Среднее квадратическое отклонение	Линейный коэффициент парной корреляции
Среднедневной душевой доход, руб., z	91,8	8,44
Среднедневная заработная плата одного работающего, руб., x	51,9	10,86
Средний возраст безработного, лет, y	36,5	-2,42

 

     Требуется:

     1. Построить уравнение множественной  регрессии в стандартизованной и естественной форме; рассчитать частные коэффициенты эластичности, сравнить их с и , пояснить различия между ними.

     2. Рассчитать линейные коэффициенты  частной корреляции и коэффициент множественной корреляции, сравнить их с линейными коэффициентами парной корреляции, пояснить различия между ними.

     3. Рассчитать общий и частные  F-критерии Фишера. 
 

Решение:

     1. Линейное уравнение множественной регрессии z от x и y имеет вид: 

 

     Для расчета его параметров применим метод стандартизации переменных и  построим искомое уравнение в стандартизованном масштабе: 

 

     Расчет  β - коэффициентов выполним по формулам: 

 
 

     Получим уравнение множественной регрессии  в стандартизованной форме: 

или

 

     Для построения уравнения естественной форме рассчитаем и , используя формулы для перехода от к :

              

      

              

     Значение  а определим из соотношения: 

 

     Следовательно, уравнение множественной регрессии  в естественной форме примет вид: 

 

     Для характеристики относительной силы влияния  x и y на z рассчитаем средние коэффициенты эластичности: 

 

 

     С увеличением средней заработной платы x на 1% от ее среднего уровня средний душевой доход z возрастает на 0,385% от своего среднего уровня; при повышении среднего возраста безработного y на 1% среднедушевой доход z увеличивается на 0,229% от своего среднего уровня. Очевидно, что сила влияния средней заработной платы x на средний душевой доход z оказалась большей, чем сила влияния среднего возраста безработного y. К аналогичным выводам о силе связи приходим при сравнении модулей значений и :       

 

     Различия  в силе влияния фактора на результат, полученные при сравнении , и , объясняются тем, что коэффициент эластичности исходит из соотношения средних, а β – коэффициент - из соотношения средних квадратических отклонений. 

     2. Линейные коэффициенты частной корреляции рассчитаем по рекуррентной формуле: 

 

     Если  сравнить значения коэффициентов парной и частной корреляции, то приходим к выводу, что из-за слабой межфакторной связи ( ) коэффициенты парной и частной корреляции отличаются незначительно: выводы о тесноте и направлении связи на основе коэффициентов парной и частной корреляции совпадают: 

;     ;      ;

;    ;     . 

     Расчет  линейного коэффициента множественной  корреляции выполним по формуле: 

 

     Зависимость z от x и y характеризуется как умеренная, в которой 46,8% ( ) вариации среднего душевого дохода определяются вариацией учтенных в модели факторов: средней заработной платы и среднего возраста безработного. Прочие факторы, не включенные в модель, составляют соответственно 53,2% (т.к. 100%-72%) от общей вариации z. 

     3. Общий F-критерий Фишера проверяет гипотезу о статистической значимости уравнения регрессии и показателя тесноты статистической связи ( ): 

 

     По  таблице значений F-критерий Фишера при уровне значимости , и степенях свободы .

     Сравнивая и , приходим к выводу о необходимости отклонить гипотезу , так как < . Делаем заключение с вероятностью о статистической значимости уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи , которые сформировались под неслучайным воздействием факторов x.