Средние величины и показатели вариации

      х - сумма отдельных варьирующих  вариантов явлений статистической совокупности,

      w - x f,

      f - веса.

      При использовании гармонической взвешенной выявляют веса и таким образом получают тот же результат, который дал бы расчёт по средней арифметической взвешенной, если бы были известны все необходимые для этого данные.

      Средняя геометрическая

      Средняя геометрическая применяется в тех  случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряжу динамики, т.е. характеризует средний коэффициент роста.

      Наиболее  широкое применение средняя геометрическая получила для определения средних темпов изменения в рядах динамики, а также в рядах распределения.

      Средняя квадратическая и кубическая

      В ряде случаев в экономической  практике возникает потребность  расчета среднего размера признака, выраженного в квадратных или кубических единицах измерения. Тогда применятся средняя квадратическая и средняя кубическая.

      Мода  и медиана

      Наряду  с рассмотренными выше средними в  качестве статистических характеристик  вариационных рядов рассчитываются так называемые структурные средние - мода и медиана.

      Модой (Мо) называется наиболее часто встречающееся  значение признака у единиц совокупности. Для дискретных рядов - этот вариант, имеющий наибольшую частоту.

      В интервальных вариационных рядах можно  определить, прежде всего, интервал, в котором находится мода, т.е. так называемый модальный интервал. В вариационном ряду с равными интервалами модальный интервал определяется по наибольшей частоте, в рядах с неравными интервалами по наибольшей плотности распределения.

      Для определения моды в рядах с равными интервалами пользуются формулой следующего вида:

      где:

      Хн - нижняя граница модального интервала,

      h - величина интервала,

      f1, f2, f3 - частоты (или частности) соответственно  предмодального, модального и послемодального  интервалов.

      В интервальном ряду моду можно найти  графически. Для этого в самом  высоком столбце гистограммы  от границ двух смежных столбцов проводят две линии. Затем из точки их пересечения  опускают перпендикуляр на ось абсцисс. Значение признака на оси абсцисс, соответствующее перпендикуляру, и будет модой.

      Во  многих случаях при характеристике совокупности в качестве обобщённого  показателя отдаётся предпочтение моде, а не средней арифметической.

      Так, при изучении цен на рынке фиксируется  и изучается в динамике не средняя цена на определённую продукцию, а модальная; при изучении спроса населения на определённый размер обуви или одежды представляет интерес определение модального размера обуви, а средний размер как таковой здесь вообще не имеет значения. Мода представляет не только самостоятельный интерес, но и исполняет роль вспомогательного показателя при средней, характеризуя её типичность. Если средняя арифметическая близка по значению к моде, значит она типична.

      Медианой (Ме) называется значение признака у  средней единицы ранжированного ряда. (Ранжированным называют ряд, у которого значения признака записаны в порядке возрастания или убывания.)

      Чтобы найти медиану, сначала определяется её порядковый номер. Для этого при  нечётном числе единиц к сумме  всех частот прибавляется единица, и всё делится на два. При чётном числе единиц в ряду будет две средних единицы, и по всем правилам медиана должна определяться как средняя из значений этих двух единиц. Однако практически при чётном числе единиц медиана отыскивается как значение признака у единицы, порядковый номер которой определяется по общей сумме частот, делённой на два. Зная порядковый номер медианы, легко по накопленным частотам найти её значение.

      В интервальных рядах после определения  порядкового номера медианы по накопительным частотам (частностям) отыскивается медиальный интервал, а затем при помощи простейшего интерполяционного приёма определяется значение самой медианы. Этот расчёт выражает следующая формула:

      где:

      Xn - нижняя граница медианного интервала,

      h - величина медианного интервала,

      - порядковый номер медианы,

      SMe - 1 частота (частотность), накопленная  до медианного интервала,

      FMe - частота (частность) медианного  интервала.

      Согласно  записанной формуле к нижней границе  медианного интервала прибавляется такая часть величины интервала, которая приходится на долю единиц этой группы, недостающих до порядкового номера медианы. Другими словами, расчёт медианы построен на предположении, что нарастание признака среди единиц каждой группы происходит равномерно. На основе сказанного можно рассчитать медиану и по иному. Определив медианный интервал, можно из верхней границы медианного интервала (Хв) вычесть ту часть интервала, которая приходится на долю единиц, превышающих порядковый номер медианы, т.е. по следующей формуле:

      Медиану можно также определить и графически. Для этого строиться кумулята и из точки на шкале накопленных  частот (частностей), соответствующей  порядковому номеру медианы, проводится прямая, параллельная оси х до пересечения  с кумулятой. Затем из точки пересечения указанной прямой с куммулятой опускается перпендикуляр на ось абсцисс. Значение признака на оси абсцисс, соответствующее проведённой ординате (перпендикуляру), и будет медианой.

      По  такому же принципу легко найти значение признака у любой единицы ранжированного ряда. 
 
 
 
 
 
 
 
 

      3 Показатели вариации  
 

      Вариация  – это различие в значениях  какого- либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот  же период или момент времени. Например, работники фирмы различаются  по доходам, затратам времени на работу, росту, весу, любимому занятию в свободное время и т.д. Она возникает в результате того, что индивидуальные значения признака складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов (условий), которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае. Таким образом, величина каждого варианта объективна.

      Исследование  вариации в статистике имеет большое  значение, помогает познать сущность изучаемого явления. Особенно актуально  оно в период формирования многоукладной  экономики. Измерение вариации, выяснение ее причины, выявление влияния отдельных факторов дает важную информацию (например, о продолжительности жизни людей, доходах и расходах населения, финансовом положении предприятия и т.п.) для принятия научно обоснованных управленческих решений.

      Средняя величина дает обобщающую характеристику признака изучаемой совокупности, но она не раскрывает строения совокупности, которое весьма существенно для  ее познания. Средняя не показывает, как располагаются около нее  варианты усредняемого признака, сосредоточены ли они вблизи средней или значительно отклоняются от нее. Средняя величина признака в двух совокупностях может быть одинаковой, но в одном случае все индивидуальные значения отличаются от нее мало, а в другом – эти отличия велики, т.е. в одном случае вариация признака мала, а в другом – велика, это имеет весьма важное значение для характеристики надежности средней величины.

      Чем больше варианты отдельных единиц совокупности различаются между собой, тем  больше они отличаются от своей средней, и наоборот, - чем меньше варианты отличаются друг от друга, тем меньше они отличаются от средней, которая в таком случае будет более реально представлять всю совокупность. Вот почему ограничиваться вычислением одной средней в ряде случаев нельзя. Нужны и показатели, характеризующие отклонения отдельных значений от общей средней.

      Среднее линейное отклонение представляет собой  среднюю арифметическую из абсолютных величин отклонений вариантов от средней. Знаки отклонений в данном случае игнорируются, в противном  случае сумма всех отклонений будет равна нулю. Данный показатель рассчитывается по формуле:

      а) для несгрупированных данных:

      б) для вариационного ряда:

      f, т.е. среднее квадратическое отклонение  предятавляет собой корень квадратный  из средней арифметической квадратов отклонений средней. Выражение под корнем носит название дисперсии. Дисперсия имеет самостоятельное выражение в статистике и относится к числу важнейших показателей вариации.

      f, т.е. среднее квадратическое отклонение  предятавляет собой корень квадратный из средней арифметической квадратов отклонений средней. Выражение под корнем носит название дисперсии. Дисперсия имеет самостоятельное выражение в статистике и относится к числу важнейших показателей вариации.