Различные виды дисперсии. Правило сложения дисперсии

    Дисперсия - (от лат. dispersio - рассеяние), в математической статистике наиболее употребительная мера рассеивания, отклонения случайных значений от среднего.

    Для выборочной совокупности дисперсия  рассчитывается по следующей формуле: 

       

    где n - число измерений, x_i - единичное значение, - среднее значение. 

    Дисперсия является случайной величиной и  подчиняется хи-квадрат распределению. Достоверность дисперсии определяется числом степеней свободы f. В данном случае f = n-1 

    Применительно к обработке результатов измерения  дисперсия характеризует случайную  погрешность. Наряду с дисперсией используется стандартное отклонение, которое  равно квадратному корню из дисперсии. 

    Если  на результат измерения влияют несколько  независимых случайных факторов, то вступает в силу закон сложения дисперсий: дисперсия результата равна  сумме "составляющих" дисперсий. 

    Дисперсия признака σ 2 представляет собой средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины, является общепринятой мерой вариации. Вариацию можно определить как количественное различие значений одного и того же признака у отдельных единиц совокупности. Термин «вариация» имеет латинское происхождение - variatio, что означает различие, изменение, колеблемость. Изучение вариации в статистической практике позволяет установить зависимость между изменением, которое происходит в исследуемом признаке, и теми факторами, которые вызывают данное изменение.

    Вариацией называется различие значений признака  у  отдельных единиц совокупности.

    Вариация  возникает в  силу  того,  что  отдельные  значения  признака формируются по влияние большого числа взаимосвязанных факторов. Эти  факторы часто действуют в противоположных  направлениях  и их  совместное  действие формирует   значение   признаков   у   конкретной   единицы    совокупности.

    Необходимость  изучения  вариаций  связана  с  тем,  что  средняя  величина, обобщающая данные статистического наблюдения, показывает,  как  колеблется вокруг нее  индивидуальное  значение  признака.  Вариации  присущи  явлениям природы и общества. При этом революция в обществе  происходит  быстрее,  чем аналогичные изменения в природе.  Объективно  существуют  также  вариации  в пространстве и во времени.

    Вариации  в  пространстве  показывают  различие  статистических  показателей относящихся к различным административно-территориальным единицам.

    Вариации  во  времени  показывают  различие  показателей  в  зависимости  от периода или момента времени, к которым они относятся.

    Для измерения вариации признака используют как абсолютные, так и относительные  показатели. К абсолютным показателям вариации относят: размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, дисперсию. К относительным показателям вариации относят: коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации, относительное линейное отклонение и др. 

    Размах вариации R. Это самый доступный по простоте расчета абсолютный показатель, который определяется как разность между самым большим и самым малым значениями признака у единиц данной совокупности: 

     (1) 

    Размах вариации (размах колебаний) - важный показатель колеблемости признака, но он дает возможность увидеть только крайние отклонения, что ограничивает область его применения. Для более точной характеристики вариации признака на основе учета его колеблемости используются другие показатели. 

    Среднее линейное отклонение d, которое вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности. Эта величина определяется как средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений от средней. Так как сумма отклонений значений признака от средней величины равна нулю, то все отклонения берутся по модулю. 

    Формула среднего линейного отклонения (простая) 

     (2) 
 
 
 

    Формула среднего линейного отклонения (взвешенная) 

     (3) 

    При использовании показателя среднего линейного отклонения возникают  определенные неудобства, связанные  с тем, что приходится иметь дело не только с положительными, но и  с отрицательными величинами, что  побудило искать другие способы оценки вариации, чтобы иметь дело только с положительными величинами. Таким  способом стало возведение всех отклонений во вторую степень. Обобщающие показатели, найденные с использованием вторых степеней отклонений, получили очень  широкое распространение. К таким  показателям относятся среднее квадратическое отклонение  и среднее квадратическое отклонение в квадрате  , которое называют дисперсией.

    Средняя квадратическая простая 

     (4)

    Средняя квадратическая взвешенная 

     (5)

    Дисперсия есть не что иное, как средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от его средней величины.

    Формулы дисперсии взвешенной и простой : 

     (6)

    Расчет  дисперсии можно упростить. Для  этого используется способ отсчета  от условного нуля (способ моментов), если имеют место равные интервалы в вариационном ряду. 

    Кроме показателей вариации, выраженных в  абсолютных величинах, в статистическом исследовании используются показатели вариации (V), выраженные в относительных  величинах, особенно для целей сравнения  колеблемости различных признаков  одной и той же совокупности или  для сравнения колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях. 

    Данные  показатели рассчитываются как отношение  размаха вариации к средней величине признака (коэффициент осцилляции), отношение среднего линейного отклонения к средней величине признака (линейный коэффициент вариации), отношение среднего квадратического отклонения к средней величине признака (коэффициент вариации) и, как правило, выражаются в процентах. 

    Формулы расчета относительных показателей  вариации: 

     (7)

    где V_R - коэффициент осцилляции; - линейный коэффициент вариации; - коэффициент вариации. 

    Из  приведенных формул видно, что чем  больше коэффициент V приближен к  нулю, тем меньше вариация значений признака. 

    В статистической практике наиболее часто  применяется коэффициент вариации. Он используется не только для сравнительной  оценки вариации, но и для характеристики однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент  вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному).

    В статистическом исследовании очень  часто бывает необходимо не только изучить вариации признака по всей совокупности, но и проследить количественные изменения признака по однородным группам  совокупности, а также и между  группами. Следовательно, помимо общей  средней для всей совокупности необходимо просчитывать и частные средние  величины по отдельным группам.

    По  сравнению с другими показателями вариации дисперсия имеет ряд  преимуществ. Главное преимущество получило название закона (правила) сложения дисперсий. Мы уже неоднократно говорили о том, что даже в качественно однородных массовых явлениях в развитии отдельных групп единиц проявляется своеобразие. Поэтому применяется метод группировки к изучаемой совокупности.

    Итак: 
• по всей совокупности мы можем рассчитать общую среднюю для всей совокупности; 
• по отдельным группам соответственно можно рассчитать групповые или частные средние. 
Тогда можно вычислить три показателя дисперсии:

    общая;

    средняя внутригрупповая;

    межгрупповая.

    Величина  общей дисперсии характеризует вариацию признака под влиянием всех условий, вызывающих эту вариацию. Изменчивость индивидуальных значений (вариант) признака внутри групп происходит под влиянием других, не учитываемых факторов и не зависит от признака – фактора, положенного в основу группировки. Внутригрупповая дисперсия определяется как взвешенная средняя из дисперсий по отдельным группам, т.е. по формуле. Межгрупповая дисперсия (дисперсия средних) отражает различия в величине изучаемого признака в “чистом виде”, т.к. влияние других факторов, специфических для каждой группы, невилированы в групповых средних и определяется по формуле.

    Общая дисперсия ( ) характеризует вариацию признака всей совокупности под влиянием всех тех факторов, которые обусловили данную вариацию. Эта величина определяется по формуле 

     (8)

где - общая средняя арифметическая всей исследуемой совокупности. 

    Средняя внутригрупповая дисперсия ( ) свидетельствует о случайной вариации, которая может возникнуть под влиянием каких-либо неучтенных факторов и которая не зависит от признака-фактора, положенного в основу группировки. Данная дисперсия рассчитывается следующим образом: сначала рассчитываются дисперсии по отдельным группам ( ), затем рассчитывается средняя внутригрупповая дисперсия : 

     (9)

где n_i - число единиц в группе 

    Межгрупповая  дисперсия (дисперсия групповых средних) характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине исследуемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, который положен в основу группировки. Эта дисперсия рассчитывается по формуле 

     (10)

где - средняя величина по отдельной группе. 

    Все три вида дисперсии связаны между  собой: общая дисперсия равна  сумме средней внутригрупповой  дисперсии и межгрупповой дисперсии: 

     (11) 

    Данное  соотношение отражает закон, который  называют правилом сложения дисперсий. Согласно этому закону (правилу), общая  дисперсия, которая возникает под  влиянием всех факторов, равна сумме  дисперсий, которые появляются как  под влиянием признака-фактора, положенного  в основу группировки, так и под  влиянием других факторов. Благодаря  правилу сложения дисперсий можно  определить, какая часть общей  дисперсии находится под влиянием признака-фактора, положенного в  основу группировки. 

    Зная  любые  два  вида  дисперсий,  можно  определить  или  проверить правильность расчета третьего вида. Правило  сложения  дисперсий  широко  применяется   при   исчислении показателей тесноты связей, в дисперсионном  анализе,  при  оценке  точности типической выборки и в ряде других случаев. 

    Рассмотрим  пример. Имеются данные о производительности труда в двух группах рабочих, прошедших и не прошедших техническое обучение. 
Нетрудно заметить на этом примере, что указанные дисперсии взаимосвязаны между собой следующим равенством: величина общей дисперсии равна сумме величин межгрупповой дисперсии (дисперсии групповых средних) и средней из внутригрупповых дисперсий, т.е. это тождество получило название закона (правила) сложения дисперсий. 
Опираясь на это правило можно определить, которая часть общей дисперсии формируется под влиянием изучаемого фактора, положенного в основу группировки (отражает так называемую систематическую вариацию) и какая часть – за счет неучтенных факторов. Средняя из групповых дисперсий дает обобщенную характеристику случайной вариации изучаемого признака, возникающего под влиянием неучтенных факторов. Теоретический и практический интерес правила сложения дисперсий заключается в следующем:

    1) зная две дисперсии можно всегда  определить третий вид дисперсии; 

    2) зная дисперсию групповых средних (межгрупповую дисперсию) и общую дисперсию можно судить о силе влияния группировочного признака на изучаемое явление.

    Например, изучаем влияние на общую урожайность  внесения удобрений. Очевидно, чем ближе  будет дисперсия групповых средних (когда все земельные участки сгруппированы на удобренные и неудобренные) к общей дисперсии, тем больше будет влияние внесения удобрений на общую урожайность.