Производные функции

      Пример 1. Предположим, что процесс производства описывается с помощью функции выпуска

.

Оценим  основные характеристики этой функции  для способа производства, при  котором К=400, а L=200.

      Решение.

1. Предельные производительности факторов.

Для расчета  этих величин определим частные  производные функции по каждому из факторов:

.

Таким образом, предельная производительность фактора труд в четыре раза превышает  аналогичную величину для фактора  капитал.

2. Эластичность производства.

Эластичность  производства определяется суммой эластичностей выпуска по каждому фактору, то есть

.

3. Предельная норма замещения ресурсов.

Выше  в тексте эта величина обозначалась и равнялась . Таким образом, в нашем примере

=-0,4/0,1=-4,

то есть для замещения единицы труда  в этой точке необходимы четыре единицы  ресурсов капитала.

4. Уравнение изокванты.

Для определения  формы изокванты необходимо зафиксировать  значение объема выпуска (Y). Пусть, например, Y=500. Для удобства примем L функцией К, тогда уравнение изокванты примет вид

.

Предельная  норма замещения ресурсов определяет тангенс угла наклона касательной  к изокванте в соответствующей  точке. Используя результаты п. 3, можно сказать, что точка касания расположена в верхней части изокваны, так как угол достаточно велик.

      Пример 2. Рассмотрим функцию Кобба-Дугласа в общем виде

.

Предположим, что K и L удваиваются. Таким образом, новый уровень выпуска (Y) запишется следующим образом:

.

        Определим эффект от масштаба  производства в случаях, если  >1, =1 и <1.

      Если, например, =1,2, а =2,3, то Y увеличивается больше, чем в два раза; если =1, а =2, то удвоение К  и L приводит к удвоению Y; если =0,8, а =1,74, то Y увеличивается меньше, чем в два раза.

      Таким образом, в примере 1 мог наблюдаться  постоянный эффект от  масштаба производства. 

Историческая  справка

      В своей первой статье Ч.Кобб и П.Дуглас изначально предполагали постоянную отдачу от масштаба. Впоследствии они ослабили это допущение, предпочитая оценивать степень отдачи от масштаба производства. 

      Основная  задача производственных функций все  же – дать исходный материал для  наиболее эффективных управленческих решений. Проиллюстрируем вопрос принятия оптимальных решений на основе использования производственных функций.

      Пример 3. Пусть дана производственная функция, связывающая объем выпуска продукции предприятия с численностью рабочих , производственными фондами и объемом используемых станко-часов

.

Необходимо  определить максимальный выпуск продукции  при ограничениях

,

.

      Решение. Для решения задачи составляем функцию Лагранжа

,

дифференцируем  ее по переменным , , , и полученные выражения приравниваем к нулю:

      Из  первого и третьего уравнений следует, что , поэтому

откуда  получим решение  , при котором у=2. Поскольку, например, точка (0,2,0) принадлежит допустимой области и в ней у=0, то делаем вывод, что точка (1,1,1) – точка глобального максимума. Экономические выводы из полученного решения очевидны.

      В заключение отметим, что производственные функции можно использовать для  экстарполяции экономического эффекта производства в заданный период будущего. Как и в случае обычных эконометрических моделей, экономический прогноз начинают с оценки прогнозных значений факторов производства. При этом можно использовать наиболее подходящий в каждом отдельном случае способ экономического прогноза. 

Основные  выводы

1. Факторами производства называются блага, необходимые для организации процесса производства.
2. Производственной функцией называется зависимость между максимальным объемом производимого продукта и затратами используемых факторов.
3. В производственной функции с одним переменным фактором величина общего продукта, начиная с определенного объема данного переменного фактора, убывает.
4. Изокванта показывает максимальную величину продукта, которую можно получить при различных комбинациях переменных факторов.
5. При возрастании объемов производства возникает три варианта эффекта масштаба производства: постоянная, возрастающая и убывающая отдача от масштаба.
6. Отношение предельной производительности i-го фактора к его средней производительности называется эластичностью выпуска по i-му фактору производства.

 

Тесты для проверки усвоенного материала

Выберите  правильный ответ.

1. Что характеризует производственная функция?

      А)   общий объем использованных производственных ресурсов;

      Б) наиболее эффективный способ технологической организации производства;

      В)  взаимосвязь затрат и максимального  объема выпуска продукции;

      Г)  способ минимизации прибыли при  условии минимизации затрат.

2. Какое из представленных уравнений есть уравнение производственной функции Кобба-Дугласа?

      А)  y= ,

      Б)       Y= ,

      В)       ,

      Г)        y= .

3.  Что  характеризует производственная  функция с одним переменным  фактором?

      А) зависимость объема производства от цены на фактор,

      Б) зависимость, при которой фактор х изменяется, а все остальные  остаются постоянными,

      В) зависимость, при которой все  факторы изменяются, а фактор х  остается постоянным,

      Г) зависимость между факторами  х и у.

4. Карта изоквант – это:

А) набор  изоквант, показывающий выпуск продукции  при определенном сочетании факторов;

Б) произвольный набор изоквант, показывающий предельную норму производительности переменных факторов;

В) комбинации линий, характеризующих предельную норму технологического замещения.

Верны или неверны утверждения?

1. Производственная функция отражает взаимосвязь используемых факторов производства и отношения предельных производительностей труда этих факторов.
2. Функция Кобба-Дугласа – это производственная функция, показывающая максимальный объем продукта при использовании труда и капитала.
3. Не существует предела роста произведенного продукта при одном переменном факторе производства.
4. Изокванта – это кривая равного продукта.
5. Изокванта показывает все возможные комбинации использования двух переменных факторов для получения максимального продукта.

 

Литература

1. Доугерти К. Введение в эконометрику. – М.: Финансы и статистика, 2001.
2. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.П. Математические методы в экономике: Учебник. – М.: Изд. «ДИС», 1997.
3. Курс экономической теории: учебник. – Киров: «АСА», 1999.
4. Микроэкономика/ Под ред. Проф. Яковлевой Е.Б. – М.: СПб. Поиск, 2002.
5. Мировая экономика. Варианты аудиторных работ для преподавателей. – М.: ВЗФЭИ, 2001.
6. Овчинников Г.П.. Микроэкономика. – Санкт-Петербург: Изд-во им. Володарского, 1997.
7. Политическая экономия; экономическая энциклопедия. – М.: Изд. «Сов. Энциклопедия», 1979.