Производные функции

      Пример 3. Линейная ПФ (ЛПФ) имеет вид: (двухфакторная) и (многофакторная).  ЛПФ принадлежит к классу так называемых аддитивных ПФ (АПФ). Переход от мультипликативной ПФ к аддитивной осуществляется с помощью операции логарифмирования. Для двухфакторной мультипликативной ПФ

этот  переход имеет вид: . Вводя соответствующую замену, получим аддитивную ПФ .

      Если  сумма показателей степени в  ПФ Кобба-Дугласа равна единице, то ее можно записать в несколько  другой форме:

т.е. .

      Дроби называются соответственно производительностью труда и капиталовооруженностью труда. Используя новые символы, получаем

,

т.е. из двухфакторной ПФКД получим формально  однофакторную ПФКД. В связи с  тем, что 0<a₁<1, из последней формулы следует, что производительность труда z растет медленнее его капиталовооруженности. Однако этот вывод справедлив для случая статической ПФКД в рамках существующих технологии и ресурсов.

      Отметим, что дробь  называется производительностью капитала или капиталоотдачей, обратные дроби называются соответственно капиталоемкостью и трудоемкостью выпуска.

      ПФ  называется динамической, если:

1. время t фигурирует в качестве самостоятельной переменной величины (как бы самостоятельного фактора производства), влияющего на объем выпускаемой продукции;
2. параметры ПФ и ее характеристика f зависят от времени t.

   Отметим, что если параметры ПФ оценивались  по данным временных рядов (объемов  ресурсов и выпуска) продолжительностью лет, то экстраполяционные расчеты по такой ПФ следует проводить не более, чем на 1/3 лет вперед.

   При построении ПФ научно-технический прогресс (НТП) может быть учтен с помощью  введения множителя НТП  , где параметр р (р>0) характеризует темп прироста выпуска под влиянием НТП:

  (t=0,1,…,Т).

      Эта ПФ – простейший пример динамической ПФ; она включает нейтральный, то есть нематериализованный в одном из факторов технический прогресс. В более сложных случаях технический прогресс может воздействовать непосредственно на производительность труда или капиталоотдачу: Y(t)=f(A(t)×L(t),K(t)) или Y(t)=f(A(t)×K(t), L(t)). Он называется, соответственно, трудосберегающим или капиталосберегающим НТП.

      Пример 4. Приведем вариант ПФКД с учетом НТП

.

Расчет  численных значений параметров такой  функции проводится с помощью  корреляционного и регрессионного анализа.

      Выбор аналитической формы ПФ диктуется прежде всего теоретическими соображениями, которые должны учитывать особенности взаимосвязей между конкретными ресурсами или экономических закономерностей. Оценка параметров ПФ обычно проводится методом наименьших квадратов. 

3.   Свойства и основные характеристики производственных функций

   Для производства конкретного продукта требуется сочетание разнообразных факторов. Несмотря на это, различные производственные функции обладают рядом общих свойств.

   Для определенности ограничимся производственными  функциями двух переменных . Прежде всего необходимо отметить, что такая производственная функция определена в неотрицательном ортанте двумерной плоскости, то есть при . ПФ удовлетворяет следующему ряду свойств:

1. без ресурсов нет выпуска, т.е. f(0,0,a)=0;
2. при отсутствии хотя бы одного из ресурсов нет выпуска, т.е. ;
3. с ростом затрат хотя бы одного ресурса объем выпуска растет;
4. с ростом затрат одного ресурса при неизменном количестве другого ресурса объем выпуска растет, т.е. если x>0, то ;
5. с ростом затрат одного ресурса при неизменном количестве другого ресурса величина прироста выпуска на каждую дополнительную единицу i-го ресурса не растет (закон убывающей эффективности), т.е. если то ;
6. при росте одного ресурса предельная эффективность другого ресурса возрастает, т.е. если x>0, то ;
7. ПФ является однородной функцией, т.е. ; при р>1 имеем рост эффективности производства от роста масштаба производства; при р<1 имеем падение эффективности производства от роста масштаба производства; при р=1 имеем постоянную эффективность производства при росте его масштаба.

      Подобно линии уровня целевой функции оптимизационной задачи, для ПФ также имеет место аналогичное понятие. Линия уровня ПФ – это множество точек, на котором ПФ принимает постоянное значение. Иногда линии уровня называют изоквантами ПФ. Возрастание одного фактора и уменьшение другого могут происходить таким образом, что общий объем производства остается на прежнем уровне. Изокванты как раз и определяют все возможные комбинации факторов производства, необходимых для достижения заданного уровня продукции.

      

      Рис. 2.

      Из  рисунка 2 видно, что вдоль изокванты выпуск продукции постоянный, то есть прирост выпуска отсутствует. Математически это означает, что полный дифференциал ПФ на изокванте равен нулю:

      

.

      Изокванты обладают следующими свойствами:

1. Изокванты не пересекаются.
2. Большей удаленности изокванты от начала координат соответствует больший уровень выпускаемой продукции.
3. Изокванты - понижающиеся кривые, имеют отрицательный наклон.

      Изокванты являются подобием кривых безразличия  с той лишь разницей, что они отражают ситуацию не в сфере потребления, а в сфере производства.

      Отрицательный наклон изоквант объясняется тем, что  увеличение использования одного фактора  при определенном объеме выпуска  продукта всегда будет сопровождаться уменьшением количества другого фактора. Крутизна наклона изокванты характеризуется предельной нормой технологического замещения факторов производства (MRTS). Рассмотрим эту величину на примере двухфакторной производственной функции Q(y,x). Предельная норма технологического замещения измеряется соотношением изменения фактора y к изменению фактора х. Поскольку замена факторов происходит в обратном отношении, то математическое выражение показателя MRTS берется со знаком минус:

      

.

      На  рисунке 3 изображена одна из изоквант ПФ Q(y,x)

      Рис. 3.

      Если  взять какую-либо точку на этой изокванте, например, точку А и провести к  ней касательную КМ, то тангенс  угла даст нам значение MRTS:

      

.

      Можно отметить, что в верхней части  изокванты угол будет достаточно велик, что говорит о том, что для изменения фактора х на единицу требуются значительные изменения фактора y. Следовательно, в этой части кривой значение MRTS будет велико. По мере движения вниз по изокванте значение предельной нормы технологического замещения будет постепенно убывать. Это означает, что для увеличения фактора х на единицу потребуется незначительное уменьшение фактора y. При полной заменяемости факторов изокванты из кривых преобразуются в прямые.

      Рис. 4.

      Один  из наиболее интересных примеров использования изоквант ПФ – это исследование эффекта масштаба производства (см. свойство 7).

      Что эффективнее для экономики: один крупный завод или несколько мелких предприятий? Ответ на этот вопрос не так прост. Плановая экономика отвечала на него однозначно, отдавая приоритет промышленным гигантам. С переходом к рыночной экономике началось повсеместное разукрупнение созданных ранее объединений. Где же золотая середина? Доказательный ответ на этот вопрос можно получить, исследовав эффект масштаба производства.

      Представим, что на обувной фабрике руководство  приняло решение значительную часть  полученной прибыли направить на развитие производства с целью увеличения объемов производимой продукции. Допустим, что капитал (оборудование, станки, производственные площади) увеличен в два раза,. Численность работников увеличилась в такой же пропорции. Возникает вопрос, что произойдет в таком случае с объемом выпускаемой продукции?

      Из  анализа рисунка 5

      Рис. 5.

следуют три варианта ответа:

- количество  продукции возрастет в два раза (постоянная отдача от масштаба);

- увеличится  более, чем в два раза (возрастающая  отдача от масштаба);

- увеличится, но меньше, чем в два раза (убывающая  отдача от масштаба).

      Постоянная  отдача от масштаба производства объясняется однородностью переменных факторов. При пропорциональном увеличении капитала и труда на таком производстве средняя и предельная производительность этих факторов останется неизменной. В таком случае безразлично, будет ли работать одно крупное предприятие или вместо него будет создано два мелких.

      При убывающей отдаче от масштаба невыгодно  создавать крупное производство. Причиной низкой эффективности в таком случае, как правило, являются дополнительные затраты, связанные с управлением подобным производством, сложности координации крупного производства.

      Возрастающая  отдача от масштаба, как правило, характерна, для тех производств, где возможна широкая автоматизация производственных процессов, применение поточных и конвейерных линий. Но с тенденцией возрастающей отдачи от масштаба нужно быть очень осторожным. Рано или поздно она превращается в постоянную, а затем и в убывающую отдачу от масштаба.

      Остановимся на некоторых характеристиках производственных функций, наиболее важных для экономического анализа. Рассмотрим их на примере ПФ вида .

      Как уже было отмечено выше, отношение  (i=1,2) называется средней производительностью i-го ресурса или средним выпуском по i-му ресурсу. Первая частная производная ПФ (i=1,2) называется предельной производительностью i-го ресурса или предельным выпуском по i-му ресурсу. Эту предельную величину иногда интерпретируют, используя близкое к ней отношение малых конечных величин . Приближенно она показывает, на сколько единиц увеличится объем выпуска y, если объем затрат i-го ресурса возрастет на одну (достаточно малую) единицу при неизменных объемах другого затрачиваемого ресурса.

      Например, в ПФКД для средних производительностей основного капитала у/К и труда у/L используются соответственно термины капиталоотдача и производительность труда:

.

      Определим для этой функции предельные производительности факторов:

и 

.

      Таким образом, если , то (i=1,2), то есть предельная производительность i-го ресурса не больше средней производительности этого ресурса. Отношение предельной производительности i-го фактора к его средней производительности называется эластичностью выпуска по i-му фактору производства

или приближенно

.

      Таким образом, эластичность выпуска (объема производства) по некоторому фактору (коэффициент  эластичности) приближенно определяется как отношение темпов прироста у  к темпам прироста этого фактора, то есть показывает на сколько процентов увеличится выпуск у, если затраты i-го ресурса увеличатся на один процент при неизменных объемах другого ресурса.

      Сумма + =Е называется эластичностью производства. Например, для ПФКД = , = и Е= + = + .

4. Примеры использования производственных функций в задачах экономического анализа, прогнозирования и планирования

      Производственные  функции позволяют количественно  проанализировать важнейшие экономические  зависимости в сфере производства. Они дают возможность оценить среднюю и предельную эффективность различных ресурсов производства, эластичность выпуска по различным ресурсам, предельные нормы замещения ресурсов, эффект от масштаба производства и многое другое.