Понятие средних величин

5. Мода и медиана Наряду с абстрактными средними, такими как средняя арифметическая и средняя геометрическая, в статистике используются конкретные средние, величины которых занимают в ранжированном вариационном ряду, построенном в порядке возрастания или убывания значений вариант, определенное среднее положение. К таким конкретным средним относятся мода и медиана. В одних и тех же совокупностях мода и медиана порой совпадают между собой по значению, но чаще не совпадают, хотя друг от друга стоят, как правило, недалеко. Модой в статистике именуется значение варианта, которое чаще всего встречается в данной совокупности. Иногда могут быть распределения, где все варианты встречаются примерно одинаково часто. В подобных случаях мода не определяется, так как она практически отсутствует. В других распределениях мода может быть не единственной. Моду применяют в тех случаях, когда нужно охарактеризовать более часто встречающуюся величину признака.

Определение моды для интервального ряда несколько  сложнее, так как, чтобы определить моду, требуется определить модальный интервал данных рядов.

Медианой  в статистике называется варианта, которая расположена в середине ранжированного ряда. Она разделяет  упорядоченный ряд пополам. По обе  стороны от медианы находится  одинаковое число единиц совокупности.

При определении  значения медианы предполагают, что  значение признака в интервале расположено  равномерно.

Медиана, которая рассчитана для вариационного  ряда с существенно различающими интервалами, отличается от медианы, исчисленной  для того же ряда, но с равными интервалами.

В практике мода и медиана порой используются вместо средней арифметической или  вместе с ней. При применении вместе они дополняют друг друга, особенно когда в совокупности небольшое  число единиц с очень малыми значениями исследуемого признака. Как дополнение к средней арифметической также лучше исчислять моду и медиану, которые в отличие от средней не зависят от крайних и характерных для совокупности значений признака. Медиану можно использовать в качестве приближенной средней арифметической, когда совокупность ранжирована и упорядочена, тогда медиана определяется по серединному значению варианты. Поэтому значения других вариант можно и не изменять.

Кроме медианного деления вариационного  ряда на две равные части в статистике используются и более дробные деления: квартили, которые делят вариационный ряд по сумме частот на 4 равные части, децили - на 10 равных частей и центили - на 100 равных частей. Они употребляются для более выразительных и компактных описаний исследуемого процесса, но в правовой статистике практически не применяются. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

6. Показатели вариации  признака 

Средние величины представляют важную обобщающую характеристику совокупности по варьирующему признаку. Подсчитав их, необходимо уяснить, насколько они показательны, типичны или однородны, ведь одинаковые средние могут характеризировать совершенно разнородные совокупности.

Для того чтобы наши суждения о различиях  вариационных рядов были статистически  точными, нужно прибегать к показателям  отклонений различных вариант от средней.

Первый  и наиболее простой показатель вариации - это размах вариации, который исчисляется  в виде разности между наибольшими  и наименьшими значениями варьирующего признака.

Среднее арифметическое отклонение является второй мерой измерения вариаций признака. В статистическом анализе оно применяется довольно редко. Обычно применяют третий показатель вариации - дисперсию, или средний квадрат отклонений.

Путем извлечения квадратного корня из дисперсии мы получим следующий, четвертый, показатель вариации - среднее квадратическое отклонение.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение являются самыми распространенными  показателями вариации изучаемого признака. В юридической статистике их используют при сравнительных статистических исследованиях, для обоснования ошибки репрезентативности выборочного наблюдения, а также при изучении корреляционных и других статистических связей между признаками фактора и признаками следствия, или между причиной и следствием.

Коэффициент вариации является пятым по счету показателем вариации. Он, в отличие от размаха вариации, среднего линейного, среднего квадратического отклонения и дисперсии, выражающихся в абсолютных и

именованных числах, является показателем относительным. Коэффициент вариации в некоторой мере представляется критерием типичности средней. Если он относительно большой, это значит, что типичность этой средней очень невысока, а если наоборот, его значение мало, то средняя является типической и надежной.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

7. Анализ вариационных рядов

Вариационный  ряд представляет собой группировку  по одному признаку и с единственным показателем в сказуемом, который  включает в себя меняющееся число  единиц совокупности, выраженных в  абсолютных или относительных величинах.

Интервальный  вариационный ряд отражает вполне определенную связь между варьирующим возрастом и изменением частот. Здесь проявляется определенная закономерность изменения частот в вариационных рядах, которая называется закономерностью распределения, и выявляется в больших совокупностях, где случайные отклонения взаимо уничтожаются.

В выявлении  реальных закономерностей распределения  заключается основная задача анализа  вариационных рядов. Все вариации, подчиняясь своей в основе указанной закономерности, содержат много типов особенностей, каждая из которых связана с теми или иными причинами, установление которых играет важную роль в статистическом анализе.

Обстоятельства, которые определяют тип закономерностей  распределения, изучаются на основе качественного анализа сути того или иного процесса, а именно - тех его свойств и условий, которые определяют изменчивость варьирующего признака.

Многие  данные лежат за пределом юридической  статистики и к ним трудно придти на основе только логических умозаключений. Для этого нужно выявить особенности реального статистического распределения значений

признака, чтобы зафиксировать характер данных отклонений надо сопоставить реальное распределение с любым его  эталоном. Этим эталоном является теоретическая  кривая распределения, которая выражает

общую закономерность распределения, исключающего влияние случайных факторов. Такая  кривая распределения именуется  кривой Лапласа-Гаусса, или нормальным распределением. В качестве эталона  применяются также распределение  Пуассона и некоторые другие, но они практически не используются юридической статистикой.

Кривая  нормального распределения зависит  только от двух параметров: средней  арифметической и среднего квадратического  распределения. От их значения зависит  распределение кривей на оси х, различия вариантов около центра и определенные асимметрии левой и правой ветвей относительно центра.

В нормальном распределении левая и правая ветви кривой симметричны, а средняя  арифметическая, мода и медиана равны, но и при соблюдении этого равенства  кривые могут существенно различаться между собой.

Если  средняя арифметическая величина небольшая, то кривая будет располагаться ближе  к оси ординат, а если большая, то кривая сдвинется вправо.

Если  среднее квадратическое отклонение велико, то кривая распределения является высоковершинной, что свидетельствует о скоплении частот в середине, о типичности и надежности средней, а такое положение в статистике называют положительным эксцессом.

Если  среднее квадратическое отклонение небольшое, то кривая распределения  будет низковершинной, что свидетельствует о значительной разбросанности частот ряда и недостаточной надежности средней. В статистике эти особенности называют отрицательным эксцессом.

Нормальное  распределение симметрично по отношению  к средней арифметической величине, но симметричных реальных распределений намного меньше, чем асимметричных. В асимметричном распределении средняя

арифметическая, мода и медиана не совпадают, и  их отклонения друг от друга измеряются при помощи коэффициента асимметрии.

При моделировании рядов распределения для сравнения реального вариационного ряда с нормальным распределением можно проверить их соответствие на основе выравнивания фактического распределения по кривой нормального распределения. Для этого частоты фактического распределения должны сравниваться с теоретическими частотами, вычисляемыми на основе имеющихся данных. Находят нормированные отклонения, а затем по их величине рассчитываются частоты теоретического нормального отклонения.

Закономерности  статистических распределений также могут быть использованы в модульной теории социума, в том числе при исследовании распределения криминальных и иных противоправных отклонений, но эти закономерности должны отражать реальность, а не предположения. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  используемой литературы 

1. Орлов А.И., Прикладная статистика «Издательская группа АСТ», твердый переплет, 2006 г.,

2. Орехов С.А., Статистика «Издательство «ЭКСМО»», твердый переплет, 2010 г.

3. Правовая статистика: Учебник для вузов.Леонид Корнеевич  Савюк . Москва:  Юристъ, 1999, cерия "Institutiones",

4. Лунеев В.В.  Юридическая статистика. Учебник  2010 г.