Показатели вариации

Линейный коэффициент корреляции

Для устранения недостатка ковариации был введён линейный коэффициент корреляции (или коэффициент корреляции Пирсона), который разработали Карл Пирсон, Фрэнсис Эджуорт и Рафаэль Уэлдон (англ.)русск. в 90-х годах XIX века. Коэффициент корреляции рассчитывается по формуле^[10][8]:

Коэффициент корреляции изменяется в пределах от минус единицы  до плюс единицы^[11].

Доказательство  [показать]

Линейный коэффициент  корреляции связан с коэффициентом регрессии в виде следующей зависимости: где — коэффициент регрессии, — среднеквадратическое отклонение соответствующего факторного признака^[12].

Для графического представления подобной связи можно  использовать прямоугольную систему  координат с осями, которые соответствуют  обеим переменным. Каждая пара значений маркируется при помощи определенного  символа. Такой график называется «диаграммой  рассеяния».

Метод вычисления коэффициента корреляции зависит от вида шкалы, к которой относятся переменные. Так, для измерения переменных с интервальной и количественной шкалами необходимо использовать коэффициент корреляции Пирсона (корреляция моментов произведений). Если по меньшей мере одна из двух переменных имеет порядковую шкалу, либо не является нормально распределённой, необходимо использовать ранговую корреляцию Спирмена или (тау) Кендалла. В случае, когда одна из двух переменных является дихотомической, используется точечная двухрядная корреляция, а если обе переменные являются дихотомическими: четырёхполевая корреляция. Расчёт коэффициента корреляции между двумя недихотомическими переменными не лишён смысла только тогда, когда связь между ними линейна (однонаправлена).

8

     1. Базисные и цепные индексы 

     Часто в ходе экономического анализа изменение индексируемых величин изучают не за два, а за ряд последовательных периодов. Следовательно, возникает необходимость построения индексов за ряд этих последовательных периодов, которые образуют индексные системы. Такие системы характеризуют изменения, происходящие в изучаемом явлении в течение исследуемого периода времени.

     В зависимости от базы сравнения индексы  бывают базисными и цепными.

     В системе базисных индексов сравнения  уровней индексируемого показателя в каждом индексе производится с уровнем базисного периода, а в системе цепных индексов уровни индексируемого показателя сопоставляются с уровнем предыдущего периода.

     Цепные  и базисные индексы могут быть как индивидуальные, так и общие.

     Ряды  индивидуальных индексов просты по построению. Так, например, обозначив четыре последовательных периода подстрочными значениями 0, 1,2, 3, исчисляем базисные и цепные индивидуальные индексы цен:

• базисные индексы: ; ; ;
• цепные индексы: ; ; .

     Между цепными и базисными индивидуальными  индексами существует взаимосвязь, позволяющая переходить от одних  индексов к другим — произведение последовательных цепных индивидуальных индексов дает базисный индекс последнего периода: 

      .

     Отношение базисного индекса отчетного  периода к базисному индексу  предшествующего периода дает цепной индекс отчетного периода: 

      ; . 

     Это правило позволяет применять так называемый цепной метод, т.е. находить неизвестный ряд базисных индексов по известным цепным и наоборот.

     Рассмотрим  возможность применения цепного  метода исчисления для агрегатных индексов.

     Как известно, в каждом отдельном индексе  веса в его числителе и знаменателе обязательно фиксируются на одном и том же уровне.

     Если  же строится ряд индексов, то веса в  нем могут быть либо постоянными  для всех индексов ряда, либо переменными.

     Рассмотрим  построение базисных и цепных индексов на примере агрегатных индексов цен и физического объема продукции.

• Базисные индексы:

     •индексы  цен Пааше (с переменными весами): 

      ; ; …; ; 

     •индексы  цен Ласпейреса (с постоянными  весами): 

      ; ; …; ; 

     •индексы  физического объема продукции (с  постоянными весами):

 

      ; ; …; . 

     

• Цепные  индексы:
• индексы цен Пааше (с переменными весами):

 

      ; ; …; ; 

     

• индексы цен  Ласпейреса (с постоянными весами):

 

      ; ; …; ; 

     

• индексы физического  объема продукции (с постоянными  весами):

 

      ; ; …; . 

     Итак, в базисных агрегатных индексах все  отчетные данные сопоставляются только с базисными (закрепленными) данными, а в цепных — с предыдущими (в данном случае — смежными) данными.

     Период  весов во всех индексах цен Пааше взят текущий (индексы с переменными весами), в индексах физического объема и индексах цен Ласпейреса — закрепленный (индексы с постоянными весами).

     Постоянные  веса (не меняющиеся при переходе от одного индекса к другому) позволяют  исключить влияние изменения структуры на значение индекса.

     Ряды  агрегатных индексов с постоянными  весами имеют преимущество — сохраняется  взаимосвязь между цепными и  базисными индексами, например, в  ряду агрегатных индексов физического  объема:

      , 

     или в ряду агрегатных индексов цен Ласпейреса: 

      . 

     Таким образом, использование постоянных весов в течение ряда лет позволяет  переходить от цепных общих индексов к базисным и наоборот.

     В рядах агрегатных индексов качественных показателей, которые строятся с переменными весами (например, ряд цен Пааше), перемножение цепных индексов не дает базисный: 

      .

     

     Для таких индексов переход от цепных индексов к базисным (и наоборот) невозможен. Вместе с тем, в статистической практике часто возникает необходимость определения динамики цен за длительный период времени на основе цепных индексов цен с переменными весами. Тогда для получения приближенного базисного (итогового) индекса цепные индексы цен перемножают, заведомо зная, что в таком расчете допускается ошибка. Отдельные индексы этого ряда используются для пересчета стоимостных показателей отчетного периода в ценах предыдущего года. Основные формулы для расчета общих индексов приведены в таблице 1. 

 

      Основные формулы начисления общих индексов.

 

9

Средний уровень  ряда в статистике

Средний уровень ряда определяет обобщенную величину абсолютных уровней. Он определяется по средней, исчисленной из значений, меняющихся во времени. Методы расчета среднего уровня интервального и моментного рядов динамики разные.

Средний уровень из абсолютных уровней для интервальных рядов динамики рассчитывается по формуле средней арифметической:

1. При равных интервалах  используют среднюю арифметическую  простую:

где у — абсолютные уровни ряда;

n — число уровней  ряда.

2. При неравных  интервалах используют среднюю  арифметическую взвешенную:

где у1,...,уn — уровни ряда динамики;

t1,... tn — веса, длительность  интервалов времени.

Средний уровень моментного ряда динамики рассчитывается по формуле:

1. С равностоящими  уровнями рассчитывается по формуле  средней хронологической моментного  ряда:

где у1,...,уn — уровни периода, за который делается расчет; 
n — число уровней; 
n-1 — длительность периода времени.

2. С неравностоящими  уровнями рассчитывается по формуле  средней хронологической взвешенной:

где у1,...,уn — уровни рядов динамики; 
t — интервал времени между смежными уровнями

Средний абсолютный прирост  в задачах статистики

Средний абсолютный прирост определяется как среднее из абсолютных приростов за равные промежутки времени одного периода. Он рассчитывается по формулам:

1. По цепным данным  об абсолютных приростах за  ряд лет рассчитывают средний  абсолютный прирост как среднюю  арифметическую простую:

где n — число степенных  абсолютных приростов в исследуемом  периоде. 

2. Средний абсолютный прирост рассчитывают через базисный абсолютный прирост в случае равных интервалов

где m — число уровней  ряда динамики в исследуемом периоде, включая базисный.

Средний темп роста