Показатели вариации

     Медианному  интервалу соответствует первая из накопленных частот или частостей, превышающая половину всего объема совокупности. В нашем случае объем  совокупности равен 100%, первая из накопленных  частостей, превышающая половину всего объема совокупности, - 62. Следовательно, интервал 3-5 будет медианным. Далее, x_me(min)=3, h=2, =21, q_Me=41. Воспользуемся формулой:

     М_е = 3 + 2 * = 4,415

     Таким образом, серединный размер среднедушевого дохода равен примерно 4,4 тыс.руб.

     Для определения медианы в дискретном ряду при наличии частот, сначала исчисляется полусумма частот, а затем определяется какое значение варьирующего признака ей соответствует. В данном случае полусумма частот равна 50. Ей наиболее соответствует значение варьирующего признака (х) 3-5.

     Для дискретного ряда модой является значение варьирующего признака обладающего наибольшей частотой. В данном случае наибольшая частота составляет 41, что соответствует значению варьирующего признака (х) 3-5.

     Найдем  моду для интервального ряда по формуле 

     М₀ = х₀ + i  

     где: х₀ - нижняя граница модального интервала;

     i - величина модального интервала;

     q_M0 - частота модального интервала;

     q_M0-1 - частота интервала, предшествующего модальному;

     q_M0+1 - частота интервала, следующего за модальным;

     М₀ = 3 + 2 * = 4,026

     Рассчитаем  дисперсию методом моментов, дисперсия - это центральный момент второго  порядка.

     σ² = 7,84*0,21+0,64*0,41+1,44*0,22+10,24*0,1+27,04*0,05+51,84*0,01 = 5,12

     Найдем  среднее квадратическое отклонение

     σ = = 2,263

     Найдем  коэффициент вариации

      = %

     V = 2,263 / 4,8 = 47,146 

 

      

      Задача 3.

      Имеется группировка предприятий по величине товарной продукции:

 

      Определить:

      1) дисперсию величины товарной  продукции; 

      2) среднее квадратическое отклонение;

      3) коэффициент вариации

      Решение:

      Данный  ряд сгруппирован по величине товарной продукции. Интервалы групп являются открытыми.  Величина смежных интервалов (шаг интервала) равна 200. Перепишем данную таблицу, принимая для первого и последнего интервала шаг интервала, равный 200.

 

      Вычислим  среднюю величину товарной продукции, тыс.руб. Средней величиной в статистике называется обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень явления в конкретных условиях места и времени, отражающий величину варьирующего признака в расчете на единицу качественно однородной совокупности. Выбор средней определяется экономическим содержанием показателя и исходных данных. В данной задаче в каждую группу объединены одинаковые варианты, т.е. варианты имеют различный вес, поэтому вычисляется средняя арифметическая взвешенная:

      

     Получаем (руб.).

     Среднее квадратическое отклонение (s) показывает, на сколько в среднем отличаются индивидуальные значения признака от среднего его значения

     Среднее квадратическое отклонение (s) и дисперсия (s²) определяются по формулам: 

         

     s² = (186,94)² = 34945,22

     Коэффициент вариации

     

     Показатель  вариации отражает тенденцию развития явления, т.e. действие главных факторов. Показатель вариации выражается в процентах.

       
 
 
 
 

 

      

      Задача 4.

      Имеются следующие данные о расходах граждан в январе условного года:

 

      Определить:

      1) среднедушевой расход городских  и сельских жителей;

      2) дисперсии душевого расхода: среднюю  из групповых, межгрупповую, общую; 

      3) зависимость расходов от места  жительства, исчислив коэффициент  детерминации и эмпирическое  корреляционное отношение. 

      Решение:

      1) Среднедушевой расход городских и сельских жителей рассчитываем по формуле средней арифметической взвешенной

      

      

      2) ,

      где - общая дисперсия; - средняя из групповых дисперсий;  - межгрупповая дисперсия.

      Величина  общей дисперсии  характеризует вариацию признака под влиянием всех факторов, формирующих уровень признака у единиц совокупности.

      

      где - общая средняя арифметическая для всей изучаемой совокупности; - значение признака (варианта).

      Средняя из групповых дисперсий характеризует случайную вариацию, возникающую под влиянием других неучтенных факторов, и не зависит от условия (признака-фактора), положенного в основу группировки;

      

      где - число единиц в определенной i - й группе; - дисперсия по определенной i - й группе:

      

      где - средняя по определенной i - й группе.

      Межгрупповая  дисперсия отражает систематическую  вариацию, т.е. те различия в величине изучаемого признака, которые возникают  под влиянием фактора, положенного  в основу группировки:

      

      Находим среднюю из групповых дисперсий. Дисперсия по каждой группе нам известна.

      Рассчитываем  среднюю из групповых дисперсий:

      

      Таким образом, разброс значений за счет неучтенных факторов составляет 242,02 ден.ед.

      Находим межгрупповую дисперсию.

      Для этого строим следующую вспомогательную таблицу.

       .

      Так, из-за вида поселения, среднедушевой расход в среднем отклоняется от среднего значения на 1128,96 ден.ед.

      Находим общую дисперсию:

      

      Так, под влиянием всех факторов среднедушевой расход отклоняется от среднего значения на 1371,04 ден.ед.

     3) Находим зависимость расходов от места жительства, исчислив коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение

     Коэффициент детерминации (эмпирически)

      

     Эмпирическое  корреляционное отношение.

     

     чем больше это число тем  больше зависимость  средней величины от факторов положенных в основу

             

      Таким образом, величина расходов на 91% зависит от места жительства.