Перевірка статистичних гіпотез

 

      Згідно  з критерієм Пірсона для перевірки  гіпотези вводиться випадкова величина (статистика)

де  m – кількість груп у статистичному розподілі вибірки; – емпірична частота ознаки Х в і-тій групі; – теоретична частота; – імовірність того, що значення Х належить і-тій групі.

      Відомо, що при  закон розподілу статистики прямує до закону розподілу з ступенями вільності, де m – кількість груп у статистичному розподілі вибірки; кількість параметрів гіпотетичного розподілу А (наприклад, для нормального розподілу, для розподілу Пуассона, для рівномірного розподілу).

      Для критерію будують правосторонню критичну область за правилом:

                                                  (2)

За заданим  рівнем значущості і кількістю ступенів вільності із таблиці критичних точок розподілу (в якій дано розв’язки рівняння (2)) знаходять критичну точку

      На  підставі даних вибірки, записаних  у таблиці, обчислюють емпіричне  значення критерію Пірсона:

      Порівнюємо  значення і : якщо то гіпотезу відхиляють; якщо ж то гіпотезу приймають.

      Застосування  критерію вимагає дотримання таких умов:                      1) експериментальні дані мають бути незалежними, тобто вибірка має бути випадковою; 2) обсяг вибірки має бути достатньо великим (практично не меншим ніж 50 одиниць), а частота кожної групи – не меншою за 5. Якщо остання умова не виконується, то проводиться попереднє об’єднання нечисленних груп.

      Критерій  згоди Пірсона дає відповідь  на питання, чи розбіжність між емпіричними  і теоретичними частотами зумовлена  випадковістю, чи вона є значущою. Як і будь-який інший критерій він не доводить справедливості гіпотези , а лише дозволює встановити на прийнятному рівні значущості узгодженість чи неузгодженість гіпотези з даними спостережень. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Перевірка гіпотези про порівняння середнього значення

(математичного  сподівання) ознаки  генеральної сукупності  зі стандартом 

      У критеріях для перевірки гіпотези про те, що значення математичного сподівання досліджуваної ознаки Х генеральної сукупності збігається зі стандартом використовують статистику вибіркове середнє. Залежно від інформації щодо генеральної сукупності, якою володіємо, розрізняємо такі моделі.

      Модель  А. Гіпотеза про значення метематичного сподівання нормального закону розподілу за відомої дисперсії.

      Нехай випадкова величина Х нормально розподілена з невідомим математичним сподіванням але відомою дисперсією Потрібно на основі вибірки перевірити нульову гіпотезу про рівність математичного сподівання а певному числу При цьому припускаємо, що відомі такі величини: дані вибірки обсягу п; середнє квадратичне відхилення ; гіпотетичне значення математичного сподівання ; рівень значущості

      Із  вивченого нами матеріалу випливає, що вибіркове середнє для вибірки з нормального розподілу з параметрами має нормальний розподіл з параметрами , тому за умови істинності гіпотези (коли ) випадкова величина

яку беруть за критерій перевірки гіпотези , також розподілена нормально з параметрами (0, 1).

      Справді,

      Отже, щільність розподілу випадкової величини має вигляд:

Тому

      Якщо  конкуруюча гіпотеза має вигляд: , то розглядають двосторонню симетричну критичну область, для якої критичну точку шукають із співвідношення:

Оскільки  то

тобто

    або   

      Правило 1. Якщо нульова гіпотеза , а конкуруюча гіпотеза , то перевірку гіпотези проводимо за такою схемою:

• обчислюємо емпіричне значення критерію за формулою:

                                                (3)

• знаходимо за таблицею значень функції Лапласа критичне значення , використовуючи рівняння:

                                                    (4)

• робимо висновок про висунуту гіпотезу: якщо то гіпотезу приймаємо; якщо то відхиляємо гіпотезу на користь альтернативи

      Якщо  конкуруюча гіпотеза має вигляд: , то розглядають правосторонню критичну область, для якої критичну точку шукають із співвідношення:

Тоді

    тобто   

      Якщо  конкуруюча гіпотеза має вигляд: , то розглядають лівосторонню критичну область, для якої

      Правило 2. Якщо нульова гіпотеза , а конкуруюча гіпотеза або , то перевірку гіпотези також проводимо за схемою правила 1 з такими змінами:

• замість рівняння (4) для знаходження критичного значення використовуємо рівняння:

                                                  (5)

• робимо висновок стосовно висунутої гіпотези :

1. якщо то нема підстав відхилити гіпотезу ; якщо то відхиляємо гіпотезу на користь альтернативи ;
2. якщо то нема підстав відхилити гіпотезу ; якщо то гіпотезу відхиляємо і приймаємо гіпотезу .

      Модель  Б. Гіпотеза про значення метематичного сподівання нормального закону розподілу за невідомої дисперсії.

      Нехай випадкова величина Х нормально  розподілена з невідомими математичним сподіванням і дисперсією Потрібно на основі вибірки перевірити нульову гіпотезу про рівність математичного сподівання а певному числу При цьому припускаємо, що відомі такі величини: дані вибірки обсягу п; гіпотетичне значення математичного сподівання ; рівень значущості

      Оскільки  середнє квадратичне відхилення невідоме, то для перевірки гіпотези тут ми вже не зможемо скористатися статистикою через те, що для неї неможливо буде обчислити емпіричне значення . У даному випадку використовуємо статистику

де  – вибіркове середнє, а – підправлене середнє квадратичне відхилення. Можна показати, що за умови істинності гіпотези випадкова величина має розподіл Ст’юдента з ступенями вільності.

      Подальша  побудова критичної області для  дво- та односторонніх перевірок  гіпотези здійснюється аналогічно як у випадку моделі А, з тією лише різницею, що критичні точки (тут замість вони будуть позначатися через ) визначаються за таблицею критичних точок розподілу Ст’юдента, а не значень функції Лапласа. За того самого рівня значущості значення буде більшим, аніж .

      Правило 1. Якщо нульова гіпотеза , а конкуруюча гіпотеза , то перевірку гіпотези проводимо за такою схемою:

• обчислюємо емпіричне значення критерію:

                                               (6)

• знаходимо за таблицею критичних точок розподілу Ст’юдента за заданим рівнем значущості (для двосторонньої критичної області) і кількістю ступенів вільності критичну точку ;
• робимо висновок про висунуту гіпотезу: якщо то гіпотезу приймаємо; якщо то відхиляємо гіпотезу на користь альтернативи

      Правило 2. Якщо нульова гіпотеза , а конкуруюча гіпотеза або , то перевірку гіпотези також проводимо за схемою правила 1 з такими змінами:

• за таблицею критичних точок розподілу Ст’юдента за заданим рівнем значущості (для односторонньої критичної області) і кількістю ступенів вільності знаходимо критичну точку ;
• робимо висновок стосовно висунутої гіпотези :

1) якщо  то нема підстав відхилити гіпотезу ; якщо то відхиляємо гіпотезу на користь альтернативи ;

2) якщо  то нема підстав відхилити гіпотезу ; якщо то гіпотезу відхиляємо і приймаємо гіпотезу . 
 

 

Висновок 

     Про перевагу тієї або іншої з порівнюваних груп судять, як правило, з різниці  між середніми, середніми частками або іншими вибірковими показниками  — величинами випадковими і такими, що є статистичними оцінками відповідних генеральних показників.

     Питання про достовірність відмінностей розв'язується зазвичай на основі перевірки  за вибірковими характеристиками тієї або іншої статистичної гіпотези.

     В області клінічних досліджень широке використання отримала так звана  нульова гіпотеза Н0 . Значення її зводиться до припущення, що різниця між генеральними параметрами порівнюваних груп дорівнює нулю і відмінності, що спостерігаються між вибірковими характеристиками, носять виключно випадковий характер.  

 

Список використаних джерел 

1. Жлуктечко В.І., Наконечний С.І., Савіна С.С. Теорія ймовірностей і математична статистика: Навч.-метод. посібник: У 2-х ч. - Ч.П. Математична статистика. - К.: КНЕУ, 2001.
2. Савчук М.В. Програма з навчальної дисципліни «Теорія ймовірностей та математична статистика» для спеціальності 6.050200 «Менеджмент організацій» - К.: ІПК ДСЗУ, 2006.
3. Статистика: Підручник/За наук. ред.С. С.Герасименка.—К.:КНЕУ,2000