Однофакторный и двухфакторный анализ

 

Министерство  образования и  науки Республики Казахстан

Кокшетауский  государственный  университет им. Ш. Валиханова 

Факультет экологии

РЕФЕРАТ

По дисциплине: «Статистические закономерности исследования» 

На тему: «Однофакторный и двухфакторный  анализ»

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

. Кокшетау-2011 
 

       Содержание 
 

       с.

       Введение…………………….……………………………………………....3

1. Дисперсионный анализ………………………………………………....4

       1.1   Основные понятия дисперсионного  анализа…………………..……4

       1.2   Однофакторный дисперсионный анализ………………………….....6

       1.3   Многофакторный дисперсионный анализ…………………….........12

       Заключение………………………………………………………….…..... 16

       Список  использованных источников………………………………....….17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Введение 
 

       Цель  работы: познакомится с таким статистическим методом, как дисперсионный анализ. 

       Дисперсионный анализ (от латинского Dispersio – рассеивание) – статистический метод, позволяющий  анализировать влияние различных  факторов на исследуемую переменную. Метод был разработан биологом Р. Фишером в 1925 году и применялся первоначально для оценки экспериментов в растениеводстве. В дальнейшем выяснилась общенаучная значимость дисперсионного анализа для экспериментов в психологии, педагогике, медицине и др.

       Целью дисперсионного анализа  является проверка значимости различия между средними с помощью сравнения дисперсий. Дисперсию измеряемого признака разлагают на независимые слагаемые, каждое из которых характеризует влияние того или иного фактора или их взаимодействия. Последующее сравнение таких слагаемых позволяет оценить значимость каждого изучаемого фактора, а также их комбинации /1/.

       При истинности нулевой гипотезы (о равенстве  средних в нескольких группах  наблюдений, выбранных из генеральной  совокупности), оценка дисперсии, связанной с внутригрупповой изменчивостью, должна быть близкой к оценке межгрупповой дисперсии.

       При проведении исследования рынка часто  встает вопрос о сопоставимости результатов. Например, проводя опросы по поводу потребления какого-либо товара в  различных регионах страны, необходимо сделать выводы,  на сколько данные опроса отличаются или не отличаются друг от друга. Сопоставлять отдельные показатели не имеет смысла и поэтому процедура сравнения и  последующей оценки производится по некоторым усредненным значениям и отклонениям от этой усредненной оценки. Изучается вариация признака. За меру вариации может быть принята дисперсия. Дисперсия у² – мера вариации, определяемая как средняя из отклонений признака, возведенных в квадрат.

       На  практике часто возникают задачи более общего характера – задачи проверки существенности различий средних выборочных нескольких совокупностей. Например, требуется оценить влияние различного сырья на качество производимой продукции, решить задачу о влиянии количества удобрений на урожайность с/х продукции.

       Иногда  дисперсионный анализ применяется, чтобы установить однородность нескольких совокупностей (дисперсии этих совокупностей  одинаковы по предположению; если дисперсионный анализ покажет, что и математические ожидания одинаковы, то в этом смысле совокупности однородны). Однородные же совокупности можно объединить в одну и тем самым получить о ней более полную информацию, следовательно, и более надежные выводы /2/. 

1 Дисперсионный анализ

1.1 Основные понятия  дисперсионного анализа 

       В процессе наблюдения за исследуемым  объектом качественные факторы произвольно  или заданным образом изменяются. Конкретная реализация фактора (например, определенный температурный режим, выбранное оборудование или материал) называется уровнем фактора или способом обработки. Модель дисперсионного анализа с фиксированными  уровнями факторов называют моделью I, модель со случайными факторами - моделью II. Благодаря варьированию фактора можно исследовать его влияние на величину отклика. В настоящее время общая теория дисперсионного анализа разработана для моделей I.

       В зависимости от количества факторов, определяющих вариацию результативного  признака, дисперсионный анализ подразделяют на однофакторный и многофакторный.

       Основными схемами организации исходных данных с двумя и более факторами являются:

       - перекрестная классификация, характерная для моделей I, в которых каждый уровень одного фактора сочетается при планировании эксперимента с каждой градацией другого фактора;

       - иерархическая (гнездовая) классификация, характерная для модели II, в которой каждому случайному, наудачу выбранному значению одного фактора соответствует свое подмножество значений второго фактора.

       Если  одновременно исследуется зависимость  отклика от качественных и количественных факторов, т.е. факторов смешанной природы, то используется ковариационный анализ /3/.

       При обработке данных эксперимента наиболее разработанными и поэтому распространенными  считаются две модели. Их различие обусловлено спецификой планирования самого эксперимента. В модели дисперсионного анализа с фиксированными эффектами исследователь намеренно устанавливает строго определенные уровни изучаемого фактора. Термин «фиксированный эффект» в данном контексте имеет тот смысл, что самим исследователем фиксируется количество уровней фактора и различия между ними. При повторении эксперимента он или другой исследователь выберет те же самые уровни фактора. В модели со случайными эффектами уровни значения фактора выбираются исследователем случайно из широкого диапазона значений фактора, и при повторных экспериментах, естественно, этот диапазон будет другим.

       Таким образом, данные модели отличаются между  собой способом выбора уровней фактора, что, очевидно, в первую очередь влияет на возможность обобщения полученных экспериментальных результатов. Для дисперсионного анализа однофакторных экспериментов различие этих двух моделей не столь существенно, однако в многофакторном дисперсионном анализе оно может оказаться весьма важным.

       При проведении дисперсионного анализа должны выполняться следующие статистические допущения: независимо от уровня фактора величины отклика имеют нормальный (Гауссовский) закон распределения и одинаковую дисперсию. Такое равенство дисперсий называется гомогенностью. Таким образом, изменение способа обработки сказывается лишь на положении случайной величины отклика, которое характеризуется средним значением или медианой. Поэтому все наблюдения отклика принадлежат сдвиговому семейству нормальных распределений.

       Говорят, что техника дисперсионного анализа является "робастной". Этот термин, используемый статистиками, означает, что данные допущения могут быть в некоторой степени нарушены, но несмотря на это, технику можно использовать.

       При неизвестном законе распределения  величин отклика используют непараметрические (чаще всего ранговые) методы анализа.

       В основе дисперсионного анализа лежит  разделение дисперсии на части или  компоненты. Вариацию, обусловленную  влиянием фактора, положенного в  основу группировки, характеризует  межгрупповая дисперсия у². Она является мерой вариации частных средних по группам вокруг общей средней и определяется по формуле: 

       

,

     где   k -  число групп;

             n_j - число единиц в j-ой группе;

              - частная средняя по j-ой группе;

              - общая средняя по совокупности единиц. 

       Вариацию, обусловленную влиянием прочих факторов, характеризует в каждой группе внутригрупповая  дисперсия у_j².  

       

. 

       Между общей дисперсией у₀², внутригрупповой дисперсией у² и межгрупповой дисперсией  существует соотношение: 

       у₀² = 

+ у².

       Внутригрупповая дисперсия объясняет влияние  неучтенных при группировке факторов, а межгрупповая дисперсия объясняет  влияние факторов группировки на среднее значение по группе /2/. 

1.2  Однофакторный дисперсионный  анализ 

       Однофакторная дисперсионная модель имеет вид:  

                                     x_ij = м + F_j + е_ij,             (1) 

       где  х_ij – значение исследуемой переменой, полученной на i-м уровне фактора (i=1,2,...,т) c j-м порядковым номером (j=1,2,...,n);

             F_i – эффект, обусловленный влиянием i-го уровня фактора;

             е_ij – случайная компонента, или возмущение, вызванное влиянием неконтролируемых факторов, т.е. вариацией переменой внутри отдельного уровня. 

       Основные  предпосылки дисперсионного анализа:

       -    математическое ожидание возмущения  е_ij равно нулю для любых i,  т.е. 

       M(е_ij) = 0;             (2) 

       -     возмущения е_ij взаимно независимы;

       - дисперсия переменной x_ij (или возмущения е_ij) постоянна для 
любых i, j, т.е.

                     D(е_ij) = у²;                  (3) 

       - переменная x_ij (или возмущение е_ij) имеет нормальный закон 
распределения N(0;у²).

       Влияние уровней фактора может быть как  фиксированным или систематическим (модель I), так и случайным (модель II).

       Пусть, например, необходимо выяснить, имеются ли существенные различия между партиями изделий по некоторому показателю качества, т.е. проверить влияние на качество одного фактора - партии изделий. Если включить в исследование все партии сырья, то влияние уровня такого фактора систематическое (модель I), а полученные выводы применимы только к тем отдельным партиям, которые привлекались при исследовании. Если же включить только отобранную случайно часть партий, то влияние фактора случайное (модель II). В многофакторных комплексах возможна смешанная модель III, в которой одни факторы имеют случайные уровни, а другие – фиксированные.

       Пусть имеется m партий изделий. Из каждой партии отобрано соответственно  n₁, n₂, …, n_m  изделий  (для простоты полагается, что n₁=n₂=...=n_m=n). Значения показателя качества этих изделий представлены в матрице наблюдений:

 

       

                    x₁₁  x₁₂   …    x_1n

                   x₂₁  x₂₂  …    x_2n  

       …………………  = (x_ij), (i = 1,2, …, m; j = 1,2, …, n).

                   x_m1  x_m2  …    x_mn 

       Необходимо  проверить существенность влияния  партий изделий на их качество.

       Если  полагать, что элементы строк матрицы  наблюдений – это численные значения случайных величин Х₁,Х₂,...,Х_m, выражающих качество изделий и имеющих нормальный закон распределения с математическими ожиданиями соответственно a₁,а₂,...,а_m и одинаковыми дисперсиями у², то данная задача сводится к проверке нулевой гипотезы Н₀: a₁=a₂ =...= а_m, осуществляемой в дисперсионном анализе.