Обработка результатов измерений

Что касается технической подсистемы, то ее квинтэссенцией является эталонная база России. Ее и сейчас можно считать одной из самых сильных в мире. Повышение точности, расширение диапазонов воспроизведения единиц величин были, есть и будут первостепенными задачами совершенствования массива государственных эталонов, но в последние годы решение этих задач несколько замедлилось. Однако это пока не представляется опасным, так как в свое время эталоны и поверочные схемы создавались с довольно приличным "заделом" и в ближайшие 3-5 лет еще смогут удовлетворять потребности народного хозяйства страны. Тем не менее такое положение опасно. Другая важная задача - создание государственных эталонов взамен тех, которые после распада СССР остались за рубежом.

Следует сказать и  об адаптации российской системы  измерений, к мировой и прогрессивным национальным системам. В странах высокого технического уровня метрологическая деятельность имеет годами проверенную законодательную основу - это и конституция, и законы, и подзаконные акты. В этом плане Россия нормативно подравнялась, но ее опыт в осуществлении законодательного принципа управления пока весьма скромен.

Важной проблемой, от решения которой в значительной мере зависит дееспособность государственной системы обеспечения единства измерений, является ее ресурсное обеспечение. Следует отметить, что значительная часть системы не производит рыночного товара и не может вступать в рыночные отношения, т.е. действовать на принципах хозяйственной самостоятельности и самоокупаемости. Поэтому только достаточное финансирование системы и, соответственно, своевременные и достоверные информация и анализ состояний ГСИ могут служить основой для принятия стратегически правильных управленческих решений по ее поддержанию и развитию.

 

3. Правила построения гистограмм

 

Обработка результатов  измерений производится при условии, что они подчинены нормальному закону распределения и из них исключена систематическая составляющая погрешности. Кроме этого, результаты измерений не содержат грубых погрешностей.

Наиболее  наглядно нормальный закон распределения  результатов измерений иллюстрирует гистограмма, построенная в следующем порядке при большом числе результатов N > 20.

1. Весь диапазон полученных результатов наблюдений X_maх-X_min разделяют на К интервалов и определяют длину интервала ΔХ:

ΔХ = (Хмах-Хmin) / К.

2. Определяют середину области изменения выборки (центр распределения - Х0):

X0 = (X_max+X_min)/2.

3. Подсчитывают количество наблюдений N_m, попавших в каждый интервал. N_m равно числу членов вариационного ряда, для которых справедливо неравенство:

x_m<z_i<x_m+x.

Значение Z_i, попавшее на границу между (m-1)-м и m-м интервалами, относят к m-му.

4.         Подсчитывают относительное количество (относительную частоту) наблюдений Р, попавших в данный интервал: Р = N_m / N.
5.         Строят гистограмму, представляющую собой ступенчатую кривую, значения которой на m-м интервале (Х_m, Х_m+ΔХ и т.д.), где m=l,2,..., k, постоянны, а по оси ординат составляют

.

При построении гистограмм рекомендуется пользоваться следующими правилами:

1. Число интервалов выбирается в зависимости от числа наблюдений:

n   k

20-100  7-9

100-500 8-12

500-1000       10-16

1000-10000     12-22

2. Длины интервалов удобнее выбирать одинаковыми. Однако, если распределение крайне неравномерное, то в области максимальной концентрации  результатов  наблюдений следует  выбирать более узкие интервалы.

3. Масштабы по осям гистограммы должны быть такими, чтобы отношение ее высоты к основанию составляло примерно 5:8.

 

4. Критерии оценки грубых погрешностей

 

В алгоритм обработки  результатов измерений входит оценка грубых погрешностей.

Часто в ряду измерений  встречается одно или несколько  значений, резко отличающихся от остальных. Это так называемые "выскакивающие" значения. Расхождение между ними и остальными результатами является результатом грубой погрешности.

Источниками промахов нередко бывают погрешности, допущенные наблюдателем во время измерений.

1. Неправильный отсчет по шкале измерительного прибора из-за неверного учета цены делений шкалы. Особенно часто это случается, когда цена наименьшего деления в середине шкалы изменяется, как, например, на логарифмической шкале. Значение 5 делений принимают за значение 10; отметки, указывающие пятые части большого интервала, принимают за отметки десятых частей и т.д.

В некоторых  случаях неверно отсчитывают число делений или ведут отсчет не в том направлении, в каком произведена градуировка шкалы. Вторую ошибку допускают чаще всего тогда, когда 0 расположен на шкале справа, а не слева.

2. Неправильная запись результата наблюдений (описка), неправильная запись отдельных мер использованного набора (например, значение массы гирь, положенных на чашу весов).

Частой опиской  является перестановка цифр 6 или 9; так  записывают 396 вместо 369 или наоборот.

3. Ошибки при манипуляциях с приборами или частями измерительной установки делают негодным весь ряд единичных измерений. В этом случае правильнее говорить не о грубой погрешности, а о недостаточной компетентности или квалификации оператора. Такие ошибки может допустить и опытный оператор, но они бывают у него единичными, и при дальнейших измерениях не повторяются.

Перечисленные выше грубые погрешности особенно опасны при однократных измерениях. Чем больше ряд повторных измерений, тем легче обнаружить грубую погрешность.

Грубыми называются погрешности, которые существенно превышают оправдываемые объективными условиями измерений систематические или случайные погрешности. Грубые погрешности снижают качество проведенных измерений. Все результаты наблюдений, содержащие грубые погрешности, должны быть отброшены. Чтобы судить о том, в каких случаях следует отбросить сомнительные результаты измерений, а в каких - нельзя, надо применить один из следующих критериев оценки грубых погрешностей.

 

4.1. Критерий  Райта

 

В соответствии с этим критерием должны быть отброшены  все результаты измерений, случайные погрешности V_i которых превышают 3σ. Причем обработке подлежит весь ряд, включая результат, содержащий грубую погрешность.

1. Пусть а₁, а₂, а₃,..., а_n, а_n+1 - ряд результатов измерений, в котором a_n+1 - "выскакивающее" значение.
2. Вычислим среднее арифметическое значение по формуле:

3. Определим среднеквадратическое отклонение по формуле:

4. Оценка погрешности

Если  , то результат измерения a_n+1 содержит грубую погрешность.

Данный критерий можно применять, когда среднеквадратическое отклонение определяется на основании достаточно большого числа измерений (n >20).

 

4.2. Критерий  Романовского

 

При малом числе измерений (n<20) применяют критерий Романовского, основанный на распределении Стьюдента.

Пусть произведено n+1 результатов измерений. При этом n результатов не вызывают сомнений в отношении соответствия их закономерному ряду, а один кажется нарушающим этот ряд. Обозначим этот результат a_n+1.

1. Найдем для ряда измерений от a₁ до а_n среднее арифметическое значение:

2. Определяем среднеквадратическое отклонение:

3. Исходя из степени достоверности, которая должна быть обеспечена, задаемся вероятностью Р_дов того, что значение не превышает некоторого значения ε*, которое определяется по формуле:

4. Если   , то результат содержит грубую погрешность.

Значения коэффициента t' для различных значений P_дов и n приведены в табл. 1.

Таблица 1

Коэффициент t' для различных значений α и

числа измерений n (критерий Романовского)

 

Число измерений n	Уровень значимости α
	0,05	0,02	0,01	0,005
	P дов
	0,95	0,98	0,99	0,995
	Коэффициент t'
1	2	3	4	5
2	15,56	38,97	77,96	779,70
3	4,97	8,04	11,46	36,50
4	3,56	5,08	6,53	14,46
5	3,06	4,10	5,04	9,43
6	2,73	3,64	4,36	7,41
7	2,62	3,36	3,96	6,37
8	2,51	3,18	3,71	5,73
9	2,43	3,05	3,54	5,31
10	2,37	2,96	3,41	5,01
11	2,33	2,89	3,31	4,79
12	2,29	2,83	3,23	4,62
13	2,26	2,78	3,17	4,48
14	2,24	2,74	3,12	4,37
1	2	3	4	5
15	2,22	2,71	3,08	4,28
16	2,20	2,68	3,04	4,20
17	2,18	2,66	3,01	4,13
18	2,17	2,64	3,00	4,07
19	2,16	2,62	2,95	4,02
20	2,14	2,60	2,93	3,98
∞	1,96	2,33	2,58	3,29

 

4.3. Оценка анормальности результатов  измерений

 

Анормальным называется результат измерения, резко отличающийся от группы результатов измерений, которые являются нормальными.

Принцип решения  вопроса об анормальности заключается в том, что по результатам измерений рассчитывается определенная функция U от случайной величины, для которой известно распределение вероятностей. Вычисленное по выборочным данным значение этой функции сравнивается с ее предельным значением, соответствующим заранее принятой малой вероятности р.

При выборе критерия оценки анормальности результатов  измерений надо руководствоваться следующим принципом - используемые методы и критерии оценки предполагают нормальное распределение измеряемой величины. Поэтому предварительно экспериментатор должен тщательно оценить возможность принятия гипотезы нормального распределения.

Для упорядоченной выборки  результатов наблюдений случайной  величины используется алгоритм оценки анормальных результатов измерений:

1. Осуществляют упорядочение массы результатов измерений:

a₁≤a₂≤a₃≤... ≤а_n.

2. Подсчитывают выборочное среднее :

3. Рассчитывают выборочное среднеквадратическое отклонение:

Чтобы оценить  принадлежность а_n или а₁ к данной совокупности и принять решение об исключении или оставлении а_n (а₁) в составе выборки, находят отношение:

 или 

 

Результат сравнивают с  величиной р, взятой из табл. 2 для данного объема выборки и принятого уровня значимости α.

Если Un≥β, то подозреваемый в анормальности результат наблюдения анормален и может быть исключен, в противном случае его считают нормальным и не исключают.

Оценка результата наблюдения a₁ производится аналогично.

 

Таблица 2

Предельные  значения β для случая неизвестного

генерального среднеквадратического отклонения σ

 

Объем выборок n	Предельное  значение β при уровне значимости α
	0,100	0,075	0,050	0,025
3	1,15	1,15	1,15	1,15
4	1,42	1,44	1,46	1,48
5	1,60	1,64	1,67	1,72
6	1,73	1,77	1,82	1,89
7	1,83	1,88	1,94	2,02
8	1,91	1,96	2,03	2,13
9	1,98	2,04	2,11	2,21
10	2,03	2,10	2,18	2,29
11	2,09	2,14	2,23	2,36
12	2,13	2,20	2,29	2,41
13	2,17	2,24	2,33	2,47
14	2,21	2,28	2,37	2,50
15	2,25	2,32	2,41	2,55
16	2,28	2,35	2,44	2,58
17	2,31	2,38	2,48	2,62
18	2,34	2,41	2,50	2,66
19	2,36	2,44	2,53	2,68
20	2,38	2,46	2,56	2,71