Математическая статистика

 

 

 

 

Пример 3. Результаты измерений отклонений от нормы диаметров

50 подшипников дали  численные значения ( в мкм ), приведенные  в табл. 4.

 

Таблица 4.

-1,760	-0,291	-0,110	-0,450	0,512
-0,158	1,701	0,634	0,720	0,490
1,531	-0,433	1,409	1,740	-0,266
-0,058	0,248	-0,095	-1,488	-0,361
0,415	-1,382	0,129	-0,361	-0,087
-0,329	0,086	0,130	-0,244	-0,882
0,318	-1,087	0,899	1,028	-1,304
0,349	-0,293	0,105	-0,056	0,757
-0,059	-0,539	-0,078	0,229	0,194
0,123	0,318	0,367	-0,992	0,529

 

Для данной выборки: -  построить интервальный вариационный ряд;

                 -  построить гистограмму и  полигон частостей. 

 

 

1.  Строим интервальный  ряд. 

По данным таблицы 4 определяем:  ; 

Для определения длины интервала  используем формулу Стерджеса:

.

Число интервалов .

 

Примем  =0,6 ,  .

За начало первого  интервала примем величину

.

Конец последнего интервала  должен удовлетворять условию:

.

Действительно,  ;   .

                           

Строим интервальный ряд (табл. 5).                                                                                                   

     Таблица 5.

Интервалы
Подсчет частот
Частоты	2	6	11	15
Частости

 

Интервалы
Подсчет частот
Частоты	11	3	2	;
Частости				.

 

 

 

 

Строим гистограмму  частостей.

 

 

Вершинами полигона являются середины верхних оснований прямоугольников  гистограммы.

Убедимся, что площадь гистограммы  равна 1.

 

 

 

1.3. Эмпирическая функция распределения. График.

 

Пусть получено статистическое распределение  выборки и каждому варианту из этой выборки поставлена в соответствие его частость.

Эмпирической функцией (функцией распределения выборки) называется функция , определяющая для каждого значения частость события , 

  ,

- где   - объем выборки,  - число наблюдений, меньших .

При увеличении объема выборки  частость события  приближается к вероятности этого события. Эмпирическая функция является оценкой интегральной функции в теории вероятностей.

Функция обладает теми же свойствами, что и функция :

1. ;

2. -неубывающая функция; 

3. , .

 

 

Пример.

Построить эмпирическую функцию и  ее график по данным табл.1

 

 

 

 

1.4. Числовые характеристики выборки. Понятия обычных условных и центральных моментов. Метод произведения для вычисления выборки средней и выборочной дисперсии.

Выборочным  средним  называется среднее арифметическое всех значений выборки:

.

Выборочное среднее  можно записать и так: ,

где - частость.

В случае интервального  статистического ряда в качестве берут середины интервалов, а - соответствующие им частоты.

 

Начальным выборочным моментом порядка    называется среднее арифметическое - х степеней всех значений выборки:

    или    .

Из определения следует, что  начальный выборочный момент первого  порядка: .

 

Центральным выборочным моментом порядка называется среднее арифметическое - х степеней отклонений наблюдаемых значений выборки от выборочного среднего :

      или       .

Из определения следует, что центральный выборочный момент второго порядка:

.

 

 

 

Метод произведений вычисления выборочных средней и  дисперсии.

 

При больших значениях  вариантов и соответствующих  им частот вычисление выборочного среднего, дисперсии и выборочных моментов по приведенным ниже формулам приводит к громоздким вычислениям.

В этом случае используют условные варианты , определяемые по формулам:  , где числа и выбираются произвольно.

Чтобы упростить вычисления в качестве  выбирают вариант, который имеет наибольшую частоту или находится в середине ряда. Число называется «ложным нулем». В качестве выбирают число равное длине интервала ( в случае интервального ряда) или наибольший общий делитель разностей .

Для вычисления числовых характеристик выборки составляем табл. 6.

 

Таблица 6.

 

Контроль:

С помощью сумм, полученных в нижней строке таблицы, находим условные моменты:

                ,        , 

                ,          .

 

Числовые характеристики выборки  вычисляем по формулам:

 

   ;   ;         ;

     ;           , 

 

где и находим по формулам:

,

.

 

1.5. Статистическая гипотеза: нулевая и конкурирующая, простая и сложная. Ошибки 1 и 2 рода.

 

 

Статистической  гипотезой называется всякое высказывание о генеральной совокупности (случайной величине), проверяемое по выборке (то есть по результатам наблюдений).

Примеры статистических гипотез:

- математическое ожидание  случайной величины равно конкретному  числовому значению;

- генеральная совокупность  распределена по нормальному  закону.

 

Гипотезы могут быть параметрические (гипотезы о параметрах распределения известного вида) и непараметрические (гипотезы о виде неизвестного распределения).

  Различают гипотезы простые, содержащие только одно предположение, и сложные, содержащие более одного предположения.

Например, гипотеза - простая; 

а гипотеза  : ,  ( где ) – сложная гипотеза, потому что она состоит из бесконечного множества простых гипотез.

Процедура сопоставления  гипотезы с выборочными данными  называется проверкой гипотезы. Для проверки гипотез используют аналитические и статистические методы.

 

 

Ошибки 1 и 2 рода.

 

В соответствии с поставленной задачей и на основании выборочных данных формулируется (выдвигается)  гипотеза , которая называется  основной или нулевой.  Одновременно с выдвинутой гипотезой , рассматривается противоположная ей гипотеза , которая называется конкурирующей или альтернативной.

Для проверки нулевой гипотезы вводят специально подобранную случайную  величину , распределение которой известно и называют ее критерием.

Поскольку гипотеза для генеральной совокупности принимается по выборочным данным, то она может быть ошибочной. При этом возможны ошибки двух родов.

Ошибка первого рода состоит в том, что отвергается гипотеза , когда она на самом деле верна.

Ошибка второго рода состоит в том, что отвергается альтернативная гипотеза , когда она на самом деле верна.

 

1) Для определения вероятности  ошибки первого рода вводится  параметр  :

- вероятность того, что будет  принята гипотеза , при условии, что верна.

Величину  называют уровнем значимости. Обычно выбирают в пределах .

 

2) Вероятность ошибки второго рода определяется параметром :

- вероятность того, что  будет принята гипотеза  , при условии, что верна.

Величину  , то есть недопустимость ошибки второго рода (отвергнуть неверную и принять верную гипотезу ) называют мощностью критерия.

 

 

 

 

 

 

 

 

1.6. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона.

 

Пусть выборка из генеральной совокупности   задана в виде статистического интервального ряда ряда:

 

где      - интервальные частоты,  - объем выборки,

            - число интервалов, - длина интервала, - середина интервала.

 

Требуется проверить  гипотезу о том, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону, применяя критерий Пирсона. (К.Пирсон, 1857-1936 г; английский математик, биолог, философ).

 

Правило проверки

1.  Вычисляем и ( см. Пример 5).

2.  Находим теоретические частоты .

     Их можно  вычислить двумя способами.

 

Первый  способ

,

где  - объем выборки,  - шаг,   ;

    - функция Гаусса, значение которой в точке

находим по таблице.

 

     - вероятность попадания значений случайной  

       величины  в - й интервал.

 

Для вычисления составляем табл. 7.