Корреляционно-регрессионный анализ

Анализируя сущность уравнения регрессии, следует отметить следующие положения. Рассмотренный  подход не обеспечивает раздельной (независимой) оценки коэффициентов – изменение  значения одного коэффициента влечет изменение значений других. Полученные коэффициенты не следует рассматривать  как вклад соответствующего параметра  в значение показателя. Уравнение  регрессии является всего лишь хорошим  аналитическим описанием имеющихся  ЭД, а не законом, описывающим взаимосвязи  параметров и показателя. Это уравнение  применяют для расчета значений показателя в заданном диапазоне  изменения параметров. Оно ограниченно  пригодно для расчета вне этого  диапазона, т.е. его можно применять  для решения задач интерполяции и в ограниченной степени для  экстраполяции. 

Главной причиной неточности прогноза является не столько неопределенность экстраполяции линии регрессии, сколько значительная вариация показателя за счет неучтенных в модели факторов. Ограничением возможности прогнозирования  служит условие стабильности неучтенных в модели параметров и характера  влияния учтенных факторов модели. Если резко меняется внешняя среда, то составленное уравнение регрессии  потеряет свой смысл. Нельзя подставлять  в уравнение регрессии такие  значения факторов, которые значительно  отличаются от представленных в ЭД. Рекомендуется не выходить за пределы  одной трети размаха вариации параметра как за максимальное, так  и за минимальное значения фактора. 

Прогноз, полученный подстановкой в уравнение регрессии  ожидаемого значения параметра, является точечным. Вероятность реализации такого прогноза ничтожна мала. Целесообразно  определить доверительный интервал прогноза. Для индивидуальных значений показателя интервал должен учитывать  ошибки в положении линии регрессии  и отклонения индивидуальных значений от этой линии. Средняя ошибка прогноза показателя y для фактора х составит 

, 

где  – средняя  ошибка положения линии регрессии  в генеральной совокупности при x = xk; 

s 2(y)= – оценка  дисперсии отклонения показателя  от линии регрессии в генеральной  совокупности; 

xk – ожидаемое  значение фактора. 

Доверительные границы  прогноза, например, для уравнения  регрессии (7.14), определяются выражением y[xk] ± mош[xk]. 

Отрицательная величина свободного члена а0 в уравнении  регрессии для исходных переменных означает, что область существования  показателя не включает нулевых значений параметров. Если же а0 > 0, то область  существования показателя включает нулевые значения параметров, а сам  коэффициент характеризует среднее  значение показателя при отсутствии воздействий параметров. 

Задача 7.2. Построить  уравнение регрессии для пропускной способности канала по выборке, заданной в табл. 7.1.  

Решение. Применительно  к указанной выборке построение аналитической зависимости в  основной своей части выполнено  в рамках корреляционного анализа: пропускная способность зависит  только от параметра "соотношение  сигнал/шум". Остается подставить в  выражение (7.14) вычисленные ранее  значения параметров. Уравнение для  пропускной способности примет вид 

= 26,47– 0,93 . 41,68 . 5,39/6,04+0,93 . 5,39/6,03 . х = – 8,121+0,830х. 

Результаты расчетов представлены в табл. 7.5. 

Таблица 7.5 

№ 

пп 

Пропускная 

способность 

Соотношение 

сигнал/шум, 

Значение функции, 

кбит/с 

Погрешность, 

кбит/с 

канала, кбит/с 

дБ 

Y 

X  

e  

1 

26,37 

41,98 

26,72 

–0,35 

2 

28,00 

43,83 

28,25 

–0,25 

3 

27,83 

42,83 

27,42 

0,41 

4 

31,67 

47,28 

31,12 

0,55 

5 

23,50 

38,75 

24,04 

–0,54 

6 

21,04 

35,12 

21,03 

0,01 

7 

16,94 

32,07 

18,49 

–1,55 

8 

37,56 

54,25 

36,90 

0,66 

9 

18,84 

32,70 

19,02 

–0,18 

10 

25,77 

40,51 

25,50 

0,27 

11 

33,52 

49,78 

33,19 

0,33 

12 

28,21 

43,84 

28,26 

–0,05 

13 

28,76 

44,03 

28,42 

0,34 

14 

24,60 

39,46 

24,63 

–0,03 

15 

24,51 

38,78 

24,06 

0,45 
 

Остаточная дисперсия  стандартизованной величины Y относительно стандартизованной величины Х равна 1– 0,932 = 0,14, т.е. является малой величиной. Погрешность аппроксимации и  величина остаточной дисперсии показывают высокую точность линейной модели, поэтому задачу регрессионного анализа можно считать решенной. Свободный член уравнения регрессии отрицательный, следовательно, область существования показателя не включает нулевое значение параметра "отношение сигнал/шум", что вытекает из сущности параметра (при нулевом уровне сигнала передача информации невозможна).