Корреляционно-регрессионный анализ

матрица наблюдений не содержит пропусков. 

Если необходима проверка значимости оценки коэффициента корреляции, то требуется соблюдение дополнительного условия – распределение  вариант должно подчиняться нормальному  закону. 

Задача анализа  решается в несколько этапов: 

проводится стандартизация исходной матрицы; 

вычисляются парные оценки коэффициентов корреляции; 

проверяется значимость оценок коэффициентов корреляции, незначимые оценки приравниваются к нулю. По результатам  проверки делается вывод о наличии  связей между вариантами (факторами). 

Пример 7.1. Результаты наблюдений за характеристиками канала представлены в табл. 7.1.  

Таблица 7.1 
 

№ 

пп 

Пропускная способность  канала, 

кбит/с 

Соотношение сигнал/шум, 

Остаточное затухание, дБ, 

на частоте, Гц 

дБ 

1020 

1800 

2400 

Х1 

X2 

X3 

X4 

X5 

1 

26,37 

41,98 

17,66 

16,05 

22,85 

2 

28,00 

43,83 

17,15 

15,47 

23,25 

3 

27,83 

42,83 

15,38 

17,59 

24,55 

4 

31,67 

47,28 

18,39 

16,92 

26,59 

5 

23,50 

38,75 

18,32 

15,66 

26,22 

6 

21,04 

35,12 

17,81 

17,00 

27,52 

7 

16,94 

32,07 

21,42 

16,77 

25,76 

8 

37,56 

54,25 

26,42 

15,68 

23,10 

9 

18,84 

32,70 

17,23 

15,92 

23,41 

10 

25,77 

40,51 

30,43 

15,29 

25,17 

11 

33,52 

49,78 

21,71 

15,61 

25,39 

12 

28,21 

43,84 

28,33 

15,70 

24,56 

13 

28,76 

44,03 

30,42 

16,87 

24,45 

14 

24,60 

39,46 

21,66 

15,25 

23,81 

15 

24,51 

38,78 

25,77 

16,05 

24,48 
 

Необходимо определить наличие линейных корреляционных связей между пропускной способностью и  остальными факторами. Предполагается, что выборки по всем вариантам  подчиняются нормальному закону. Проверку гипотезы о значимости оценок коэффициентов корреляции произвести с уровнем значимости a , равным 0,1. 

Решение. Стандартизация исходной матрицы начинается с вычисления выборочной средней m 1, несмещенной  оценки дисперсии m 2 и среднеквадратического  отклонения s по каждой варианте, табл.7.2. 

Таблица 7.2

Оценка параметра  распределения 

Варианта 

Х1 

X2 

X3 

X4 

X5 

m 1 

26,47 

41,68 

21,87 

16,12 

24,74 

m 2 

29,10 

36,47 

26,37 

0,52 

1,88 

s  

5,39 

6,04 

5,13 

0,72 

1,37 
 

В результате перехода к величинам  формируется стандартизованная  матрица исходных данных, табл. 7.3. 

Таблица 7.3 

№ 

пп 

Пропускная способность 

Соотношение сигнал/шум, 

Остаточное затухание, дБ 

на частоте, Гц 

канала, кбит/с 

дБ 

1020 

1800 

2400 

U1 

U2 

U3 

U4 

U5 

1 

–0,02 

0,05 

–0,82 

–0,10 

–1,38 

2 

0,28 

0,36 

–0,92 

–0,90 

–1,09 

3 

0,25 

0,19 

–1,26 

2,03 

–0,14 

4 

0,96 

0,93 

–0,68 

1,10 

1,35 

5 

–0,55 

–0,49 

–0,69 

–0,64 

1,08 

6 

–1,01 

–1,09 

–0,79 

1,21 

2,03 

7 

–1,77 

–1,59 

–0,09 

0,90 

0,74 

8 

2,06 

2,08 

0,89 

–0,61 

–1,20 

9 

–1,42 

–1,49 

–0,90 

–0,28 

–0,97 

10 

–0,13 

–0,19 

1,67 

–1,15 

0,31 

11 

1,31 

1,34 

–0,03 

–0,71 

0,47 

12 

0,32 

0,36 

1,26 

–0,58 

–0,13 

13 

0,42 

0,39 

1,66 

1,03 

–0,21 

14 

–0,35 

–0,37 

–0,04 

–1,21 

–0,68 

15 

–0,36 

–0,48 

0,76 

–0,10 

–0,19 
 

Оценки коэффициентов  корреляции  (k = 2, 3, 4) представлены в  табл. 7.4. В этой же таблице приведены  значения статистик критерия Стьюдента  для вычисленных оценок коэффициентов  корреляции при п = 15. 

Таблица 7.4  

X2 

X3 

X4 

X5 

r 1 j 

0,93 

0,25 

– 0,13 

– 0,22 

t 

9,12 

0,93 

0,47 

0,81 
 

Критическое значение tкр (n–2; a ) = tкр (13; 0,1) = 1,77. Статистика критерия больше критического значения только для r 12. Это означает, что только для указанного коэффициента оценка значима (коэффициент корреляции генеральной  совокупности не равен нулю), а остальные  коэффициенты следует признать равными  нулю. 

Корреляционная зависимость  не обязательно устанавливается  только для двух величин, с ее помощью  можно анализировать связи между  несколькими вариантами (множественная  корреляция). А кроме линейной существуют и другие виды корреляции. 

7.3. Регрессионный  анализ 
 

Постановка задачи 
 

Одной из типовых  задач обработки многомерных  ЭД является определение количественной зависимости показателей качества объекта от значений его параметров и характеристик внешней среды. Примером такой постановки задачи является установление зависимости между  временем обработки запросов к базе данных и интенсивностью входного потока. Время обработки зависит от многих факторов, в том числе от размещения искомой информации на внешних носителях, сложности запроса. Следовательно, время обработки конкретного  запроса можно считать случайной  величиной. Но вместе с тем, при увеличении интенсивности потока запросов следует  ожидать возрастания его среднего значения, т.е. считать, что время  обработки и интенсивность потока запросов связаны корреляционной зависимостью. 

Постановка задачи регрессионного анализа формулируется  следующим образом [2, 3, 4]. 

Имеется совокупность результатов наблюдений вида (7.1). В  этой совокупности один столбец соответствует  показателю, для которого необходимо установить функциональную зависимость  с параметрами объекта и среды, представленными остальными столбцами. Будем обозначать показатель через y* и считать, что ему соответствует  первый столбец матрицы наблюдений. Остальные т–1 (m > 1) столбцов соответствуют  параметрам (факторам) х2, х3, …, хт . 

Требуется: установить количественную взаимосвязь между  показателем и факторами. В таком  случае задача регрессионного анализа  понимается как задача выявления  такой функциональной зависимости y* = f(x2 , x3 , …, xт), которая наилучшим  образом описывает имеющиеся  экспериментальные данные. 

Допущения: 

количество наблюдений достаточно для проявления статистических закономерностей относительно факторов и их взаимосвязей; 

обрабатываемые ЭД содержат некоторые ошибки (помехи), обусловленные погрешностями измерений, воздействием неучтенных случайных  факторов; 

матрица результатов  наблюдений является единственной информацией  об изучаемом объекте, имеющейся  в распоряжении перед началом  исследования. 

Функция f(x2 , x3 , …, xт), описывающая зависимость показателя от параметров, называется уравнением (функцией) регрессии. Термин "регрессия" (regression (лат.) – отступление, возврат  к чему-либо) связан со спецификой одной  из конкретных задач, решенных на стадии становления метода, и в настоящее  время не отражает всей сущности метода, но продолжает применяться. 

Решение задачи регрессионного анализа целесообразно разбить  на несколько этапов: 

предварительная обработка  ЭД; 

выбор вида уравнений  регрессии; 

вычисление коэффициентов  уравнения регрессии; 

проверка адекватности построенной функции результатам  наблюдений. 

Предварительная обработка  включает стандартизацию матрицы ЭД, расчет коэффициентов корреляции, проверку их значимости и исключение из рассмотрения незначимых параметров (эти преобразования были рассмотрены в рамках корреляционного  анализа). В результате преобразований будут получены стандартизованная  матрица наблюдений U (через y будем  обозначать стандартизованную величину y* ) и корреляционная матрица r .